Lineare und nichtlineare Gleichungen
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Grundlagen zum Thema Lineare und nichtlineare Gleichungen
Was sind lineare Gleichungen?
In der Mathematik kommen lineare Gleichungen zum Beispiel bei der Beschreibung von Geraden im Koordinatensystem vor. In diesem Video erklären wir dir, wie lineare Gleichungen aussehen und wie du sie von nicht linearen Gleichungen unterscheiden kannst. Der Ausdruck lineare Gleichung benennt Gleichungen eines ganz bestimmten Typs. Im Gegensatz dazu gibt es sehr viele verschiedene Typen nicht linearer Gleichungen. Dass eine Gleichung nicht linear ist, bedeutet eben nur, dass sie keine lineare Gleichung ist.
Lineare Gleichungen – Definition
Eine Gleichung mit einer oder mehreren Variablen heißt linear, wenn in der vereinfachten Form jede Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Eine Gleichung ist nicht linear, wenn sie in vereinfachter Form einen der folgenden Terme enthält:
- Eine Variable im Nenner eines Bruches, zum Beispiel $\frac{3}{x}$
- Eine Variable unter der Wurzel, zum Beispiel $\sqrt{y}$
- Einen quadrierten Term, in dem eine Variable vorkommt, zum Beispiel $(x+1)^{2}$
- Die Potenz einer Variable mit einem Exponenten ungleich $1$, zum Beispiel $x^{3}$
Jede lineare Gleichung mit ein oder zwei Variablen kannst du im Koordinatensystem als Gerade darstellen. Umgekehrt wird jede Gerade im Koordinatensystem durch eine lineare Gleichung beschrieben.
Lineare Gleichung – Beispiel
Die Gleichung $y=4x+(3+2x)$ enthält zwei Variablen in der ersten Potenz und ist daher eine lineare Gleichung. Du kannst sie im Koordinatensystem als Gerade darstellen. Dazu vereinfachen wir die Gleichung zuerst, indem wir gleichartige Terme zusammenfassen:
$y=4x+(3+2x) = 4x+2x +3 = 6x+3$
Die vereinfachte Gleichung $y=6x+3$ ist eine Gleichung ersten Grads, denn die Variablen $x$ und $y$ kommen beide nur in der ersten Potenz vor.
Im Koordinatensystem wird die Gleichung durch eine Gerade mit der Steigung $m=6$ dargestellt, die die $y$-Achse in $b=3$ schneidet.
Nicht lineare Gleichungen – Beispiel
Die rationale Gleichung $y= \frac{2}{x}$ enthält die Variable $x$ im Nenner. Du kannst die Gleichung nicht weiter vereinfachen. Da die Variable im Nenner vorkommt, ist die Gleichung keine lineare Gleichung. Man nennt solche Gleichungen daher nicht lineare Gleichungen. Dass die Funktionsgleichung $y=\frac{2}{x}$ nicht linear ist, kannst du auch am Funktionsgraphen der Funktion $f(x) = \frac{2}{x}$ erkennen: Der Funktionsgraph ist keine Gerade, daher ist die Funktionsgleichung $y=\frac{2}{x}$ keine lineare Gleichung.
Auch die Gleichung $xy=5$ ist keine lineare Gleichung. Auf den ersten Blick kommen zwar beide Variablen nur in der ersten Potenz vor, aber sie werden miteinander multipliziert. Du kannst die Gleichung umformen:
$xy=5 \qquad \Longleftrightarrow \qquad y=\frac{5}{x}$
An der vereinfachten Form der Gleichung rechts erkennst du, dass die Gleichung keine lineare Gleichung ist: Die Gleichung $y=\frac{5}{x}$ enthält einen Term mit der Variablen im Nenner und ist daher eine nicht lineare Gleichung. Dasselbe gilt auch für die ursprüngliche Gleichung $xy=5$.
Auch die folgenden Gleichungen sind nicht lineare Gleichungen:
- $y=-4x^{3}+8$
- $y=x^{2}$
- $y= \sqrt{x}$
Denn die Funktionsgraphen dieser vier Funktionen sind keine Geraden:
Lineare und nicht lineare Gleichungen – Zusammenfassung
In diesem Video wird dir der Unterschied zwischen linearen und nicht linearen Gleichungen verständlich erklärt. Du erfährst, wie man lineare und nicht lineare Funktionsgleichungen an den Potenzen der Variablen oder an der Darstellung im Koordinatensystem erkennt.
