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Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit

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Mandy F.
Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit
lernst du in der 9. Klasse - 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit

Mithilfe der mittleren Änderungsrate kann man zum Beispiel Durchschnittsgeschwindigkeiten von Autos, Skifahrern, Läufern oder Raketen berechnen. Am Beispiel eines ICEs berechnen wir die Durchschnittsgeschwindigkeiten auf bestimmten Zeitintervallen. In vielfältigen Zusammenhängen bekommst du so Sicherheit im Umgang mit der mittleren Änderungsrate und dem Differenzenquotienten. Darüber hinaus lernst du viele neue Anwendungsbeispiele kennen.

2 Kommentare

2 Kommentare
  1. Hallo Susannahwinter,
    an dieser STelle werden die entsprechenden Funtionswerte eingesetzt. Für t=0 ist s(0)=0; für t=0,62 ist s(0,62)=65.
    Viel Erfolg beim Lernen wünscht Sofatutor!

    Von Jenny Marq, vor etwa 3 Jahren
  2. Bei 3.18 Minute: Wie wird denn da aus s(0,62) - s(0) in der Lösung plötzlich 65-0 ?
    Vielen Dank im Voraus

    Von Deleted User 520075, vor etwa 3 Jahren

Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Mittlere Änderungsrate – Durchschnittsgeschwindigkeit kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe am Beispiel des ICE, was man unter einer mittleren Änderungsrate versteht.

    Tipps

    Beachte die Maßeinheit $\frac{\text{km}}{\text{h}}$ für die Geschwindigkeit.

    Der griechische Buchstabe $\Delta$ steht für die Differenz.

    Lösung

    Die mittlere Änderungsrate lässt sich berechnen als Quotient aus Differenzen, den sogenannten Differenzenquotienten.

    Die mittlere Änderungsrate gibt die durchschnittliche Änderung einer Größe mit der Zeit an, also eine Durchschnittsgeschwindigkeit zum Beispiel oder ein durchschnittliches Wachstum, ein durchschnittlicher Zerfall usw.

    In dem hier gegebenen Beispiel geht es um eine Durchschnittsgeschwindigkeit. Hierfür dividierst du die zurückgelegte Strecke durch die dafür benötigte Zeit: $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

    Dies können wir uns an dem Beispiel des ersten Streckenabschnitts von Duisburg nach Köln anschauen.

    • Zum Zeitpunkt $0~\text{h}$ beträgt die zurückgelegte Strecke $S(0)=0~\text{km}$.
    • Zum Zeitpunkt $0,62~\text{h}$ beträgt die zurückgelegte Strecke $S(0)=65~\text{km}$.
    Damit erhältst du für die Durchschnittsgeschwindigkeit auf diesem Streckenabschnitt:

    $v_1=\frac{s(0,62)-s(0)}{0,62~\text{h}-0~\text{h}}=\frac{65~\text{km}-0~\text{km}}{0,62~\text{h}-0~\text{h}}=\frac{65~\text{km}}{0,62~\text{h}}\approx105~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Berechne die jeweilige mittlere Änderungsrate.

    Tipps

    Berechne jeweils den Differenzenquotienten $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

    Zum Beispiel ist für den Streckenabschnitt „Köln - Frankfurt“ $\Delta s=241~\text{km}-65~\text{km}$ und $\Delta t=1,63~\text{h}-0,62~\text{h}$.

    Die Durchschnittsgeschwindigkeiten bei den Zugfahrten von Duisburg nach Mannheim sind größer als die von Leipzig nach Nürnberg.

    Lösung

    Die Durchschnittsgeschwindigkeit berechnest du als Quotient aus der Differenz der Strecken und der der Zeiten: $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

    Also $v=\frac{s(b)-s(a)}{b-a}$, wobei $a$ der linke Rand, der Beginn, und $b$ der rechte Rand, das Ende, sind.

    Wir schauen uns nun die einzelnen Streckenabschnitte an.

