Lineare Gleichungen lösen (1) 10:15 min

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Transkript Lineare Gleichungen lösen (1)

Hallo! Hier habe ich mal eine Gleichung vorbereitet: 3x+6=10+x und die wollen wir jetzt mal lösen. Vielleicht hast du dir beim Lösen von Gleichungen schon mal gedacht: Es wäre einfacher, wenn die Gleichung einfacher wäre. Klar. Man müsste eine Methode haben, wie man aus einer komplizierten Gleichung eine Einfachere machen kann. Ja und diese Idee ist gar nicht schlecht, die ist sogar richtig gut. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. Und das ist tatsächlich die Art wie man systematisch Gleichungen löst. Man formt eine Gleichung immer wieder in einfachere Gleichungen um, so lange, bis man die Lösung einfach direkt ablesen kann. Natürlich muss man immer darauf achten, dass man Gleichungen erhält, die dieselbe Lösung haben, wie die oberste Gleichung. Solche Gleichungen, die man dann erhält, nennt man übrigens äquivalente Gleichungen. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. Und die Umformungen, mit denen man äquivalente Gleichungen erhält, heißen Äquivalenzumformungen. Und davon gibt es 5, naja es gibt mehr, aber zunächst mal sind hier 5 Äquivalenzumformungen wichtig. 1. Man müsste jetzt nur noch darauf achten, dass man eine solche Gleichung nicht in irgendeine Gleichung umformt, sondern in eine Gleichung umformt, die dieselbe Lösung hat, wie diese oberste Gleichung hier. 2. Man kann auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe subtrahieren. 3. Man kann beide Seiten der Gleichung mit derselben Zahl multiplizieren, dabei darf aber die Zahl aber nicht gleich 0 sein, denn wenn man mit 0 multipliziert, dann kommt ja immer 0 raus und dann ist die Gleichung weg. Das geht nicht. 4. Man kann beide Gleichungsseiten durch dieselbe Zahl dividieren, allerdings darf hier die Zahl auch nicht 0 sein, denn man kann ja nicht durch 0 dividieren. Und 5. man kann eine Termumformung machen. Wenn man zum Beispiel eine Seite der Gleichung, die ja ein Term ist, in einen anderen Term umformt, der ergebnisgleich ist, dann ändert sich die Lösung der Gleichung auch nicht. Und wie das dieser konkreten Gleichung geht, das möchte ich jetzt mal zeigen. Es gibt mehrere Arten, wie du jetzt vorgehen kannst. Ich entscheide mich dafür zunächst mal auf beiden Seiten -x zu rechnen. Wenn du dich für eine andere Möglichkeit entscheidest, ist das auch nicht schlimm. Man kommt meistens schnell zum Ziel und deshalb ist es nicht ganz so wichtig, was du am Anfang machst. Also hier möchte ich auf beiden Seiten -x rechnen. Dann habe hier nur noch 2x stehen, denn 3x-1x ist ja gleich 2x. Hier steht jetzt also noch 2x+6 und auf der anderen Seite steht nur noch 10, denn 10+x-x ist ja zusammen einfach 10. Jetzt kann ich eine Termumformung machen. Ich könnte auch was anderes machen, aber ich möchte mal zeigen, dass die Termumformung hier auch geht. Ich möchte nämlich auf diese Summe hier das Distributivgesetz anwenden, das heißt genauer, ich kann die 2 ausklammern. Dann steht hier noch: 2×(x+3), denn 2×x ist ja 2x und 2×3 ist 6, deshalb kann man diesen Term auch so schreiben und das Ganze ist gleich 10. Jetzt kann ich auf beiden Seiten teilen, die nicht gleich 0 ist. Ich entscheide mich für die 2. 