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Lineare Gleichungen mit zwei Variablen 03:56 min

Lineare Gleichungen mit zwei Variablen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen mit zwei Variablen kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschreibe die Eigenschaften linearer Gleichungen mit zwei Variablen.

    Tipps

    Du kannst die Gleichung wie folgt umstellen:

    • $y=-3x-4$
    Woran erinnert dich die Gleichung in dieser Form?

    Eine Lösung für die Gleichung $6x+2y=-8$ muss immer einen Wert für $x$ und einen für $y$ beinhalten.

    Folgende Gleichungen sind nicht linear:

    • $x^2=15$
    • $2xy+3=-1$
    • $24y-xy=\frac 12$
    Lösung

    Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung, die zwei unterschiedliche Variablen enthält und in der keine Variable mit einer Variablen multipliziert wird. Also ist $6x+2y=-8$ eine lineare Gleichung mit zwei Variablen.

    Eine solche Gleichung besitzt als Lösung Zahlenpaare $(x|y)$ und keine einzelnen Zahlen wie lineare Gleichungen mit nur einer Variablen. Zudem haben sie mehrere Lösungen, die alle auf einer Geraden liegen, die wir durch Umstellen der Gleichung nach $y$ erhalten. So zum Beispiel:

    $\begin{array}{rcll} 6x+2y&=&-8&|:2\\ 3x+y&=&-4&|-3x\\ y&=&-3x-4\\ \end{array}$

    Wir können nicht nur sagen, dass alle Lösungen auf der Geraden liegen, sondern auch das alle Punkte dieser Geraden als Zahlenpaare Lösungen der linearen Gleichung sind.

  • Bestimme Lösungen der linearen Gleichung $6x+2y=-8$.

    Tipps

    Setze die Werte für $x$ und $y$ in die Gleichung ein und überprüfe, ob du eine wahre Aussage erhältst.

    Ein Zahlenpaar wird in der Form $(x|y)$ angegeben.

    Das Zahlenpaar $(-3|5)$ ist eine Lösung, da

    $6\cdot (-3)+2\cdot 5=-18+10= -8$.

    Lösung

    Ein Zahlenpaar wird in der Form $(x|y)$ angegeben. Wir setzen die Werte für $x$ und $y$ in die Gleichung $6x+2y=-8$ ein und überprüfen, ob wir eine wahre Aussage erhalten. Damit erhalten wir folgende Rechnungen:

    Beispiel 1: $~(2|2)$

    • $6\cdot 2+2\cdot 2=12+4=16\neq -8$
    Beispiel 2: $~(0|-3)$:

    • $6\cdot 0+2\cdot (-3)=0-6=-6\neq -8$
    Beispiel 3: $~(-1|-1)$:

    • $6\cdot (-1)+2\cdot (-1)=-6-2=-8~\checkmark$
    Beispiel 4: $~(1|-7)$:

    • $6\cdot 1+2\cdot (-7)=6-14=-8~\checkmark$
    Beispiel 5: $~(-2|-9)$:

    • $6\cdot (-2)+2\cdot (-9)=-12-18=-30\neq -8$
  • Ermittle Zahlenpaare, die die lineare Gleichung $3y-6x=-12$ erfüllen.

    Tipps

    Setze zunächst den $x$-Wert in die Gleichung $3y-6x=-12$ ein und überlege dir, welcher $y$-Wert eine wahre Aussage liefern würde.

    Du kannst die Gleichung auch nach $y$ umstellen und so zu jedem $x$-Wert den zugehörigen $y$-Wert berechnen.

    Lösung

    Wir können die Gleichung $3y-6x=-12$ nach $y$ umstellen und so zu jedem $x$-Wert den zugehörigen $y$-Wert berechnen. Wir erhalten dann die folgenden Zahlenpaare:

    Gleichung umstellen:

    $\begin{array}{llll} 3y-6x &=& -12 & \vert +6x \\ 3y &=& 6x-12 & \vert :3 \\ y &=& 2x-4 & \end{array}$

    Nun berechnen wir die Zahlenpaare $(x|y)$:

    • $x=1$:
    $~\Rightarrow~$ $y=2\cdot 1-4=2-4=-2~~\rightarrow~~(1\vert -2)$
    • $x=0$:
    $~\Rightarrow~$ $y=2\cdot 0-4=0-4=-4~~\rightarrow~~(0\vert -4)$
    • $x=-2$:
    $~\Rightarrow~$ $y=2\cdot (-2)-4=-4-4=-8~~\rightarrow~~(-2\vert -8)$
    • $x=3$:
    $~\Rightarrow~$ $y=2\cdot 3-4=6-4=2~~\rightarrow~~(3\vert 2)$
  • Bestimme einige Lösungen der Gleichungen.

    Tipps

    Setze die $x$- und $y$-Werte in die Gleichungen ein und überprüfe, welche Gleichung eine wahre Aussage liefert.

