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Negative Zahlen auf der Zahlengeraden 10:24 min

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Transkript Negative Zahlen auf der Zahlengeraden

Hallo, das Wetter macht manchmal schon verrückte Dinge. Im letzten Winter war es an einem Tag 7 Grad Celsius warm. Über die Nacht fiel die Temperatur dann aber wieder um 12 Grad Celsius. Welche Temperatur konnte ich an diesem Morgen am Thermometer ablesen?

In diesem Video wirst du mit Hilfe von Beispielen aus dem Alltag die negativen Zahlen kennenlernen. Außerdem wird dir erklärt, wie sich die Zahlenbereiche der natürlichen, der ganzen und der rationalen Zahlen zusammensetzen.

Die negativen Zahlen

Kommen wir zurück zu unserem Temperaturproblem. Die Temperatur fiel von 7 Grad um 12 Grad. Diese Aufgabe ist eigentlich einfach zu lösen. Man muss nur aufs Thermometer schauen. Mathematisch gesehen muss man 7 Grad Celsius minus 12Grad Celsius rechnen.

Hmmmmm, der Minuend 7 ist aber kleiner als der Subtrahend 12. Solche Aufgaben haben wir bisher noch nicht lösen können. Aber wir können durch Überlegen auf die Lösung kommen. Wir zählen einfach von der Zahl 7 zwölf Schritte rückwärts, ähnlich wie beim Raketen-Count-Down:

Sieben, Sechs, Fünf, Vier, Drei, Zwei, Eins, Null und wie gehts jetzt weiter? Wie viele Schritte haben wir denn noch? Sieben Schritte sind wir schon gegangen, zwölf Schritte müssen wir insgesamt gehen, also müssen wir noch fünf Schritte gehen. Welche Zahl folgt denn auf Null?

Das Thermometer verrät es uns: die minus eins, dann minus zwei, minus drei, minus vier und zum Schluss minus fünf. Am Morgen hatten wir also eine Temperatur von minus fünf Grad Celsius.

Wenn vor einer Zahl als Vorzeichen ein Minus steht, dann ist dies eine negative Zahl. Wenn vor einer Zahl ein Pluszeichen steht, dann ist dies eine positive Zahl. Eigentlich müsste es, wenn es sieben Grad Celsius warm ist, plus sieben Grad Celsius heißen.

Allerdings wird das Vorzeichen + bei positiven Zahlen meistens nicht genannt. Anders ist es bei negativen Zahlen. Bei ihnen wird immer das Minus als Vorzeichen genannt. Andernfalls wären positive und negative Zahlen auch nicht mehr unterscheidbar.

Negative Zahlen findet man nicht nur bei Temperaturangaben. Man findet sie auch an anderen Stellen im Alltag wieder.

Wenn du einen Atlas aufschlägst, dann kannst du auf einer physischen Karte Höhenangaben erkennen. Bei Gebirgen ist das Vorzeichen positiv, die Höhe des Mount Everest ist plus 8848 Meter. Bei Tiefseegräben ist das Vorzeichen negativ, beim Marianengraben steht minus 11034 Meter.

Wenn jemand Schulden bei der Bank hat, dann steht auf dem Kontoauszug ein Minuszeichen vor der Zahl. Beim Guthaben steht manchmal ein Pluszeichen vor der Zahl. Oft wird es weggelassen

Die natürlichen Zahlen

Nun wollen wir uns den Zahlenbereichen zuwenden: In der Grundschule hast du schon die natürlichen Zahlen kennengelernt und diese am Zahlenstrahl dargestellt. Null, Eins, Zwei, Drei, Vier, Fünf, Sechs, Sieben, und so weiter.

Der Zahlenstrahl fängt bei der Null an und geht bis ins Unendliche nach rechts. Der Zahlenstrahl ist geometrisch betrachtet eine Halbgerade ist, die einen Anfang, hier die Null aber kein Ende hat.

Jeder Zahlenstrahl besitzt eine Skala. Die Schrittweite der Markierungen, man kann auch sagen die Einheit, ist immer gleich.

Nun betrachten wir zwei verschiedene Darstellungen von Zahlenstrahlen: Auf dem ersten Blick sind beide Zahlenstrahlen gleich, da sie gleich lang gezeichnet sind.