2×(x+3), denn 2×x ist ja 2x und 2×3 ist 6, deshalb kann man diesen Term auch so schreiben und das Ganze ist gleich 10. Die Klammer bleibt übrig und 10/2=5, das ist kein Problem. Ja und jetzt muss ich nur noch auf beiden Seiten -3 rechnen und dann steht hier das x alleine. Dann steht da: x gleich, naja 5-3 das ist 2, x=2. Und die Gleichung hier die ist jetzt so einfach, dass man die Lösung direkt sieht: x=2. Und weil wir ja jetzt Äquivalenzumformungen angewendet haben, wissen wir diese Gleichung hat dieselbe Lösung wie diese, die hat dieselbe Lösung wie die, wie die, wie die. Das heißt, hier oben in die komplizierte Gleichung können wir auch für x 2 einsetzen und dann ist die Gleichung richtig. Wir können es eben nachrechnen: 3×2=6+6=12, 10+2=12. Richtig, wir haben richtig gerechnet. Ja das ist die Form, wie man Gleichungen löst. Die systematische Art Gleichungen zu lösen. Und das möchte ich jetzt noch mal anschaulich zeigen. Jetzt komme ich mal zu diesem Ding, was hier schon die ganze Zeit rumsteht. Das ist eine Gleichungswaage, nicht wahr. Ich kann hier noch so einen Zeiger anheften. Du siehst hier, nicht, das ist so eine Wippe. Ich kann hier was drauflegen, dann ist die Gleichung von dir aus gesehen links schwerer, als rechts. Ich kann auch hier einen gleichschweren Klotz drauflegen und dann ist die Wippe wieder im Gleichgewicht. Die Gleichungswaage ist im Gleichgewicht. Und ich kann auch hier auf beiden Seiten noch mal was dazu tun, so. Dann sind hier jeweils 2 Klötze drauf und die sind beide gleich schwer. Jetzt habe ich hier noch Minusbereichen, nicht wahr. Wenn ich jetzt hier zum Beispiel einen Klotz in den Minusbereich lege, hier, dann schlägt die Waage in den Minusbereich aus, denn schlägt die Waage nach links aus, denn 2 haben wir hier und hier haben wir 2-1 und 2-1 ist ja leichter, als 2 und deshalb schlägt die Waage hier nach links aus. Die Äquivalenzumformungen kannst du dir jetzt so vorstellen, ich habe hier mal ein x vorbereitet. Das ist ein x und da tue ich jetzt 2 Klötze rein. Also x=2 oder 2=x, ist egal. Gerade hatten wir x=2. Und die Gleichung möchte ich jetzt hier mal nachstellen. Ja, es ist jetzt völlig klar, man muss jetzt für x 2 einsetzen, damit die Gleichung richtig ist. Und diese Äquivalenzumformungen kann man jetzt auch direkt sehen. Wir können zum Beispiel beide Seiten mit 3 multiplizieren. Das ist etwas anders, als das, was ich gerade gemacht habe, aber ich möchte einfach mal zeigen, wir können einfach hier Äquivalenzumformungen machen und die Lösung der Gleichung ändert sich nicht. Hier habe ich jetzt mit 3 multipliziert und dann muss ich das jetzt hier auch machen. Und dann ist die Gleichung wieder im Gleichgewicht. Ja, wenn ich das wegnehme, dann ist sie nicht im Gleichgewicht. Ich habe beide Seiten verdreifacht, das ist ok. Ich kann auch auf beiden Seiten was abziehen. Was nehme ich da mal? Ach, ich könnte x abziehen, zum Beispiel. Hier habe ich noch ein x. Hier kommt jetzt auch eine 2 rein. Ich kann auf beiden Seiten -x rechnen und dann kommt hier das beides mal in den negativen Bereich. Da, ja und dann, wenn ich das vorsichtig genug mache, ändert sich auch gar nichts an der Gleichung. Du siehst das. Das Gleichgewicht bleibt erhalten. Wenn ich das nur an einer Seite machen würde, dann bleibt das Gleichgewicht nicht erhalten, da. Eine Termumformung kann ich auch zeigen. Hier haben wir 3x-1x, das ist 2x, +2x. Da sind die beiden x und du siehst am Gleichgewicht hat sich auch nichts verändert. Ja und jetzt kann man zum Beispiel auch auf beiden Seiten teilen durch 2. Das mache ich mal zunächst hier. Das sind ja 6 Steine, wenn ich durch 2 teile, bleiben 3 übrig. Hier sind 2x, wenn ich durch 2 teile, bleibt 1 übrig. Ja und hier habe ich noch 1x, also -1x, und das muss ich auch durch 2 teilen und das habe ich hier mal vorbereitet. Das ist ein ganzes x ja, und ein halbes x. Und wenn in dem ganzen x 2 Steine drin sind, dann kommt in das halbe x nur noch 1 Stein rein. Und dann ist die Gleichung wieder richtig. Ja, da, jetzt ist die Gleichung richtig. So kann es gehen. Das sind die Äquivalenzumformungen. Hier noch mal anschaulich dargestellt. Und das ist die Art und Weise, wie du ganz viele Gleichungen systematisch und schnell lösen kannst. Viel Spaß damit und tschüss!