    Köln - Frankfurt

    $v=\frac{s(1,63)-s(0,62)}{1,63~\text{h}-0,62~\text{h}}=\frac{241~\text{km}-65~\text{km}}{1,63~\text{h}-0,62~\text{h}}=\frac{176~\text{km}}{1,01~\text{h}}\approx175~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Frankfurt - Mannheim

    $v=\frac{s(2,18)-s(1,63)}{2,18~\text{h}-1,63~\text{h}}=\frac{330~\text{km}-241~\text{km}}{2,18~\text{h}-1,63~\text{h}}=\frac{89~\text{km}}{0,55~\text{h}}\approx162~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Leipzig - Jena

    $v=\frac{s(0,95)-s(0)}{0,95~\text{h}-0~\text{h}}=\frac{98~\text{km}-0~\text{km}}{0,95~\text{h}-0~\text{h}}=\frac{98~\text{km}}{0,95~\text{h}}\approx103~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Jena - Bamberg

    $v=\frac{s(2,83)-s(0,95)}{2,83~\text{h}-0,95~\text{h}}=\frac{242~\text{km}-98~\text{km}}{2,83~\text{h}-0,95~\text{h}}=\frac{144~\text{km}}{1,88~\text{h}}\approx77~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

    Bamberg - Nürnberg

    $v=\frac{s(3,53)-s(2,83)}{3,53~\text{h}-2,83~\text{h}}=\frac{290~\text{km}-242~\text{km}}{3,53~\text{h}-2,83~\text{h}}=\frac{48~\text{km}}{0,7~\text{h}}\approx69~\frac{\text{km}}{\text{h}}$

  • Ermittle das jeweilige durchschnittliche Wachstum der Sonnenblume.

    Tipps

    Beachte, dass immer nach den ersten ??? Tagen gefragt ist. Das heißt, du betrachtest immer den Zeitraum von $0$ bis ???.

    Du musst zweimal runden.

    Ziehe von der Höhe zum jeweiligen Zeitpunkt die Höhe der Sonnenblume zu Beginn, also $2~\text{cm}$, ab. Das Ergebnis dividierst du jeweils durch die entsprechende Zeit.

    Lösung

    Paul hat an verschiedenen Tagen die Höhe seiner Sonnenblume notiert. Die entsprechende Tabelle kannst du hier sehen.

    Nun macht sich Paul daran, das durchschnittliche Wachstum der Sonnenblume jeweils von Beginn an bis zu den gegebenen Zeitpunkten zu berechnen.

    Die ersten $15$ Tage

    Das durchschnittliche Wachstum beträgt $\frac{22~\text{cm}-2~\text{cm}}{15~\text{d}}=\frac{20~\text{cm}}{15~\text{d}}=1,\bar 3~\frac{\text{cm}}{\text{d}}$.

    Pauls Sonnenblume wächst in den ersten $15$ Tagen ungefähr $1,3$ Zentimeter pro Tag.

    Die ersten $20$ Tage

    $\frac{42~\text{cm}-2~\text{cm}}{20~\text{d}}=\frac{40~\text{cm}}{20~\text{d}}=2~\frac{\text{cm}}{\text{d}}$.

    Hier beträgt das durchschnittliche Wachstum $2$ Zentimeter pro Tag.

    Die ersten $30$ Tage

    $\frac{78~\text{cm}-2~\text{cm}}{30~\text{d}}=\frac{70~\text{cm}}{30~\text{d}}=2,\bar 3~\frac{\text{cm}}{\text{d}}$.

    Das durchschnittliche Wachstum in den ersten $30$ Tagen beträgt ungefähr $2,3$ Zentimeter pro Tag.

    Die ersten $40$ Tage

    $\frac{142~\text{cm}-2~\text{cm}}{40~\text{d}}=\frac{140~\text{cm}}{40~\text{d}}=3,5~\frac{\text{cm}}{\text{d}}$.

    In den ersten $40$ Tagen wächst die Sonnenblume $3,5$ Zentimeter pro Tag.

  • Bestimme zu den gegebenen Intervallen die mittlere Änderungsrate.

    Tipps

    Im Nenner steht immer die Länge des betrachteten Intervalls.

    Achte auf die jeweilige Reihenfolge der Differenzen.

    Du kannst auch eine Sekante in das Koordinatensystem durch die Punkte $(a|f(a))$ sowie $(b|f(b))$ einzeichnen. Die Steigung dieser Sekante ist die mittlere Änderungsrate.

    Du erhältst zweimal eine negative und einmal eine positive mittlere Änderungsrate.

    Lösung

    Wenn du die mittlere Änderungsrate einer Funktion berechnest, kannst du dir diese auch anschaulich klarmachen. Dies siehst du hier am Beispiel des Intervalls $[0;1]$.

    Es ist $m=\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=\frac{0-3}{1}=-3$.

    Dies ist die Steigung der blauen Sekante. Diese verläuft durch die beiden Punkte $(0|3)$ sowie $(1|0)$ auf dem Funktionsgraphen.

    Nun schauen wir uns noch die beiden verbleibenden Intervalle an.

