30 Tage kostenlos testen

Überzeugen Sie sich von der Qualität unserer Inhalte.

Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte

Bewertung

Gib eine Bewertung ab!

Die Autor*innen
Avatar
Martin Wabnik
Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse - 9. Klasse - 10. Klasse

Beschreibung Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte

Wie bestimmt man den Bereich einer Parabel, in der sie sich oberhalb der x- Achse befindet? Der Bereich oberhalb der x- Achse ist der gesamte reelle Bereich ( Ausnahme der x- Achse ). Im Video wird dir anhand einiger Beispiele gezeigt, wie man diesen Bereich bestimmt. Du benötigst hierfür dein Wissen über die Nullstellenbestimmung von quadratischen Funktionen. Des Weiteren solltest du anhand der Funktionsgleichung, die Öffnung und Lage der Parabel erschließen können. Nutze die Gelegenheit und versuche die Aufgabe zunächst selbständig zu lösen. Vergleiche im Anschluss deine Lösungen! Viel Spaß.

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. dass der Lehrer von oben schreibt und von links nach rechts, verursacht mir eine große Deskonzentration, und eher Konfusion. komisch. Man ist gewöhnt von der Schulzeit vor der Tafel zu stehen, und nicht über der Tafel. ein organisatorischer Fehler für mich.

    Von Dlairma, vor etwa einem Monat
  2. Hallo Lidyacindy, wenn du noch Fragen hast, kannst du dich gerne an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht K., vor 9 Monaten
  3. Ich habe leider auch wirklich nicht wirklich was verstanden. Ging alles bisschen schnell und ich musste immer wieder zurückspulen um den Zwischenschritt zu verstehen. Bisschen mehr Erklärung wäre besser

    Von Lidyacindy, vor 9 Monaten
  4. Nichts verstanden.. Überhaupt nicht empfehlenswert..

    Von Murat N., vor 11 Monaten
  5. Hallo Vivien P.,
    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln – Vorzeichen der Funktionswerte kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe das Vorgehen zur Untersuchung auf Bereiche oberhalb der x-Achse.

    Tipps

    Zur Lösung der Gleichung $x^2~+~px~+~q=$ benötigst du die p-q-Formel:

    $x_{1,2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

    Wenn du die Nullstellen kennst, musst du nur noch schauen, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist.

    Zeichne bei zwei gegebenen Nullstellen einmal eine nach unten geöffnete und einmal eine nach oben geöffnete Parabel.

    Wo liegt die Parabel oberhalb der x-Achse?

    Lösung

    Um den Bereich oberhalb der x-Achse eines Funktionsgraphen herauszufinden, müssen wir von der Funktion $f(x)=-3x^2~+~12x~+~15$ die Nullstellen bestimmen.

    $\begin{align*} -3x^2~+~12x~+~15&=0 \\ -3(x^2~-~4x~-~5)&=0 \\ x^2~-~4x~-~5 & =0 \end{align*}$

    Wir werden die p-q-Formel an.

    $\begin{align*} x_{1/2}&=-\frac{-4}{2}±\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-5)} \\ & =2±\sqrt{4+5} \end{align*}$

    Die beiden Nullstellen sind $x_1=5$ und $x_2=-1$.

    Da $a=-3<0$ gilt, ist die Parabel ist nach unten geöffnet. Also gilt $f(x)>0$, falls $-1<x<5$.

  • Bestimme die Lage der Parabel bei einer Nullstelle.

    Tipps

    Wo liegt der Scheitelpunkt dieser Funktion?

    Der Graph liegt oberhalb der x-Achse, bedeutet $f(x)>0$.

    Lösung

    Die Funktion ist in der Scheitelpunktform gegeben. Der Scheitelpunkt lautet $S(-5|0)$. Er liegt also auf der x-Achse.

    Die Parabel liegt nicht komplett oberhalb der x-Achse. Denn der Scheitelpunkt liegt ja auf der x-Achse. Sie liegt oberhalb der x-Achse, falls entweder $x<-5$ oder $x>-5$.

    Für $x=-5$ ist der Funktionswert gerade 0.

  • Untersuche die Lage der Parabel.

