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Parabeln verschieben (1) 07:33 min

Textversion des Videos

Transkript Parabeln verschieben (1)

Hallo. Beim Verschieben von Parabeln gibt es acht unterschiedliche Fälle. Und die möchte ich jetzt ganz kurz einmal vorstellen. Ich möchte nicht jedes Detail erklären, sondern das Thema zusammenfassen. Und das ist zum Beispiel für dich ganz gut, wenn du das Thema schon einmal gemacht hast und das jetzt nur noch einmal kurz wiederholen möchtest. Um dem ganzen folgen zu können, wäre es gut, wenn du weißt, wasquadratische Funktionen sind, was Parabeln sind, was eine Scheitelpunktform ist, was eine Normalform ist, wie manquadratische Gleichungen löst und wie man diequadratische Ergänzung macht. Also dann, die acht Fälle gliedern sich folgendermaßen: Eine Parabel kann nach oben oder nach unten verschoben werden, das heißt entlang also der y-Achse. Sie kann aber auch nach rechts oder nach links verschoben werden, also entlang der x-Achse. Die Funktionsgleichung der zugehörigen Funktion kann in Scheitelpunktform vorliegen oder eben auch in Normalform vorliegen. Und das Ergebnis, also die Funktionsgleichung der Funktion, zu der die verschobene Parabel gehört, die kann in Scheitelpunktform gefordert sein oder kann eben auch in Normalform gefordert sein. Das sind die acht Fälle. Fangen wir mit dem ersten an. Eine Parabel soll entlang der y-Achse verschoben werden. Die Funktionsgleichung ist in Scheitelpunktform gegeben und das Ergebnis soll auch in Scheitelpunktform vorliegen. Hier ist eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform y = 3 (x + 1)2 -4. Und wenn wir diese Parabel jetzt zum Beispiel um drei Einheiten nach oben verschieben möchten, dann können wir einfach + 3 rechnen. Und das muss man dann noch ausrechnen, also 3 (x + 1)2 - 1. Im zweiten Fall soll die Funktionsgleichung nicht in Scheitelpunktform, sondern in Normalform vorliegen. Und dazu müssen wir eine binomische Formel anwenden und ausmultiplizieren. Dieser Term hat die Scheitelpunktform. Wir können erstmal die erste binomische Formel anwenden. Und dann können wir ausmultiplizieren und natürlich dann noch hier die -1 berücksichtigen. Und wir haben dann 3x2 + 6x + 2. Im dritten Fall liegt die Ausgangsfunktion in Normalform vor. Und die Funktionsgleichung der verschobenen Parabel soll in Scheitelpunktform vorliegen. Naja, da müssen wir dann eine Normalform in eine Scheitelpunktform überführen, und zwar mit der quadratischen Ergänzung. Das ist eine Funktionsgleichung in Normalform y = 2x2 - 6x + 8. Und wenn wir die zugehörige Parabel jetzt zum Beispiel um zwei Einheiten nach oben verschieben möchten, können wir einfach + 2 rechnen. Das lässt man so natürlich nicht stehen, sondern rechnet das noch aus. Und jetzt soll ja die Funktionsgleichung nicht in Normalform da stehen, sondern in Scheitelpunktform. Und da müssen wir halt in Scheitelpunktform bringen. Dazu müssen wir erst einmal hier die 2 ausklammern. Dann kommt die quadratische Ergänzung. Auf die drei Summanden hier können wir jetzt die zweite binomische Formel anwenden. Und jetzt müssen wir noch ausmultiplizieren. Und das müssen wir natürlich auch noch ausrechnen. Im vierten Fall soll die