Lineare und nicht lineare Gleichungen
Was bedeuten lineare Gleichungen? Lineare Gleichungen beschreiben Geraden im Koordinatensystem. In diesem Video lernst du, was lineare Gleichungen sind und wie sie sich von nicht-linearen Gleichungen unterscheiden. Du wirst erfahren, wie man lineare Gleichungen als Geraden darstellt und den Unterschied zu nicht-linearen Gleichungen erkennen kann. Interessiert? Dann findest du dies und vieles mehr im folgenden Text!

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Gleichungen in einem Schritt lösen

Lineare Gleichungen mit einer Variablen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen aufstellen und lösen

Lineare Gleichungen der Form ax + by = c (Gleichungen mit 2 Variablen)

Lineare Gleichungen in allgemeiner Form – ax + by + c = 0

Versteckte lineare Gleichungen

Lösungsmenge (verschiedene Lösungsmengen)

Graphische Darstellung von linearen Gleichungen mit zwei Variablen

Lineare Gleichungen grafisch lösen

Lineare und nicht lineare Gleichungen
Lineare und nicht lineare Gleichungen Übung
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Bestimme die korrekten Aussagen zu linearen und nichtlinearen Gleichungen.
TippsSteht eine Variable unter einer Wurzel, entspricht das einer Potenz mit dem Exponenten $\frac{1}{2}$, also
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
Manchmal sind Gleichungen zu kompliziert, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind.
Die fertig vereinfachte Form einer linearen Gleichung lautet:
$y=m\cdot x + b$.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Die Graphen nichtlinearer Gleichungen sind Geraden.
- Kommt in einer vereinfachten Gleichung eine Variable unter einer Wurzel vor, ist sie linear.
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
Diese Aussagen sind korrekt:
- Lineare Gleichungen beinhalten ausschließlich Variablen in der ersten Potenz.
- In der vereinfachten Form kann man leichter bestimmen, ob eine Gleichung linear ist.
$y=a\cdot x + b$.
- Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg.
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Schildere, wie man lineare Gleichungen erkennt.
TippsManchmal sind Gleichungen zu komplex, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind. Deshalb ist es generell hilfreich, Gleichungen zunächst zu vereinfachen.
Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg.
Das Distributivgesetz lautet:
$a \cdot (b \pm c) = a b \pm a c$.
LösungDie Rechnung kannst du so vervollständigen:
- (...) Um zu bestimmen, ob die Gleichung linear ist, vereinfacht er sie. Dazu schreibt er zuerst gleichartige Terme nebeneinander (...) und rechnet diese aus: $y=6x+3$.
- Hier kommen alle Variablen in der ersten Potenz vor. Die Gleichung ist also linear.
- (...) Auch diese Gleichung muss zuerst vereinfacht werden. Hier wendet er jedoch das Distributivgesetz an und berechnet: $y=4x^3-8$.
- Die Variable $x$ ist zur dritten Potenz erhoben. Die Gleichung ist also nichtlinear.
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Bestimme die linearen Gleichungen.
TippsSteht eine Variable unter einer Wurzel, so kannst du diesen Ausdruck auch als eine Potenz darstellen. Es gilt:
$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$.
Bei einer Quadratwurzel ist $n=2$.
Teilt man eine Variable durch sich selbst, kann man diese kürzen, also:
$x \cdot \frac{1}{x}= \frac{x}{x} = 1$.
LösungDie folgenden Gleichungen sind nicht linear:
- $y=5x^{-3}-4$ und
- $y=\frac{1}{5} \sqrt{x}$.
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
- $3=x \cdot y$
$ y= \frac{2}{x}$.