    Tipps

    Zur Lösung der Gleichung $x^2~+~px~+~q=$ benötigst du die p-q-Formel:

    $x_{1/2}=-\frac{p}{2}±\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$.

    Woran erkennst du, ob die Parabel nach oben oder nach unten geöffnet ist?

    Lösung

    Da $a=-2<0$ gilt, ist die Parabel nach unten geöffnet.

    Jetzt gibt es die Fälle:

    1. Zwei Nullstellen: $f(x)>0$ für alle $x$ zwischen diesen beiden Nullstellen.
    2. Eine Nullstelle: Diese ist auch der Scheitelpunkt. $f(x)>0$ ist dann mit $a<0$ für kein x erfüllt.
    3. Keine Nullstelle: Die Funktion liegt komplett unterhalb der x-Achse. Oder anders ausgedrückt: $f(x)>0$ gilt für kein $x$.
    Die Funktion $f(x)=-2x^2~+~4x~+~6$ ist nach unten geöffnet. Sie hat zwei Nullstellen, welche du mit der p-q-Formel berechnen kannst:

    $\begin{align} -2x^2~+~4x~+~6&=0 \\ -2\cdot (x^2-2x-3)&=0 &|& :(-2) \\ x^2-2x-3&=0 \\ x_{1,2}= 1 \pm \sqrt{1+3} \\ x_1=3~\vee x_2=-1 \end{align}$

    Weil die Parabel nach unten geöffnet ist, gilt: $f(x)>0$, falls $-1<x<3$.

  • Arbeite heraus, welche Auswirkung der Scheitelpunkt und die Öffnung auf die Lage der Parabel hat.

    Tipps

    Schau dir für die verschiedenen Fälle jeweils ein Beispiel für den Scheitelpunkt an.

    Liegt der Scheitelpunkt oberhalb oder unterhalb der x-Achse?

    Ein Beispiel für den Fall $a>0$ und $e>0$ ist die Funktion mit der Funktionsgleichung $f(x)=1 \cdot (x+0)^2+1$. Der Scheitelpunkt lautet $S(0|1)$. Welche Nullstellen hat die Funktion? Ist sie nach oben oder unten geöffnet?

    Im obigen Bild liegt der Scheitelpunkt unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet.

    Verschiebe diese Parabel in positiver x-Richtung, bis der Scheitelpunkt auf der x-Achse liegt.

    Lösung

    Es gibt zwei Fälle, bei denen die Parabel entweder komplett, d.h. für alle $x \in \mathbb{R}$, oberhalb oder unterhalb der x-Achse liegt. In diesen beiden Fällen existieren auch keine Nullstellen.

    • $e>0$ und $a>0$: Der Scheitelpunkt liegt oberhalb der x-Achse und die Parabel ist nach oben geöffnet. In diesem Fall liegt die Parabel komplett oberhalb der x-Achse.
    • $e<0$ und $a<0$: Der Scheitelpunkt liegt unterhalb der x-Achse und die Parabel ist nach unten geöffnet. In diesem Fall liegt die Parabel komplett unterhalb der x-Achse.
    Sei nun $e=0$, dann liegt der Scheitelpunkt $S(-d|0)$ auf der x-Achse. In diesen beiden Fällen existiert nur eine Nullstelle. Diese Nullstelle ist der Scheitelpunkt.
    • Ist die Parabel nun nach oben geöffnet, also $a>0$, dann liegt die Parabel oberhalb der x-Achse, falls entweder $x<-d$ oder $x>-d$.
    • Bei einer nach unten geöffneten Parabel, liegt die Parabel in den entsprechenden Bereichen unterhalb der x-Achse.
    Und nun gibt es nur noch die Fälle mit zwei Nullstellen, welche du mit der p-q-Formel berechnen kannst.
    • $e<0$, $a>0$: Die Parabel liegt oberhalb der x-Achse, falls entweder $x$ links der kleinere oder rechts der größeren Nullstelle liegt.
    • $e>0$, $a<0$: Der Bereich, in dem die Parabel oberhalb der x-Achse liegt, ist gerade der zwischen den Nullstellen, die Nullstellen selbst natürlich ausgenommen.
  • Gib die Nullstellen sowie den Bereich an, in welchem die Parabel oberhalb der x-Achse liegt.

