Logarithmische Integration – Beispielaufgaben

Logarithmische Integration – Beispielaufgaben Übung

• Bestimme das unbestimmte Integral mit Hilfe der logarithmischen Integration.

  Tipps

  Verwende die folgenden Ableitungsregeln:

  • Die Potenzregel: $(x^n)'=n\cdot x^{n-1}$.
  • Die Faktorregel: $(k\cdot f(x))'=k\cdot f'(x)$.
  • Die Summenregel: $(f(x)\pm g(x))'=f'(x)\pm g'(x)$.

  Die logarithmische Integration kann nur verwendet werden, wenn bestimmte Bedingungen erfüllt sind.

  • Die Funktion darf nur für Zahlen definiert sein, sodass der Nenner niemals $0$ wird.

  Lösung

  In dem unbestimmten Integral steht $g(x)=x^2+1$ im Nenner. Dessen Ableitung ist $g'(x)=(x^2+1)'=2x$. Weil diese Ableitung im Zähler steht, kann die logarithmische Integration angewendet werden. Diese besagt:

  $\int~\frac{g'(x)}{g(x)}~dx=\ln|g(x)| +c$.

  Damit ist

  $\int~\frac{2x}{x^2+1}~dx=\ln|x^2+1|+c$.

• Beschreibe, wie das unbestimmte Integral bestimmt werden kann, wenn der Zähler nicht exakt die Ableitung des Nenners ist.

  Tipps

  Die Ableitung des Nenners ist ein Vielfaches des Zählers.

  Klammere den entsprechenden Faktor im Nenner aus.

  Hier siehst du die Formel zu logarithmischen Integration.

  Lösung

  Zuerst schauen wir uns den Nenner an: $g(x)=3x^2+9x$. Die Nullstellen dieser Funktion müssen bei der folgenden Berechnung ausgeschlossen werden. Es gilt $\mathbb{D}_f=\mathbb{R}\setminus\{-3;0\}$.

  Da die Ableitung des Nenners $g'(x)=6x+9$, also das Dreifache des Zählers, ist, kann man die $3$ im Nenner ausklammern:

  $\int~\frac{2x+3}{3x^2+9x}~dx=\int~\frac13\frac{2x+3}{x^2+3x}~dx$.

  Der Faktor kann nach der Faktorregel vor das Integral gezogen werden:

  $\int~\frac{2x+3}{3x^2+9x}~dx=\frac13\int~\frac{2x+3}{x^2+3x}~dx$.

  Nun kann die logarithmische Integration angewendet werden:

  $\int~\frac{2x+3}{3x^2+9x}~dx=\frac13\ln|x^2+3x|+c$.

• Ermittle das unbestimmte Integral.

  Tipps

  Der Nenner ist $1+e^{-x}$. Die Ableitung des Nenners ist $-e^{-x}$. Dabei ist die äußere Ableitung $e^{-x}$ und die innere Ableitung $-1$. Die Ableitung von $1+e^{-x}$ setzt sich nach der Kettenregel aus dem Produkt von innerer und äußerer Ableitung zusammen.

  Verwende die logarithmische Integration.

  Achte auf das Vorzeichen, welches durch die Kettenregel beeinflusst wird.

  Lösung

  Es soll dieses unbestimmte Integral berechnet werden.

  Man schaut sich zunächst den Nenner an. Dieser ist $g(x)=1+e^{-x}$. Dessen Ableitung ist nach der Kettenregel $g'(x)=-e^{-x}$.

  Da dies nur fast mit dem Zähler identisch ist, muss zunächst mit $-1$ erweitert werden:

  $\int~\frac{e^{-x}}{1+e^{-x}}~dx=-\int~\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}~dx$.

  Nun kann die logarithmische Integration angewendet werden:

  $-\int~\frac{-e^{-x}}{1+e^{-x}}~dx=-\ln|1+e^{-x}|+c$.

• Wende die logarithmische Integration an, um das unbestimmte Integral zu ermitteln.

  Tipps

  Die Ableitung von $\sin(x)$ ist $\cos(x)$.

  Verwende die Kettenregel beim Ableiten:

  $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

  Wenn die zu integrierende Funktion ein Quotient ist, dessen Zähler die Ableitung des Nenners ist, kannst du die logarithmische Integration anwenden.

  Lösung

  Die Nennerfunktion ist $g(x)=\sin(2x)$. Unter Verwendung der Kettenregel erhält man die Ableitung $g'(x)=2\cos(2x)$.

  Nun wird die zu integrierende Funktion so erweitert, dass die Formel zur logarithmischen Integration angewendet werden kann:

  $\int~\frac{\cos(2x)}{\sin(2x)}~dx=\frac12\cdot \int~\frac{2\cos(2x)}{\sin(2x)}~dx= \frac12 \ln|\sin(2x)|+c$.

• Gib die Formel zur logarithmischen Integration an.

  Tipps

  Beachte, dass der natürliche Logarithmus nur für positive Terme definiert ist.

  Verwende die Kettenregel, um die Funktion

  $f(x)=\ln(g(x))$

  für die positive innere Funktion $g(x)$ abzuleiten.

  Lösung

  Hier ist die Formel zur logarithmischen Integration zu sehen.

  Wie ist diese zu verstehen?

  Wenn das unbestimmte Integral eines Bruches berechnet werden muss, bei welchem die Ableitung des Nenners im Zähler steht, ist das Integral gegeben als der natürliche Logarithmus des Betrages des Nenners.

  Die Konstante $c$ wird als Integrationskonstante bezeichnet.

  Der Nachweis dieser Formel kann umgekehrt durch Differentiation nachgewiesen werden: Dieser Nachweis wird hier ohne die Betragsstriche geführt.

  $(\ln(g(x)))'=\frac1{g(x)}\cdot g'(x)$.

  Hier wurde die Kettenregel verwendet.

• Bestimme jeweils das unbestimmte Integral.

  Tipps

  Bestimme jeweils zu dem Nenner die Ableitung.

  Du musst jedes Mal die zu integrierende Funktion erweitern.

  Wenn die Ableitung des Nenners der Zähler ist, kannst du logarithmisch integrieren.

  Lösung

  In allen folgenden Beispielen muss die zu integrierende Funktion so erweitert bzw. ausgeklammert werden, dass im Zähler die Ableitung des Nenners steht. Dann kann die nebenstehende logarithmische Integration angewendet werden:

  • $\int~\frac{4x}{x^2+1}~dx=2\int~\frac{2x}{x^2+1}~dx=2\ln|x^2+1| +c$
  • $\int~\frac{x}{2x^2+2}~dx=\frac14\int~\frac{2x}{x^2+1}~dx=\frac14\ln|x^2+1|+c$
  • $\int~\frac{2x-1}{3x^2-3x}~dx=\frac13\int~\frac{2x-1}{x^2-x}~dx=\frac13\ln|x^2-x|+c$
  • $\int~\frac{6x-3}{x^2-x}~dx=3\int~\frac{2x-1}{x^2-x}~dx=3\ln|x^2-x|+c$