Die Variable $x$ ist also nicht zur ersten Potenz erhoben.
Diese Gleichungen sind linear:
- $y=5x+3$.
- $y=2x( \frac{1}{x} + 3+2x)-4x^2$
$\begin{array}{lll} y&=& 2x( \frac{1}{x} + 3+2x)-4x^2\\ y&=& 2x \cdot \frac{1}{x} +2x \cdot 3+2x \cdot 2x-4x^2\\ y &=& 2 +6x+4x^2-4x^2 &\\ y &=& 6x+2\\ \end{array}$
Hier kommen alle Variablen in der ersten Potenz vor, die Gleichung ist also linear.
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Bilde die Vereinfachung dieser Gleichungen.
TippsSieh dir einige Beispiele zum Distributivgesetz an.
- $3 \cdot (x+1) = 3x+3$
- $x \cdot (x-2) = x^2-2x$
- $4x \cdot (\frac 1x+1) = 4+4x$
Multiplizierst du die Wurzel einer Zahl mit sich selbst, erhältst du die Zahl.
$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x$
LösungDie Gleichungen lassen sich folgendermaßen umformen:
- $y=3x-4+3$ vereinfacht sich zu $y=3x-1$.
- $y=2x(x-3)+4$ vereinfacht sich zu $y=2x^2-6x+4$.
- $y \cdot x =2x(3+2x)$ ergibt $y=4x+6$.
$\begin{array}{llll} y \cdot x &=& 2x(3+2x) &\vert :x\\ y &=& 2(3+2x)\\ y&=& 4x+6 \\ \end{array}$
- Und $y= \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ kannst du zu $y=x-1$ vereinfachen.
$\begin{array}{lll} y&=& \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ y &=& \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ y &=& x-1 \\ \end{array}$
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Untersuche die Aussagen auf Korrektheit.
TippsFür $m=0$ erhältst du eine Gleichung der Form $y=b$. Der Graph der Gleichung hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zur $x$-Achse.
Um den Schnittpunkt eines Graphen mit der $y$-Achse zu bestimmen, setzt du in die zugehörige Gleichung $x=0$ ein und berechnest die jeweilige $y$-Koordinate.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Die Gleichung $y=x$ ist eine nichtlineare Gleichung.
- In der Gleichung $y=x$ sind beide Konstanten gleich null.
Diese Aussagen sind korrekt:
- Für $m=0$ erhält man eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse ist.
- Der $y$-Achsenabschnitt gibt den $y$-Wert an, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.
$y=b$.
Die Gerade schneidet die $y$-Achse also genau bei $y=b$, dem sogenannten $y$-Achsenabschnitt.
- Aus einer komplett vereinfachten linearen Gleichung kann man direkt die Steigung der Geraden ablesen.
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Gib die Funktionsgleichung der Graphen an.
TippsDer Graph aller Funktionen mit ausschließlich geraden Potenzen ist eine Parabel.
Die Wurzelfunktion $y=\sqrt{x}$ ist nur für positive Werte definiert.
LösungUm die Gleichungen den jeweiligen Graphen zuzuordnen, kannst du verschiedene besondere Eigenschaften der Graphen entdecken, die nur bestimmte Funktionstypen besitzen.
Graph 1: $y=x^2$
Der Graph aller Funktionen mit ausschließlich geraden Potenzen, also auch dieser, ist eine Parabel.
Graph 2: $y=3x-1$
Gleichungen mit Variablen, die ausschließlich zur ersten Potenz erhoben sind, werden als Geraden dargestellt.
Graph 3: $y=\sqrt{x}$
Die Wurzelfunktion $y=\sqrt{x}$ ist nur für positive Werte definiert. Deshalb ist der Graph der Funktion auch nur für positive $x$-Werte, also $x>0$ dargestellt.
Graph 4: $y=\frac{5}{x}$
Der Graph dieser Funktion ist für $x=0$ nicht definiert. An dieser Stelle würde man in der Funktion durch $0$ teilen, was in der Mathematik nicht erlaubt ist. Der Graph der Funktion verschwindet hier ins Unendliche.
Graph 5: $y=-4x^3+8$
Setzt du in die Gleichung $x=0$ ein, dann erhältst du $y=8$. Diese ist also der einzige Graph, der durch den Punkt $(0 | 8)$ führt.
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