    Tipps

    Bei zwei Nullstellen gibt es sowohl Bereiche oberhalb, wie auch unterhalb der x-Achse.

    Wo diese liegen, hängt von der Öffnung der Parabel ab?

    Die Nullstellen der Funktion $f(x)=(x-1)\cdot (x+3)$ sind $x_1=1$ und $x_2=-3$.

    Lösung

    Wenn eine Funktion in dieser Form gegeben ist, lassen sich die Nullstellen direkt angeben, da ein Produkt $0$ wird, wenn einer der Faktoren $0$ wird.

    • Der eine Faktor $x-3$ wird $0$ für $x_1=3$.
    • Der andere Faktor $x+2$ wird $0$ für $x_2=-2$.
    In der ausmultiplizierten, der sogenannten faktorisierten Darstellung $f(x)=x^2~-~x~-~6$ kannst du erkennen, dass der Graph der Funktion einer nach oben geöffnete Normalparabel ($a=1$) entspricht.

    Somit ist $f(x)>0$, falls entweder $x<-2$ oder $x>3$ ist.

  • Ordne den Funktionsgleichungen die Lage der entsprechenden Parabel zu.

    Tipps

    Du kannst bei den Funktionsgleichungen in Scheitelpunktform den Scheitelpunkt und die Öffnung der Parabel zur Lösung verwenden.

    Berechne jeweils die Nullstellen der Funktionsgleichung, die nicht in Scheitelpunktform sind.

    Achte ebenfalls auf den Faktor $a$ vor dem $x^2$.

    Falls es nur eine Nullstelle gibt, dann ist der Scheitelpunkt auch die Nullstelle. Wenn $a>0$ gilt, dann liegt der Graph für alle bis auf ein x oberhalb der x-Achse.

    Lösung

    Eine quadratische Funktion kann ...

    • ... keine Nullstelle haben. Dann liegt der Graph komplett, d.h. für alle $x \in \mathbb{R}$, oberhalb oder unterhalb der x-Achse. Es reicht also die Betrachtung des Scheitelpunktes und der Öffnung der Parabel.
    • ... eine Nullstelle haben. Dann hat die Parabel an dieser Nullstelle keinen Vorzeichenwechsel. Ist sie nach oben geöffnet, liegt sie links und rechts der Nullstelle oberhalb der x-Achse. Analog liegt sie links und rechts der Nullstelle unterhalb der x-Achse, wenn sie nach unten geöffnet ist.
    • ... zwei Nullstellen haben. Im Falle einer nach oben geöffneten Parabel liegt diese links von der kleineren und rechts von der größeren Nullstelle oberhalb der x-Achse. Im Falle einer nach unten geöffneten Parabel liegt diese zwischen den Nullstellen oberhalb der x-Achse.
    Zu den Beispielen:
    1. $f(x)=-2(x+1)\cdot(x-2)$: Die quadratische Funktion liegt als Produkt vor, deshalb kannst du die Nullstellen ablesen. Diese sind $x_1=-1$ und $x_2=2$. Die Parabel ist nach unten geöffnet. Also ist $f(x)>0$, falls $-1<x<2$.
    2. $f(x)=(x-3)^2$: Diese Parabel hat nur eine Nullstelle bei $x=3$. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Also ist $f(x)>0$, falls entweder $x<3$ oder $x>3$.
    3. $f(x)=x^2~+~4x~+~3$: Hier kannst du mit der p-q-Formel die Nullstellen berechnen. Diese sind $x_1=-1$ und $x_2=-3$. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Also ist $f(x)>0$, falls $x<-3$ oder $x>-1$.
    4. $f(x)=\frac{1}{3}(x-2)^2+3$: Diese Parabel hat ihren Scheitelpunkt bei $S(2|3)$. Dieser liegt oberhalb der x-Achse. Die Parabel ist nach oben geöffnet. Also ist $f(x)>0$ für alle $x \in \mathbb{R}$.

30 Tage kostenlos testen
Mit Spaß Noten verbessern
und vollen Zugriff erhalten auf

10.833

Lernvideos

44.367

Übungen

39.003

Arbeitsblätter

24h

Hilfe von Lehrer*
innen

laufender Yeti

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.

30 Tage kostenlos testen

Testphase jederzeit online beenden