Funktionsgleichung in Normalform vorliegen. Und um das zu erreichen, machen wir einfach nichts. Hier haben wir eine Funktionsgleichung in Normalform. Wir können die zugehörige Parabel zum Beispiel um fünf Einheiten nach unten verschieben. Und dann müssen wir das hier noch ausrechnen. Also haben wir 2x2 - 6x + 3. Im fünften Fall soll die Parabel entlang der x-Achse verschoben werden. Die Funktionsgleichung liegt in Scheitelpunktform vor. Und das Ergebnis soll auch wieder die Scheitelpunktform haben. Und dazu können wir einfach eine Zahl ändern. Hier haben wir eine Funktionsgleichung in Scheitelpunktform y = 2(x + 4)2 + 1. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes ist bei -4. Wenn wir diese Parabel jetzt um zwei Einheiten nach rechts verschieben wollen, liegt der Scheitelpunkt bei -2. Die Parabel sieht dann ungefähr so aus, bisschen breiter geraten als die andere, macht nichts. Und dann müssen wir einfach eine neue Funktionsgleichung hinschreiben in Scheitelpunktform. Und da steht hier nicht +4, sondern einfach +2, weil der Scheitelpunkt bei -2 sein soll. Im sechsten Fall soll das Ergebnis in Normalform vorliegen. Und da müssen wir halt eine Scheitelpunktform in eine Normalform überführen. Und das machen wir mit einer binomischen Formel und mit ausmultiplizieren. Wir wenden erst die erste binomische Formel an. Und hier darf man die Klammer nicht vergessen, denn wir multiplizieren erst die Klammer und das Ergebnis davon muss dann noch mit 2 multipliziert werden. Wir haben x2 + 4x + 4. Und jetzt noch ausmultiplizieren. Und das und das und das können wir direkt ausrechnen. Im siebten Fall ist uns eine Normalform gegeben. Und wir suchen die Scheitelpunktform der verschobenen Parabel. Hier haben wir eine Funktion in Scheitelpunktform y = -4x2 + 24x - 31. Wenn wir jetzt die zugehörige Parabel entlang der x-Achse verschieben wollen, müssen wir diese Funktionsgleichung erstmal in Scheitelpunktform bringen. Und das machen wir durch ausklammern von -4. Dann kommt die quadratische Ergänzung. Dann können wir die zweite binomische Formel anwenden. Und dann müssen wir noch ausmultiplizieren und hinten noch etwas ausrechnen. Jetzt sehen wir, dass die zugehörige Parabel einen Scheitelpunkt hat, und zwar bei der x-Koordinate +3. Wenn wir diese Parabel jetzt, sagen wir, um neun Einheiten nach links verschieben möchten, dann müssen wir hier einfach eine andere Zahl hinschreiben. Wenn jetzt der Scheitelpunkt also bei +3 ist, wird er dann bei Verschiebung um neun Einheiten nach links bei -6 sein. Also muss dann an dieser Stelle hier +6 stehen. Und dann können wir einfach eine neue Funktionsgleichung hinschreiben. Und dann sind wir fertig. Und im achten und letzten Fall haben wir eine Normalform gegeben. Und das Ergebnis soll auch wieder in Normalform vorliegen. Und das kennen wir schon von der Scheitelpunktform in die Normalform, binomische Formel anwenden, ausmultiplizieren, glücklich sein. Erst die erste binomische Formel, hier aufpassen, hier brauchen wir eine Klammer. Und jetzt ausmultiplizieren. So dann haben wir den Fall auch erledigt, den letzten Fall. Und ich würde sagen, da sind wir durch. Wir haben alles richtig gemacht. Wunderbar, viel Spaß damit. Tschüss.