Die erste Zahlengerade zeigt die Zahlen eins, zwei, drei und so weiter. Da jede einzelne Zahl markiert ist, beträgt die Einheit eins. Beim zweiten Zahlenstrahl wird nur jede zweite Zahl gezeigt: zwei, vier, sechs und so weiter. Der zweite Zahlenstrahl hat deshalb die Einheit zwei.

Die ganzen Zahlen

Nun erweitern wir den Zahlenstrahl ins Negative und kommen zum Zahlenbereich der ganzen Zahlen. Den natürlichen Zahlen 0, 1, 2, 3 und so weiter fügen wir die nun die negativen ganzen Zahlen -1, -2 -3 und so weiter hinzu. Sie bilden gemeinsam den Zahlenbereich der ganzen Zahlen Z.

Erweitern wir unseren Zahlenstrahl um die negativen Zahlen, so erhalten wir eine Zahlengerade. Die Zahlengerade hat keinen Anfangs- oder Endpunkt und ist somit nicht durch die null begrenzt. Deshalb kann man auch immer nur einen Ausschnitt zeichnen. Auch bei der Zahlengerade muss man wieder auf die Einheit beziehungsweise die Schrittweite achten. In dem aufgezeigten Beispiel beträgt die Einheit eins.

Nun möchte ich dich auf eine Besonderheit hinweisen. Die Null stellt die Mitte der Zahlengerade dar. Zwei Zahlen, die auf der Zahlengeraden symmetrisch zur Null liegen, nennt man ein Paar von Gegenzahlen. Die Gegenzahl zu 2 ist also -2, die Gegenzahl zu -3 ist 3.

Der Abstand von einer Zahl zur Null und der Abstand der zugehörigen Gegenzahl zur Null sind gleich. Diesem Abstand geben wir einen besonderen Namen. Wir nennen ihn Betrag einer Zahl.

Der Betrag einer Zahl ist also ihr Abstand zur Null. Wir schreiben für den Betrag die Zahl in Betragstrichen. Der Betrag der Zahl und der Betrag der Gegenzahl sind gleich. Zum Beispiel ist der Betrag aus 3 gleich dem Betrag aus -3 gleich 3.

Die rationalen Zahlen

Was versteht man nun unter den rationalen Zahlen? Neben den ganzen Zahlen hast du Brüche kennen gelernt. Auch diese haben natürlich Gegenzahlen. Die Gegenzahl zu plus drei Halbe ist minus drei Halbe. Die Gegenzahl zu minus drei Viertel ist plus drei Viertel.

Fügt man den ganzen Zahlen sämtliche positiven und negativen Brüchen hinzu, so erhält man den Zahlenbereich der rationalen Zahlen. Die rationalen Zahlen werden mit einem Q abgekürzt. Diese Zahlenmenge kann man nicht auflisten, da zwischen zwei rationalen Zahlen immer unendlich viele andere rationale Zahlen liegen. Zwischen der 0 und 1 liegt ½, ¼, ⅛, 1/16... 1/3000... Ich könnte immer so weiter machen.

Wir können also nur Beispiele für den Zahlenbereich der rationalen Zahlen geben: -3, minus drei Halbe, 0, ½ oder 1

Zusammenfassung

Wir fassen zusammen:

  1. Du hast an verschiedenen Beispielen kennen gelernt, wann negative Zahlen im Alltag vorkommen.
  2. Wir haben den Zahlenstrahl zur Zahlengerade erweitert. Die Zahlengerade hat keinen Anfangs- oder Endpunkt und ist somit nicht durch die null begrenzt.
  3. Der Betrag einer Zahl und der Betrag der zugehörigen Gegenzahl sind gleich.
  4. Natürliche Zahlen sind alle positiven ganzen Zahlen mit der Null.
  5. Ganze Zahlen sind alle negativen und positiven ganzen Zahlen mit der Null.
  6. Rationale Zahlen sind schließlich alle positiven und negativen ganzen Zahlen mit der Null sowie alle positiven und negativen Brüche.

Nun sind wir wirklich am Ende des Videos. Schön, dass du dir es angeschaut hast. Bis zum nächsten Mal!

35 Kommentare
  1. Hallo Aleynatekin04,

    bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Adina Schulz, vor 16 Tagen
  2. ich verstehe das alles einfach nicht

    Von Aleynatekin04, vor 16 Tagen
  3. Hallo Luis2006,
    Kannst du genauer sagen, was dir an der Übung nicht gefallen hat? Wurde beispielsweise etwas deiner Ansicht nach nicht ausreichend abgefragt? Wir freuen uns immer über Verbesserungsvorschläge.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Franziska H., vor mehr als einem Jahr
  4. gutes Video ich finde die Übung aber nicht so gut ;)

    Von Luis2006, vor mehr als einem Jahr
  5. super

    Von Edda 3, vor mehr als einem Jahr
Mehr Kommentare

Negative Zahlen auf der Zahlengeraden Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Negative Zahlen auf der Zahlengeraden kannst du es wiederholen und üben.

