Logarithmische Integration

Logarithmische Integration Übung

• Gib die Integrationsregel für die logarithmische Integration wieder.

  Tipps

  Zur Probe leite deine Stammfunktion mit der Kettenregel ab. Das Ergebnis müsste wieder $\frac{g'(x)}{g(x)}$ sein.

  Der Nenner eines Bruches muss verschieden von null sein.

  $g''$ steht für die zweite Ableitung von $g$.

  Lösung

  Wir betrachten ein Integral mit dieser Gestalt $\int \frac{g'(x)}{g(x)}~dx$.

  Die erste Bedingung hierfür ist, dass die Funktion im Nenner differenzierbar ist, da sonst ihre Ableitung im Zähler nicht existieren würde.

  Außerdem darf die Funktion im Nenner selbst nicht $0$ sein, da Division durch $0$ nicht erlaubt ist.

  Merke:

  • $g(x) \ne 0$ für alle $x$ im Definitionsbereich.

  • $g(x)$ muss differenzierbar sein.

  Sind diese Kriterien erfüllt, kann man folgende Regel für das Bilden der Stammfunktion verwenden:

  $$\int \frac{g'(x)}{g(x)}~dx=ln |g(x)| + c$$

  Man bildet also den Betrag des Nenners, wendet darauf den natürlichen Logarithmus an und addiert wie üblich die Integrationskonstante $c$.

• Bestimme die Ableitung mit Hilfe der Kettenregel und die Stammfunktion mit der logarithmischen Integration.

  Tipps

  Die Quotientenform bildet man mit Hilfe der Kettenregel. Man leitet die gegebene Funktion also zuerst so ab:

  Ein Beispiel für das Ableiten mit Kettenregel.

  Der natürliche Logarithmus wird so abgeleitet:

  Die Stammfunktion zu $\frac{g'(x)}{g(x)}$ lautet $\ln |g(x)|+c$.

  Lösung

  Um den Funktionsterm als Bruch schreiben zu können, müssen wir seine Ableitung bilden. Dies können wir mit der Kettenregel.

  Die äußere Funktion ist dabei der Logarithmus; die innere Funktion ein Polynom dritten Grades.

  Wir leiten ab:

  $h(x)=ln|x^3+2x+1|$

  $h'(x)= \frac{1}{x^3+2x+1} \cdot (3x^2 +2)$

  $h'(x)= \frac{3x^2 + 2}{x^3+2x+1}$

  Jetzt können wir mit Hilfe der Logarithmischen Integrationsregel die Stammfunktion von $h'(x)$ bestimmen. Dazu verwenden wir den Nenner und schreiben ihn als Betrag in einen natürlichen Logarithmus. Vergiss nicht die Integrationskonstante $c$:

  $ln|x^3+2x+1|+c$

  Natürlich hätten wir die Stammfunktion von $h'(x)$ direkt angeben können, denn es gilt:

  $$ \int h'(x)~dx = h(x) +c$$

• Bilde die Ableitung der verketteten Logarithmusfunktion.

  Tipps

  Man leitet mit Hilfe der Kettenregel ab.

  Ein Beispiel für die Kettenregel:

  Hier hast du die allgemeine Ableitung einer Logarithmusfunktion:

  Für die Ableitung von $f(x)=\ln |g(x)|$ gilt:

  Lösung

  Der gegebene Funktionsterm lautet:

  $f(x)=ln|4x^4-x^2+6|$

  Wir leiten mit Hilfe der Kettenregel ab. Dazu bilden wir zunächst die äußere Ableitung, also die Ableitung des natürlichen Logarithmus. Danach multiplizieren wir das mit der Ableitung des Ausdrucks innerhalb des Logarithmus:

  $f'(x)= \frac{1}{4x^4-x^2+6} \cdot (16x^3-2x)$

  Dieses Produkt können wir noch zu einem Bruch zusammenfassen. Unsere Ableitung sieht dann so aus:

  $f'(x)=\frac{16x^3-2x}{4x^4-x^2+6}$

• Bestimme die Stammfunktionen dieser Funktion.