4 Kommentare
  1. Hallo Abdosarah,
    hast du Zugang zur Lehrerbox oder dem Fach-Chat? Dann könntest du dort um Hilfestellung bei konkreten Fragen oder Aufgaben bitten.
    Womit genau hast du denn noch Schwierigkeiten?
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor mehr als einem Jahr
  2. er hat es gut erklärt aber ich weiß trz nicht wie man das macht😭

    Von Abdosarah, vor mehr als einem Jahr
  3. @Maas0804: Kannst du bitte die Aufgabe der Übung angeben? Dann prüfe ich es nochmals.

    Von Martin B., vor mehr als 4 Jahren
  4. Ich versteh die Übung nicht so ganz...
    Wenn man die Gleichung nach links verschieben will, dann wird doch aus f(x)=x^2-5 doch --> f(x)=(x+3)^2-5.. oder?
    und aus der gleichung habe ich dann eine Normalform gemacht. und da kam y=x^2+6x+4

    Von LiDonDe M., vor mehr als 4 Jahren

Parabeln verschieben (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Parabeln verschieben (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe, wie eine Parabel entlang der y-Achse verschoben werden kann.

    Tipps

    Wenn du dir in dem obigen Bild die verschobene blaue Parabel anschaust:

    Was ändert sich?

    Der Funktionswert der roten Parabel für $x=3$ ist $0$. Welchen Funktionswert hat die blaue Parabel für $x=3$?

    Wird bei einer Verschiebung nach oben auf den Funktionswert $y$ oder auf die Variable $x$ addiert?

    Lösung

    Parabeln können entlang der y-Achse verschoben werden, das heißt, nach oben oder nach unten.

    Welche Auswirkung hat dies auf die Funktionsgleichung?

    1. Der Graph der Funktion $y=3(x+1)^2-4$ soll um 3 LE nach oben verschoben werden. Die Darstellung der Funktion zu dem verschobenen Graphen soll auch in Scheitelpunktform gegeben sein: $y=3(x+1)^2-4+3=3(x+1)^2-1$.
    2. Um die quadratische Gleichung in Normalform zu erhalten, muss die binomische Formel aufgelöst und ausmultipliziert werden: $y=3(x^2+2x+1)-1=3x^2+6x+2$.
    3. Um den Graphen zu der quadratischen Funktion in Normalform $y=2x^2-6x+8$ um 5 LE nach unten zu verschieben, musst du 5 von der Funktion subtrahieren: $y=2x^2-6x+8-5=2x^2-6x+3$.
  • Ergänze die Funktion bei einer Verschiebung entlang der x-Achse.

    Tipps

    Wird bei einer Verschiebung nach rechts von dem Funktionswert $y$ oder von der Variablen $x$ subtrahiert?

    Welche Auswirkung eine Verschiebung entlang der x-Achse auf die Funktionsgleichung hat, kannst du dir bei der Scheitelpunktform gut an der $x$-Koordinate des Scheitelpunktes klarmachen.

    Der Scheitelpunkt der roten Parabel in dem Bild oben ist $S(3|0)$. Nach der Verschiebung um 2 LE nach links ist der Scheitelpunkt der grünen Parabel $S(1|0)$.

    Lösung

    Parabeln können entlang der x-Achse verschoben werden, das heißt, nach rechts oder nach links.

    Welche Auswirkung hat dies auf die Funktionsgleichung?

    Du kannst dir dies bei der Scheitelpunktform $y=a(x-d)^2+e$ am Scheitelpunkt klar machen. Dieser ist $S(d|e)$ die Verschiebung um zum Beispiel 2 LE nach rechts bedeutet, dass der Scheitelpunkt der verschobenen Parabel gerade $S(d+2|e)$ ist.

    Nun kannst du wieder die Scheitelpunktform aufschreiben:

    $y=a(x-(d+2))^2+e=a(x-d-2)^2+e$.

    Du siehst, die Verschiebung um 2 LE nach rechts heißt: Subtrahiere in der Funktionsgleichung 2 von $x-d$.

    Entsprechend führt eine Verschiebung um, zum Beispiel, 3 LE nach links zu einer Addition von 3 zu $x-d$.