  • Bestimme die Lösungen und die Gegenzahlen.

    Tipps

    Als Rechentipp: $5-7=-(7-5)$.

    Die Gegenzahl einer Zahl hat den gleichen Betrag wie die Zahl selbst.

    Die Null hat kein Vorzeichen.

    Lösung

    Wir rechnen zunächst: $7-32=-(32-7)$.

    $32-7$ lässt sich leichter berechnen. Das Ergebnis ist $25$. Das Endergebnis ist demnach $-25$. Die Gegenzahl liegt gegenüber auf dem Zahlenstrahl, das heißt, wir müssen nur das Vorzeichen tauschen. Wir erhalten $25$.

    Die zweite Aufgabe ist etwas leichter. $15-14=1$ kriegen wir schnell heraus. Wie im ersten Teil tauschen wir für die Gegenzahl das Vorzeichen und erhalten $-1$.

    Die letzte Aufgabe rechnen wir in zwei Schritten: $33+11=44$, demnach ist $33+11-44=0$. $0$ ist die einzige Zahl, die für sich selbst die Gegenzahl ist, denn $0=-0$. Man nennt die $0$ deswegen auch das neutrale Element der Addition und Subtraktion.

  • Benenne die Zahlen mit gleichem Betrag.

    Tipps

    Der Betrag zweier Zahlen ist gleich, wenn sie die gleiche Entfernung von der 0 auf der Zahlengeraden haben.

    Wann haben zwei Zahlen das gleiche Vorzeichen und den gleichen Abstand zur Zahlengeraden?

    Lösung

    Zwei Zahlen haben den gleichen Betrag, wenn sie den gleichen Abstand von der $0$ auf der Zahlengeraden haben. Das heißt, es gibt zwei Möglichkeiten: Entweder es ist die gleiche Zahl oder sie unterscheidet sich nur im Vorzeichen.

    Die gesuchten Paare sind also: $4$ und $-4$, $\frac{4}{3}$ und $\frac{4}{3}$, $\frac{1}{3}$ und $-\frac{1}{3}$ sowie $-\frac{7}{5}$ und $\frac{7}{5}$.

  • Berechne die gesuchten Zahlen und ordne sie anschließend ihrer Größe nach.

    Tipps

    Ein Minuszeichen vor einer Klammer mit einer Differenz kann man wie folgt auflösen:

    $-(a-b)=b-a$.

    Denke an Punkt- vor Strichrechnung.

    Durch einen Bruch teilen heißt, mit dem Kehrwert multiplizieren.

    Lösung

    Wir rechnen nach:

    • $-(200-1) = -199 $ Diese Zahl ist die kleinste und befindet sich ganz links auf dem Zahlenstrahl.
    • $500-621= -(621-500)= - 121$ Diese Zahl in die nächstkleinere und befindet sich an zweiter Stelle auf dem Zahlenstrahl.
    • $(34+76):4=110:4=27\frac{1}{2}$ Denn die Klammer wird zuerst gerechnet. Diese Zahl ist die mittlere Zahl und befindet sich auf Position 3.
    • $34+76:4=34+19=53$ Denn Punktrechnung geht vor Strichrechnung. Diese Zahl ist die zweitgrößte Zahl und befindet sich auf Position 4.
    • $100 : \frac{1}{1000}=100\cdot\frac{1000}{1}=100\cdot1000=100000$ Denn es muss mit dem Kehrwert des zweiten Bruches multipliziert werden. Diese Zahl ist die größte der fünf Zahlen und befindet sich ganz rechts.
  • Ermittle die kleinstmögliche gemeinsame Menge.

    Tipps

    Überlege dir zunächst, welche der oberen Mengen die kleinere und welche die größere ist.

    Manche Brüche sind trotzdem natürliche oder ganze Zahlen. Wenn du vier halbe Gläser Wasser trinkst, hast du zwei ganze Gläser getrunken.

    Gehört eine der angegebenen Zahlen zu den ganzen oder rationalen Zahlen, ist die gemeinsame Menge immer die der ganzen oder rationalen Zahlen.