    • $[1;2]$: Hier ist $m=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{-1-0}{1}=-1$.
    • $[2;3]$: Du erhältst $m=\frac{f(3)-f(2)}{3-2}=\frac{0-({-1})}{1}=1$.
  • Gib an, wie die Durchschnittsgeschwindigkeit des Zuges für die gesamte Strecke berechnet werden kann.

    Tipps

    Rechne zunächst die Zeit um: $2:11~\text{h}=2\frac{11}{60} ~\text{h}$.

    Berechne die Geschwindigkeit $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

    Wenn du eine Streckte von $420~\text{km}$ in $3$ Stunden zurücklegst, erhältst du die Geschwindigkeit $v=\frac{420~\text{km}}{3~\text{h}}=140~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

    Lösung

    Die Geschwindigkeit ist das Verhältnis zwischen dem Weg und der dafür benötigten Zeit $v=\frac{\Delta s}{\Delta t}$.

    Hier ist $\Delta s=330~\text{km}$ und $\Delta t=2:11~\text{h}$.

    Du dividierst also die Länge der Strecke durch die dafür benötigte Zeit:

    $v=\frac{330~\text{km}}{2\frac{11}{60}~\text{h}}\approx 151~\frac{\text{km}}{\text{h}}$.

  • Untersuche die Entwicklung der Benzinpreise in den letzten $10$ Jahren.

    Tipps

    In dieser Aufgabe ist $p($Jahr$)$ der Preis des Benzins in dem entsprechenden Jahr.

    Verwende für die mittlere Änderungsrate $m=\frac{P(b)-P(a)}{b-a}$ den Zeitraum Jahr $a$ bis Jahr $b$.

    Ob das Benzin teurer oder günstiger wird, kannst du direkt an der Tabelle erkennen.

    Um das letzte Beispiel zu lösen, stelle die Gleichung am besten einmal auf. So siehst du, welche Angaben bekannt sind und welche nicht.

    Kennst du nun die Gleichung für das letzte Beispiel? Jetzt hilft nur ausprobieren..

    Bedenke, dass nur die Jahre vor 2012 in Frage kommen. Weißt du warum?

    Lösung

    Du hast sicher schon einmal gehört, dass sich viele darüber unterhalten, dass das Benzin immer teurer wird. Die hier zu sehende Tabelle zeigt, dass es auch Jahre gibt, in welchen das Benzin günstiger ist als im Jahr vorher.

    Übrigens: Diese Angaben sind Durchschnittsangaben. Das heißt, dies sind die Durchschnittspreise für Benzin für das jeweils betrachtete Jahr.

    Zunächst schauen wir uns die mittleren Änderungsraten für die gegebenen Zeiträume an.

    Zeitraum 1: $2009-2011$

    $m=\frac{P(2011)-P(2009)}{2011-2009}=\frac{155,4-127,8}{2}=13,8$

    Das bedeutet, dass das Benzin durchschnittlich um $13,8$ Cent pro Jahr teurer wurde.

    Zeitraum 2: $2010-2015$

    $m=\frac{P(2015)-P(2010)}{2015-2010}=\frac{139,4-141,5}{5}=\frac{-2,1}{5}={-0,42}\approx {-0,4}$

    Was bedeutet diese negative Änderungsrate? Das Benzin ist günstiger geworden und zwar im Schnitt um ungefähr $0,4$ Cent pro Jahr.

    Zeitraum 3: $2009-2017$

    Nun schauen wir uns noch die Preisentwicklung für den gesamten betrachten Zeitraum an.

    $m=\frac{P(2018)-P(2009)}{2018-2009}=\frac{138,6-127,8}{9}=1,2$

    Über den gesamten betrachteten Zeitraum ist das Benzin durchschnittlich $1,2$ Cent pro Jahr teurer geworden.

    Was ist zu tun bei gegebener mittlerer Änderungsrate?

    Gegeben ist das Endjahr $2012$ und die mittlere Änderungsrate $9,2$ Cent pro Jahr. Von welchem Jahr an wird diese mittlere Änderungsrate berechnet?

    • $2009$? $m=\frac{P(2012)-P(2009)}{2012-2009}=\frac{164,6-127,8}{3}\approx 12,3$: Dies ist nicht das gesuchte Jahr.
    • $2010$? $m=\frac{P(2012)-P(2010)}{2012-2010}=\frac{164,6-141,5}{2}\approx 11,6$: Das Jahr ist gefunden.
    Von $2010$ bis $2012$ ist das Benzin im Schnitt um $11,6$ Cent pro Jahr teurer geworden.

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