    1. Der Graph der Funktion $y=2(x+4)^2+1$ soll um 2 LE nach rechts verschoben werden. Die Darstellung der Funktion zu dem verschobenen Graphen soll auch in Scheitelpunktform gegeben sein: $y=2(x+4-2)^2+1=2(x+2)^2+1$.
    2. Um die quadratische Gleichung in Normalform zu erhalten, muss die binomische Formel aufgelöst und ausmultipliziert werden: $y=2(x^2+4x+4)+1=2x^2+8x+9$.
    3. Der Graph der Funktion $y=-4(x-3)^2+5$ soll um 9 LE nach links verschoben werden. Die Darstellung der Funktion zu dem verschobenen Graphen soll auch in Scheitelpunktform gegeben sein: $y=-4(x-3+9)^2+5=-4(x+6)^2+5$.
    4. Die verschobene Funktion in Normalform erhältst du durch Verwendung der binomischen Formel. $y=-4(x^2+12x+36)+5=-4x^2-48x-144+5=-4x^2-48x-139$.
  • Ermittle, wie die Parabel verschoben werden muss, damit sie Nullstellen hat.

    Tipps

    Wie lautet der Scheitelpunkt der nach oben oder unten verschobenen Parabel mit einer Nullstelle?

    Es gibt genau eine Verschiebung nach oben oder unten, nach welcher die Parabel eine Nullstelle hat.

    Vor der Verschiebung hat die Parabel keine Nullstelle.

    Lösung

    Die Gleichung der Ausgangsfunktion in Scheitelpunktform ist gegeben durch $y=(x-3)^2+2$ mit dem Scheitelpunkt $S(3|2)$. Da der Scheitelpunkt oberhalb der x-Achse liegt und die Parabel, im Bild blau, nach oben geöffnet ist, hat sie keine Nullstellen.

    Wenn der Scheitelpunkt der verschobenen Parabel auf der x-Achse liegt, hat die Funktion eine Nullstelle. Der Scheitelpunkt ist dann $S(3|0)$.

    Die Parabel wird also um 2 LE nach unten verschoben. Die neue Scheitelpunktform lautet $y=(x-3)^2$. Durch Anwendung der 2. binomischen Formel kann diese umgeformt werden zu $y=x^2-6x+9$. Die dazugehörige Parabel ist in dem Bild rot gezeichnet.

    Da die blaue Parabel keine Nullstellen hat und die rote (Verschiebung um 2 LE nach unten) eine, bedeutet dies, dass jede Verschiebung um weniger als 2 LE nach unten zu einer Parabel führt, die auch keine Nullstelle hat. Jede Verschiebung um mehr als 2 LE nach unten führt demnach zu einer Parabel, die 2 Nullstellen hat. Hier in dem Bild exemplarisch die um 3 LE nach unten verschobene grüne Parabel.

    Diese hat die Nullstellen $x_1=2$ und $x_2=4$, welche du wie folgt erhältst:

    $\begin{align*} 0&=(x-3)^2-1 &|& +1\\ 1&=(x-3)^2 &|& \sqrt{~}\\ ±1&=x-3 &|& +3\\ x_1&=3-1=2\\ x_2&=3+1=4 \end{align*}$.

  • Untersuche die verschobene Parabel auf Nullstellen.

    Tipps

    Bestimme zunächst die Koordinaten des verschobenen Scheitelpunktes.

    Beispiel:

    Eine Parabel mit dem Scheitelpunkt $S(8|2)$ wird um $6$ Einheiten nach links verschoben und um $3$ Einheiten nach oben.

    • „ Nach links “ bedeutet, in negative $x$-Richtung.
    • „ Nach oben “ bedeutet, in positive $y$-Richtung.
    Es gilt somit für die Koordinaten des verschobenen Scheitelpunktes:

    $S'(8-6|2+3)=S'(2|5)$

    Setze die bekannten Werte für $a$, $e$ und $d$ in die Scheitelpunktform ein.

    Löse die erhaltene Gleichung, indem du für $y$ die Zahl 0 einsetzt und die Gleichung nach $x$ auflöst.