Transkript Lineare und nichtlineare Gleichungen
Auf dem Motorroller gibt Mofa mit seinem Bleifuß gerne so richtig Gummi. Darum hat sich bei ihm ein ganzer Haufen Strafzettel angesammelt und jetzt hat er mächtig Ärger. Heute ist er im Gericht, um sich für seine Vergehen zu verantworten. Er erklärt dem Richter, er habe nichts Falsches getan, er sei nur in perfekten Geraden auf perfekt geraden Straßen gefahren. Aber der Staatsanwalt will nichts davon hören. Er weiß genau, dass Mofa abseits der Straße gefahren ist und beweisen will er das mithilfe der graphischen Veranschaulichung linearer und nichtlinearer Gleichungen. Alle Straßen in Linearhausen sind absolut gerade und können durch lineare Gleichungen ausgedrückt werden. Linearen Gleichungen beinhalten ausschließlich Variablen in der ersten Potenz. Das bedeutet, eine Gleichung ist nicht linear, wenn in ihrer vereinfachten Form Variablen im Nenner eines Bruchs vorkommen, wenn sie unter einer Wurzel vorkommen, quadriert werden oder einen Exponenten größer oder kleiner als 1 besitzen. Lineare Gleichungen können als Geraden dargestellt werden. Schauen wir uns mal eine Beispielroute an, die Mofa gefahren ist. Y ist gleich 4x plus in Klammern 3 + 2x. Jetzt vereinfachen wir diese Gleichung. Ordne die Terme so an, dass gleichartige Terme nebeneinanderstehen. Dann fasst du die gleichartigen Terme zusammen. So erhalten wir die vereinfachte Gleichung: y = 6x + 3. Da die Exponenten aller Variablen gleich 1 sind, ist das eine Gleichung des 1. Grades. Denk dran: Wenn der Exponent 1 ist, wird er meistens nicht aufgeschrieben. Was ist mit Gleichungen, in denen Variablen mit Exponenten ungleich 1 vorkommen? Diese Gleichungen nennt man nichtlineare Gleichungen. Zu diesen Gleichungen gehören auch rationale Ausdrücke, bei denen in der vereinfachten Form im Nenner eine Variable vorkommt. Nichtlineare Gleichungen können nicht durch Geraden dargestellt werden. Schauen wir uns ein Beispiel für eine nichtlineare Gleichung an. Y ist gleich 2 geteilt durch x. Das ist eine rationale Gleichung. Das bedeutet, dass die Variable mindestens einmal im Nenner steht. Schau dir diese Kurven an. Da der Graph dieser Gleichung keine Gerade ist, handelt es sich dabei um eine nichtlineare Gleichung und damit kann es keine Straße in Linearhausen sein. Schauen wir uns eine andere Strecke an, von der Mofa behauptet, sie sei eine Gerade gewesen. Mofas Strecke kann man durch die Gleichung y ist gleich x plus in Klammern x plus 1 plus in Klammer x - 2 darstellen. Zuerst ordnest du nach gleichartigen Termen und dann vereinfachst du. Wir erhalten die Gleichung: y = 3x - 1. Ist diese Gleichung linear oder nichtlinear? Da die Exponenten der Variablen gleich 1 sind, ist es eine lineare Gleichung. Tatsächlich! Mofa ist auf einer Geraden gefahren. Aber Moment! Es gibt noch mehr Beweismaterial. Diese Gleichung hier sieht nicht so aus, als ob sie linear wäre. Die graphische Veranschaulichung wird uns mehr verraten. Zuerst löst du die Klammern mithilfe des Distributivgesetzes auf. Dann ordnest du die Terme entsprechend der Normalform und erhältst: y ist gleich -4x hoch 3 plus 8. Jetzt können wir den Graphen zeichnen. Himmel, hilf! Mofa ist ja total querfeldein gefahren. Das ist sicherlich keine Gerade gewesen und auch keine lineare Gleichung. Mofa steckt in großen Schwierigkeiten, es gibt mehr Beweise. Hier ist er die Strecke y ist gleich x Quadrat gefahren. Und hier die Strecke y ist gleich Wurzel von x. Und hier die Strecke xy ist gleich 5. Das ergibt, wenn man nach y auflöst, y ist gleich 5 durch x. Oh Mann, keine dieser Strecken ist eine Gerade und keine dieser Gleichungen ist linear. Die Beweise sprechen für sich, der Richter ist bereit, sein Urteil zu fällen. Mofa muss auf jeden Fall ein saftiges Bußgeld bezahlen oder sogar noch schlimmer! Oh nein, wie es aussieht, haben sie seine geliebte Maschine beschlagnahmt. Aber ein Rad ist wohl besser als kein Rad.