    Denk dran: $\frac{4}{1}=4$ und $\frac{12}{6}=2$

    Lösung

    Wir erinnern uns zunächst, dass die natürlichen Zahlen Teil der ganzen Zahlen sind. Die ganzen Zahlen wiederum sind Teil der rationalen Zahlen. In diesem Sinne ist die Menge der ganzen Zahlen kleiner als die der rationalen, die Menge der natürlichen Zahlen ist die kleinste Menge.

    Zuerst überprüfen wir also, welche der Zahlen natürliche Zahlen und welche ganze Zahlen sind, den Rest weisen wir den rationalen Zahlen zu.

    Klar ist, dass $0; 1; 9$, $1000$ und $5; 100$ zu den natürlichen Zahlen gehören. Darin kommt keine Zahl vor, die zu den ganzen oder rationalen Zahlen gehört. Auch $\frac{5}{1}; 7$ gehört zu den natürlichen Zahlen, weil du den Scheinbruch $\frac{5}{1}$ als natürliche Zahl, nämlich $5$, ausdrücken kannst.

    Die gemeinsame Menge von $-1; 0; 5$, $-8; 0; 1$ und $-9; -1$ sind die ganzen Zahlen, weil in jeder Zahlenfolge mindestens eine negative Zahl vorkommt. Auch $ -1; \frac{10}{5} $ gehört zu den ganzen Zahlen, weil der Scheinbruch $\frac{10}{5} $ als $2$ ausgedrückt werden kann.

    Alle anderen Zahlenfolgen haben als gemeinsame Zahlenmenge die rationalen Zahlen, weil mindestens ein echter Bruch enthalten ist, der nicht als natürliche oder ganze Zahl ausgedrückt werden kann.

  • Bestimme die Gegenzahlen.

    Tipps

    Erinnere dich: Brüche kann man kürzen oder erweitern.

    $\frac {3}{6}=\frac {1}{2}$

    Zahlen und ihre Gegenzahlen haben den gleichen Betrag, sind also gleich weit von der 0 auf der Zahlengeraden entfernt.

    Lösung

    Die Gegenzahl zu einer ganzen Zahl $a$ ist $-a$.

    Entsprechend suchen wir für die Zahlen auf der linken Seite die Zahlen auf der rechten Seite, die sich nur im Vorzeichen unterscheiden.

    Die einzige Schwierigkeit dabei ist, dass wir feststellen müssen, dass $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$ ist, weil man Brüche kürzen oder erweitern kann.

    Die Lösungen sind demnach:

    $-1 \to 1$,

    $\frac{8}{9} \to -\frac{8}{9}$,

    $\frac{100}{99} \to -\frac{100}{99}$,

    $\frac{2}{4} \to -\frac{1}{2}$.

  • Ermittle die wahren Aussagen.

    Tipps

    Erinnerst du dich an die Definition der Primzahlen? Alle Primzahlen sind natürliche Zahlen und sind nur durch 1 und sich selbst teilbar.

    Alle natürlichen Zahlen sind auch Teil der ganzen Zahlen. Und alle ganzen Zahlen sind auch Teil der rationalen Zahlen.

    Lösung

    Die natürlichen Zahlen sind die Zahlen, die man beim Schäfchenzählen verwendet. Bis man eingeschlafen ist, zählt man und zählt man und zählt man....

    Jeder schläft irgendwann ein. Das mag unterschiedlich lange dauern, aber niemand wird je fertig mit Zählen, denn es gibt keine größte natürliche Zahl. Es gibt also unendlich viele natürliche Zahlen.

    Jede ganze Zahl ist auch eine rationale Zahl. Denn die rationalen Zahlen erweitern die ganzen Zahlen um die Brüche, aber die ganzen Zahlen kommen dort genau so vor.

    Umgekehrt geht das allerdings nicht, zum Beispiel ist $\frac{1}{2}$ eine Zahl zwischen $1$ und $2$. Zwischen diesen beiden ganzen Zahlen gibt es aber keine weitere ganze Zahl.

    Zum Schluss erinnern wir uns an die Definition der Primzahlen: Eine Primzahl ist eine natürliche Zahl, die genau zwei natürliche Zahlen als Teiler hat, nämlich $1$ und sich selber.

    Wirklich wichtig ist für uns eigentlich nur, dass Primzahlen natürliche Zahlen sind und somit nicht negativ sind.