    Der Scheitelpunkt der verschobenen Parabel ist:

    $S(-1|-12)$

    Lösung

    Der Scheitelpunkt ist $S(2|-2)$. Die Verschiebung um 10 LE nach unten und 3 LE nach links wirkt sich auf den neuen Scheitelpunkt aus. Dieser lautet nun $S(-d|e)=S(-1|-12)$.

    Somit ist die Scheitelpunktform der verschobenen Parabel durch $y=3(x+1)^2-12$ gegeben.

    Um die Nullstellen zu finden, muss die folgende Gleichung gelöst werden:

    $\begin{align*} 0&=3(x+1)^2-12 &|& +12\\ 12&=3(x+1)^2 &|& :3\\ 4&=(x+1)^2 &|& \sqrt{~}\\ ±2&=x+1 &|& -1\\ x_1&=-1+2=1\\ x_2&=-1-2=-3. \end{align*}$

  • Bestimme die Verschiebung der Parabel.

    Tipps

    Schau dir jeweils die Scheitelpunkte an.

    Du kannst dir eine Verschiebung wie ein Kopieren vorstellen:

    Kopiere die rote Parabel und füge sie wieder ein.

    Überlege dir, wie du die jeweilige Parabel erhältst.

    Lösung

    Die Scheitelpunktform der roten Parabel lautet: $y=(x-3)^2$. An der Scheitelpunktform und an dem Scheitelpunkt kannst du dir die Verschiebung gut klarmachen.

    1. Die grüne Parabel entsteht durch Verschiebung um 2 LE in negativer x-Achsenrichtung, also nach links. Die neue Scheitelpunktform lautet: $x=(x-3+2)^2=(x-1)^2$, $S(1|0)$.
    2. Die blaue Parabel entsteht durch Verschiebung um 2 LE in positiver y-Achsenrichtung, also nach oben. Die neue Scheitelpunktform lautet: $x=(x-3)^2+2$, $S(3|2)$.
    3. Die violette Parabel entsteht durch Verschiebung um 1 LE in positiver x-Achsenrichtung, also nach rechts. Die neue Scheitelpunktform lautet: $x=(x-3-1)^2=(x-4)^2$, $S(4|0)$.
    4. Die gelbe Parabel entsteht durch Verschiebung um 2 LE in negativer y-Achsenrichtung, also nach unten. Die neue Scheitelpunktform lautet: $x=(x-3)^2-2$, $S(3|-2)$.
  • Leite die Funktionsgleichung einer verschobenen Parabel in Normalform her.

    Tipps

    Du könntest die Funktionsgleichung in Scheitelpunktform umformen.

    Dann kannst du dir die Verschiebung am Scheitelpunkt klarmachen.

    Verschiebung nach rechts entspricht einer Subtraktion von der Variablen.

    Verschiebung nach links entspricht einer Addition zur Variablen.

    Verschiebung nach oben entspricht einer Addition zum Funktionswert.

    Verschiebung nach unten entspricht einer Subtraktion vom Funktionswert.

    Lösung

    Verschiebungen

    • nach oben werden zu dem Funktionswert ($y$) addiert,
    • nach unten werden von dem Funktionswert ($y$) subtrahiert.
    Verschiebungen
    • nach rechts werden von der Variablen ($x$) subtrahiert,
    • nach links werden zu der Variablen ($x$) addiert.
    Zum Beispiel bedeutet dies für die Verschiebung um 2 LE nach rechts und 1 LE nach oben, angewendet auf die Funktion $y=2x^2+4x-4$:

    $\begin{align*} y&=2(x-2)^2+4(x-2)-4+1\\ &=2(x^2-4x+4)+4(x-2)-3\\ &=2x^2-8x+8+4x-8-3\\ &=2x^2-4x-3 \end{align*}$.

    Also ist $a=2$, $b=-4$ und $c=-3$.