Lineare und nichtlineare Gleichungen Übung
-
Bestimme die korrekten Aussagen zu linearen und nichtlinearen Gleichungen.
TippsSteht eine Variable unter einer Wurzel, entspricht das einer Potenz mit dem Exponenten $\frac{1}{2}$, also
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
Manchmal sind Gleichungen zu kompliziert, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind.
Die fertig vereinfachte Form einer linearen Gleichung lautet:
$y=m\cdot x + b$.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Die Graphen nichtlinearer Gleichungen sind Geraden.
- Kommt in einer vereinfachten Gleichung eine Variable unter einer Wurzel vor, ist sie linear.
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
Diese Aussagen sind korrekt:
- Lineare Gleichungen beinhalten ausschließlich Variablen in der ersten Potenz.
- In der vereinfachten Form kann man leichter bestimmen, ob eine Gleichung linear ist.
$y=a\cdot x + b$.
- Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg.
-
Schildere, wie man lineare Gleichungen erkennt.
TippsManchmal sind Gleichungen zu komplex, um direkt zu bestimmen, ob sie linear sind. Deshalb ist es generell hilfreich, Gleichungen zunächst zu vereinfachen.
Steht eine Variable in der ersten Potenz, lässt man normalerweise den Exponenten weg.
Das Distributivgesetz lautet:
$a \cdot (b \pm c) = a b \pm a c$.
LösungDie Rechnung kannst du so vervollständigen:
- (...) Um zu bestimmen, ob die Gleichung linear ist, vereinfacht er sie. Dazu schreibt er zuerst gleichartige Terme nebeneinander (...) und rechnet diese aus: $y=6x+3$.
- Hier kommen alle Variablen in der ersten Potenz vor. Die Gleichung ist also linear.
- (...) Auch diese Gleichung muss zuerst vereinfacht werden. Hier wendet er jedoch das Distributivgesetz an und berechnet: $y=4x^3-8$.
- Die Variable $x$ ist zur dritten Potenz erhoben. Die Gleichung ist also nichtlinear.
-
Bestimme die linearen Gleichungen.
TippsSteht eine Variable unter einer Wurzel, so kannst du diesen Ausdruck auch als eine Potenz darstellen. Es gilt:
$\sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$.
Bei einer Quadratwurzel ist $n=2$.
Teilt man eine Variable durch sich selbst, kann man diese kürzen, also:
$x \cdot \frac{1}{x}= \frac{x}{x} = 1$.
LösungDie folgenden Gleichungen sind nicht linear:
- $y=5x^{-3}-4$ und
- $y=\frac{1}{5} \sqrt{x}$.
$\sqrt{x}=x^{\frac{1}{2}}$.
- $3=x \cdot y$
$ y= \frac{2}{x}$.
Die Variable $x$ ist also nicht zur ersten Potenz erhoben.
Diese Gleichungen sind linear:
- $y=5x+3$.
- $y=2x( \frac{1}{x} + 3+2x)-4x^2$
$\begin{array}{lll} y&=& 2x( \frac{1}{x} + 3+2x)-4x^2\\ y&=& 2x \cdot \frac{1}{x} +2x \cdot 3+2x \cdot 2x-4x^2\\ y &=& 2 +6x+4x^2-4x^2 &\\ y &=& 6x+2\\ \end{array}$
Hier kommen alle Variablen in der ersten Potenz vor, die Gleichung ist also linear.