  Tipps

  Die allgemeine Ableitung des natürlichen Logarithmus:

  Man bildet die Stammfunktion mit Hilfe des Nenners:

  Beachte, dass zwei Ausdrücke richtig sind.

  Die zweite binomische Formel besagt:

  Lösung

  Die gegebene Funktion lautet

  $f(x)= \frac{2\cdot (2x^2-7x) \cdot (4x-7)}{(2x^2-7x)^2}$

  Wir können eine Stammfunktion bilden, wenn die Funktion in der Form $\frac{g'(x)}{g(x)}$ vorliegt.

  Das ist in der Tat der Fall, denn mit der Kettenregel berechnen wir:

  $$\left( (2x^2-7x)^2 \right) '=2\cdot (2x^2-7x) \cdot (2x^2-7x)' = 2\cdot (2x^2-7x) \cdot (4x-7)$$

  Jetzt verwenden wir den Nenner, um die Stammfunktion zu bilden:

  $F(x)=ln|(2x^2-7x)^2| + c$

  Natürlich kann man die Klammer auch ausmultiplizieren. Dazu benötigt man die zweite binomische Formel:

  $F(x)=ln|4x^4 - 28x^3 + 49x^2| + c$.

  Beide Varianten sind richtige Stammfunktionen für $f$.

• Nenne die Regel, um die Ableitung von $\ln |g(x)|$ zu bestimmen.

  Tipps

  Hier ein Beispiel, in dem ein Ausdruck in einen Quotienten umgewandelt wird:

  Bei der Ableitungsregel spielen die innere und äußere Funktion eine wichtige Rolle.

  Lösung

  Betrachten wir ein Beispiel, in dem durch Ableiten eine verkettete Logarithmusfunktion zu einem Bruch wird:

  $h(x)=ln|x^3+2x+1|$

  $h'(x)= \frac{1}{x^3+2x+1} \cdot (3x^2 +2)$

  $h'(x)= \frac{3x^2 + 2}{x^3+2x+1}$

  Der Logarithmus selbst ist hier eine äußere Funktion.

  Der Ausdruck innerhalb des Logarithmus ist die innere Funktion.

  Diese Zusammenstellung kennen wir von der Kettenregel.

  Zuerst wird die äußere Funktion abgeleitet und am Wert der inneren Funktion ausgewertet. Im Anschluss wird die Ableitung der inneren Funktion hinzumultipliziert.

• Berechne das Integral von $f$ im Intervall $[1;3]$.

  Tipps

  Man findet eine Stammfunktion mit Hilfe des Nenners:

  Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung besagt:

  Lösung

  Gegeben ist die Funktion

  $f(x)=\frac{\frac{3}{2}x^2-4x+4}{\frac{1}{2}x^3-2x^2+4x-8}$

  in der Form $f(x)=\frac{g'(x)}{g(x)}$.

  Jetzt nehmen wir den Nenner, um aus ihm die Stammfunktion zu bilden:

  $F(x)=ln|\frac{1}{2}x^3-2x^2+4x-8| + c$

  Damit können wir das Integral $\int\limits_1^3 ~|f(x)|~dx$ berechnen. Dazu setzen wir zuerst die obere Grenze in den Stammfunktionsterm ein. Danach ziehen wir davon den Term ab, den wir durch Einsetzen der unteren Grenze erhalten:

  $\begin{align} F(3) - F(1) & = (ln|\frac{1}{2} \cdot 3^3 - 2 \cdot 3^2+4 \cdot 3-8|) - (ln|\frac{1}{2} \cdot 1^3 - 2\cdot 1^2 + 4\cdot 1 -8|) \\ & = ln|-\frac{1}{2}| - ln|-5\frac{1}{2}| \\ & \approx -0,693 - 1,705 \\ & \approx -2,398 \end{align}$