Mittlere Änderungsrate – Steigung einer Sekante

Hallo, hier ist Mindy. Die mittlere Änderungsrate wird der Schwerpunkt dieses Videos sein. Insbesondere befassen wir uns mit der Steigung einer Sekante. Das lässt sich am besten anhand eines Beispiels erklären. Seit einigen Jahren versucht man, den Orang-Utan-Bestand auf Borneo zu untersuchen. Genaue Werte sind jedoch nur schwer zu ermitteln, daher konnten die Forscher nur Schätzungen abgeben. Im Jahr 1990 lebten auf Borneo noch rund 150.000 Orang-Utans, bis heute reduzierte sich der Bestand jedoch auf etwa 49.500 Individuen. Das liegt hauptsächlich daran, dass in den letzten 30 Jahren rund 60% ihres Lebensraumes durch Holzeinschlag, Umwandlung von Regenwald in Ackerland und Ölpalmen-Plantagen verloren gegangen sind. Naturschützer setzen sich dafür ein, diese Lebensräume zu erhalten. Überzeugen können sie dabei nur durch aussagekräftige Statistiken. So fertigen sie Diagramme an, um Voraussagen zum künftigen Bestand der Orang-Utans zu machen. Wie das genau funktioniert, sehen wir uns jetzt zusammen an. Aus den gewonnenen Daten zur Bestandsanalyse können wir ein Säulendiagramm erstellen. Um jedoch eine Vorhersage treffen zu können, benötigen wir ein Liniendiagramm. Dazu übertragen wir die Daten in ein Koordinatensystem. Dann erhalten wir zwar nicht den exakten Graphen, aber dafür eine Vorstellung zu dessen ungefähren Verlauf. Nun können wir die Zeitspanne von 1990 bis 2010 näher betrachten. Um noch genauere Aussagen über die Abnahmerate treffen zu können, nehmen wir uns jedes Zeitintervall einzeln vor und ermitteln jeweils die Abnahmerate der Anzahl von Individuen, also der Orang-Utans. Für die weiteren Überlegungen wählen wir uns ein Zeitintervall aus und verallgemeinern es. Wir stellen fest, dass die Verbindungslinie zwischen den Datenpunkten nicht geradlinig und daher schwer für uns zu bestimmen ist. Um diese Abnahmerate dennoch ungefähr bestimmen zu können, verbinden wir beide Datenpunkte miteinander und erhalten damit eine Sekante der Funktion, welche durch die Punkte P und Q verläuft. Die Abnahmerate können wir dann über den Anstieg dieser Sekante berechnen. Dieser entspricht der mittlere Änderungsrate. Erinnerst du dich noch, wie man den Anstieg einer Sekante, beziehungsweise linearen Funktion, berechnet? Richtig! Mit Hilfe eines Steigungsdreiecks. Wir können den Unterschied der Individuenzahl mit Delta y bezeichnen und die Zeitspanne mit Delta x. Nun bilden wir den Differenzenquotient, Delta y durch Delta x, und erhalten damit den Anstieg der Sekante. Aus diesen Vorüberlegungen heraus, können wir nun den folgenden Merksatz formulieren: Die Funktion f(x) sei auf dem Intervall [a; b] definiert, dann bezeichnet man den Quotienten, Delta y durch Delta x gleich f(b) minus f(a) durch b minus a, als Differenzenquotient, beziehungsweise als mittlere Änderungsrate, von f im Intervall [a; b]. Die mittlere Änderungsrate entspricht der Steigung der Sekante durch P(a; f(a)) und Q(b; f(b)). Kurz gesagt: Die mittlere Änderungsrate ist ein Maß dafür, wie schnell sich die Funktion in einem Intervall im Durchschnitt ändert. Je kleiner man das betrachtete Intervall fasst, umso genauer werden auch die Näherungswerte. Wenden wir diese Erkenntnisse nun auf das Beispiel an. Dazu nehmen wir uns die Werte im Koordinatensystem oder alternativ die Datentabelle vor. Wir berechnen zuerst die mittlere Änderungsrate im Intervall 1990 bis 1998. Wir rechnen Delta y durch Delta x und setzen ein: 118.500 minus 150.000 geteilt durch 1998 minus 1990, was -31.500 geteilt durch 8 ist. Dies ist gerundet -3.938. Analog berechnen wir die mittleren Änderungsraten in den verbleibenden Intervallen. Nun können wir alle Werte miteinander vergleichen und erkennen, dass der Trend doch nicht so einheitlich verläuft, wie anfangs beim Säulendiagramm gedacht. Das liegt an den unterschiedlich großen Zeitintervallen. Zwischen 1998 und 2002 fand die größte Abnahme statt und zwischen 1990 und 1998 die geringste. Das kann man auch im Liniendiagramm gut nachvollziehen. Dennoch können wir an den Minuszeichen vor der mittleren Änderungsrate deutlich sehen, dass stets eine Abnahme der Individuenzahlen der Orang-Utans zu verzeichnen ist. Daher ist es zum Arterhalt unbedingt notwendig, ihren Lebensraum zu schützen. Dadurch würde die Individuenzahl wieder steigen und in Zukunft ein positives Vorzeichen vor der mittleren Änderungsrate zu verzeichnen sein. Darüber hinaus kann man viele Prozesse und Strukturen aus der Realität als Graph abbilden. Dadurch kann man sie mathematisch interpretieren und damit beobachtete Phänomene belegen. So kann man damit den Anstieg eines Bergs, die Geschwindigkeit eines Flugzeuges oder das Wachstum von Pflanzen untersuchen. Das war es schon wieder von mir. Daher sage ich nun bye, bye und bis zum nächsten Mal!