-
Bilde die Vereinfachung dieser Gleichungen.
TippsSieh dir einige Beispiele zum Distributivgesetz an.
- $3 \cdot (x+1) = 3x+3$
- $x \cdot (x-2) = x^2-2x$
- $4x \cdot (\frac 1x+1) = 4+4x$
Multiplizierst du die Wurzel einer Zahl mit sich selbst, erhältst du die Zahl.
$\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}=x$
LösungDie Gleichungen lassen sich folgendermaßen umformen:
- $y=3x-4+3$ vereinfacht sich zu $y=3x-1$.
- $y=2x(x-3)+4$ vereinfacht sich zu $y=2x^2-6x+4$.
- $y \cdot x =2x(3+2x)$ ergibt $y=4x+6$.
$\begin{array}{llll} y \cdot x &=& 2x(3+2x) &\vert :x\\ y &=& 2(3+2x)\\ y&=& 4x+6 \\ \end{array}$
- Und $y= \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)$ kannst du zu $y=x-1$ vereinfachen.
$\begin{array}{lll} y&=& \sqrt{x}\left(\sqrt{x}-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)\\ y &=& \sqrt{x} \cdot \sqrt{x} - \sqrt{x} \cdot \frac{1}{\sqrt{x}} \\ y &=& x-1 \\ \end{array}$
-
Untersuche die Aussagen auf Korrektheit.
TippsFür $m=0$ erhältst du eine Gleichung der Form $y=b$. Der Graph der Gleichung hat an jeder Stelle den gleichen Abstand zur $x$-Achse.
Um den Schnittpunkt eines Graphen mit der $y$-Achse zu bestimmen, setzt du in die zugehörige Gleichung $x=0$ ein und berechnest die jeweilige $y$-Koordinate.
LösungDiese Aussagen sind falsch:
- Die Gleichung $y=x$ ist eine nichtlineare Gleichung.
- In der Gleichung $y=x$ sind beide Konstanten gleich null.
Diese Aussagen sind korrekt:
- Für $m=0$ erhält man eine Gerade, die parallel zur $x$-Achse ist.
- Der $y$-Achsenabschnitt gibt den $y$-Wert an, an dem die Gerade die $y$-Achse schneidet.
$y=b$.
Die Gerade schneidet die $y$-Achse also genau bei $y=b$, dem sogenannten $y$-Achsenabschnitt.
- Aus einer komplett vereinfachten linearen Gleichung kann man direkt die Steigung der Geraden ablesen.
-
Gib die Funktionsgleichung der Graphen an.
TippsDer Graph aller Funktionen mit ausschließlich geraden Potenzen ist eine Parabel.
Die Wurzelfunktion $y=\sqrt{x}$ ist nur für positive Werte definiert.
LösungUm die Gleichungen den jeweiligen Graphen zuzuordnen, kannst du verschiedene besondere Eigenschaften der Graphen entdecken, die nur bestimmte Funktionstypen besitzen.
Graph 1: $y=x^2$
Der Graph aller Funktionen mit ausschließlich geraden Potenzen, also auch dieser, ist eine Parabel.
Graph 2: $y=3x-1$
Gleichungen mit Variablen, die ausschließlich zur ersten Potenz erhoben sind, werden als Geraden dargestellt.
Graph 3: $y=\sqrt{x}$
Die Wurzelfunktion $y=\sqrt{x}$ ist nur für positive Werte definiert. Deshalb ist der Graph der Funktion auch nur für positive $x$-Werte, also $x>0$ dargestellt.
Graph 4: $y=\frac{5}{x}$
Der Graph dieser Funktion ist für $x=0$ nicht definiert. An dieser Stelle würde man in der Funktion durch $0$ teilen, was in der Mathematik nicht erlaubt ist. Der Graph der Funktion verschwindet hier ins Unendliche.
Graph 5: $y=-4x^3+8$
Setzt du in die Gleichung $x=0$ ein, dann erhältst du $y=8$. Diese ist also der einzige Graph, der durch den Punkt $(0 | 8)$ führt.
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