    Lösung

    Wir setzen die $x$- und $y$-Werte in die Gleichungen ein und überprüfen, welche Gleichung eine wahre Aussage liefert. So erhalten wir die folgenden Zuordnungen:

    Gleichung 1: $~2y+6x=-2$

    • $(1\vert -4)$, denn es gilt $2\cdot (-4)+6\cdot 1=-8+6=-2$.
    • $(-1\vert 2)$, denn es gilt $2\cdot 2+6\cdot (-1)=4-6=-2$.
    • $(-3\vert 8)$, denn es gilt $2\cdot 8+6\cdot (-3)=16-18=-2$.
    Gleichung 2: $~y-x=6$

    • $(10\vert 16)$, denn es gilt $16-10=6$.
    • $(-6\vert 0)$, denn es gilt $0-(-6)=6$.
    • $(4\vert 10)$, denn es gilt $10-4=6$.
    • $(2\vert 8)$, denn es gilt $8-2=6$.
    Gleichung 3: $~-2y-6x=8$

    • $(1\vert -7)$, denn es gilt $-2\cdot (-7)-6\cdot 1=14-6=8$.
    • $(-2\vert 2)$, denn es gilt $-2\cdot 2-6\cdot (-2)=-4+12=8$.
  • Gib die linearen Gleichungen an.

    Tipps

    In linearen Gleichungen werden Variablen nicht mit Variablen multipliziert.

    $x^2$ ist die abkürzende Schreibweise für die einmalige Multiplikation der Variablen $x$ mit sich selbst.

    Lösung

    In linearen Gleichungen werden Variablen nicht mit Variablen multipliziert. Die Gleichung darf also keine Terme der Form $x^2$, $xy$ oder $y^2$ enthalten. Damit sind nur die folgenden drei Gleichungen lineare Gleichungen:

    • $6x+2y=-8~\rightarrow~$ lineare Gleichung mit zwei Variablen,
    • $6x=-8~\rightarrow~$ lineare Gleichung mit einer Variablen,
    • $1=\dfrac{x}{3}~\rightarrow~$ lineare Gleichung mit einer Variablen, wobei vor dem $x$ einfach $\frac{1}{3}$ als Vorfaktor steht.
  • Erschließe die Gerade, die durch alle Lösungen der jeweiligen linearen Gleichung verläuft.

    Tipps

    Wähle einen Punkt, der auf einer der Geraden liegt, und überprüfe, welche Gleichung für diesen Punkt eine wahre Aussage liefert. Überprüfe dann auch, ob ein weiterer Punkt derselben Geraden diese Gleichung erfüllt. Dann verläuft diese Gerade durch alle Lösungen dieser Gleichung.

    Du kannst die Gleichungen auch zunächst nach $y$ umstellen. Dann setzt du zwei verschiedene $x$-Werte ein und ermittelst die zugehörigen $y$-Werte. Dann schaust du, welche Gerade durch diese beiden Punkte verläuft.

    Sieh dir folgendes Beispiel an:

    $\begin{array}{llll} 4y-4x &=& 8 & \vert +4x \\ 4y &=& 4x+8 & \vert :4 \\ y &=& x+2 & \end{array}$

    Lösung

    Wir stellen die Gleichungen zunächst nach $y$ um. Dann setzen wir jeweils zwei verschiedene $x$-Werte ein und ermitteln die zugehörigen $y$-Werte. Dann schauen wir, welche Gerade durch die beiden Punkte verläuft.

    Beispiel 1: $~4y-4x=8$

    $\begin{array}{llll} 4y-4x &=& 8 & \vert +4x \\ 4y &=& 4x+8 & \vert :4 \\ y &=& x+2 & \end{array}$

    Für $x=1$ erhalten wir $y=3$ und für $x=0$ folgt $y=2$. Die blaue Gerade verläuft durch die Punkte $(1\vert 3)$ und $(0\vert 2)$. Sie verläuft somit durch alle Lösungen der Gleichung $4y-4x=8$.

    Beispiel 2: $~2y-4x=-4$

    $\begin{array}{llll} 2y-4x &=& -4 & \vert +4x \\ 2y &=& 4x-4 & \vert :2 \\ y &=& 2x-2 & \end{array}$

    Für $x=1$ erhalten wir $y=0$ und für $x=0$ folgt $y=-2$. Die grüne Gerade verläuft durch diese beiden Punkte und somit durch alle Lösungen der Gleichung $2y-4x=-4$.

    Beispiel 3: $~3y-9x=0$

    $\begin{array}{llll} 3y-9x &=& 0 & \vert +9x \\ 3y &=& 9x & \vert :3 \\ y &=& 3x & \end{array}$

    Für $x=1$ erhalten wir $y=3$ und für $x=0$ folgt $y=0$. Die gelbe Gerade verläuft durch diese beiden Punkte und somit durch alle Lösungen der Gleichung $3y-9x=0$.

    Beispiel 4: $~3y-x=-3$

    $\begin{array}{llll} 3y-x &=& -3 & \vert +x \\ 3y &=& x-3 & \vert :3 \\ y &=& \frac 13x-1 & \end{array}$

    Für $x=3$ erhalten wir $y=0$ und für $x=0$ folgt $y=-1$. Die graue Gerade verläuft durch diese beiden Punkte und somit durch alle Lösungen der Gleichung $3y-x=-3$.

    Beispiel 5: $~2y-x=-4$

    $\begin{array}{llll} 2y-x &=& -4 & \vert +x \\ 2y &=& x-4 & \vert :2 \\ y &=& \frac 12x-2 & \end{array}$

    Für $x=2$ erhalten wir $y=-1$ und für $x=0$ folgt $y=-2$. Die violette Gerade verläuft durch diese beiden Punkte und somit durch alle Lösungen der Gleichung $2y-x=-4$.