47 Kommentare
  1. Default

    Vielen Dank !♥

    Von Emma S., vor etwa einem Monat
  2. Jonas ohne rahmen

    Hallo Emma S.,
    in dem Video haben wir das Beispiel 2⋅(x+3). Um das „2⋅“ vor der Klammer loszuwerden, teilen wir den ganzen Ausdruck durch 2. Denn die Klammer erst mal 2 zu rechnen und dann durch 2 zu teilen, hebt sich gegenseitig auf.
    In deinem Beispiel (x-2):2 teilen wir die Klammer durch zwei. Wir wollen das „:2“ hinter der Klammer loswerden. Die gesamte Klammer wird durch 2 geteilt. Wie auch beim Beispiel aus dem Video führen wir jetzt die Umkehroperation durch. Teilen wir die Klammer durch 2, können wir sie dann mit 2 multiplizieren. Wir rechnen also ⋅2 (mal 2).
    Denn: (x+2):2⋅2 ist einfach nur (x+2).
    Ich hoffe, dass es dir nun etwas klarer ist. Ansonsten kannst du dich gerne auch an den Fach-Chat wenden, der montags bis freitags zwischen 17:00Uhr und 19:00Uhr für dich da ist.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas Dörr, vor etwa einem Monat
  3. Default

    Wenn bei einer Gleichung zum Beispiel (x-2):2 steht, wie rechnet man das dann??

    Von Emma S., vor etwa einem Monat
  4. Default

    Du bist gut

    Von Thomas Wunderlich01, vor 4 Monaten
  5. Default

    gut erklärt

    Von Michael Maier, vor 4 Monaten
  1. Default

    Ok, Ich hab´s jetzt so halbwegs
    :)

    Von Emma S., vor 5 Monaten
  2. Default

    Ich finde es echt toll, wie gut ihr generell erklären könnt. Echt super und hilft sehr ;)

    Von Winter Mario, vor 5 Monaten
  3. Default

    Hallo

    Von Winter Mario, vor 5 Monaten
  4. Default

    Ich wollte noch ergänzen dass man das mit den klammern nicht unbedingt machen muss man kann sie auch weglassen dann wäre x immer noch 2 ich persönlich finde es so leichter.

    Von Sibel Bay, vor 8 Monaten
  5. Albrecht

    @Chiara Mertes: Bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Viele Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor etwa einem Jahr
  6. Default

    tut mir leid aber ich versteh diese Erklärung nicht

    Von Chiara Mertes, vor etwa einem Jahr
  7. Default

    tut mir leid aber ich verstehe deine erklärweis nicht

    Von Claudia B., vor etwa einem Jahr
  8. Default

    ist hilfreich:D

    Von Familie Unrau, vor mehr als einem Jahr
  9. Default

    Danke hat sehr geholfen

    Von Miregal0303, vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    Danke für das tolle Video

    Von Noah W., vor mehr als einem Jahr
  11. Img 0506

    sehr gut gemacht

    Von juli01xyx r., vor mehr als einem Jahr
  12. Default

    Das mit der waage war etwas unnötig denn man konnte es schon mit der Erklärung am Anfang verstehen aber trotzdem gut

    Von Mitch Merz, vor mehr als einem Jahr
  13. Default

    war nicht gut, die Waage war unnötig und hat nichts gebracht

    Von Marion Harms, vor etwa 2 Jahren
  14. Default

    großartig, sehr anschaulich!

    Von Johanna Grohnert, vor etwa 2 Jahren
  15. Felix

    @Judithroux:
    Du kannst das Ausklammern auch weglassen, wenn du die Gleichung anders umformst:
    Ziehst du bei der Gleichung 2x+6=10 jeweils 6 auf beiden Seiten ab, dann erhältst du 2x=4. Jetzt durch 2 geteilt und du bekommst x=2.
    Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.

    Von Martin B., vor etwa 4 Jahren
  16. Default

    Ahhhhhhhaaaaa!!!!!! Jetzt verstehe ich es:

    Von Judithroux, vor etwa 4 Jahren
  17. Default

    Kann man das ausklammern auch weglassen oder muss man das machen????

    Von Judithroux, vor etwa 4 Jahren
  18. Default

    ist ok thanks :-)

    Von Deleted User 252659, vor etwa 4 Jahren
  19. Sarah2

    @Ceren B: An der von dir genannten Stelle wird nichts von mal 2 gesagt/geschrieben. Vielleicht meinst du eine andere Stelle? Wende dich mit deiner Frage am besten an den Mathe-Fachchat, der täglich von 17 bis 19 Uhr online ist. Dort bekommst du am schnellsten eine Antwort!

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  20. Larryyyyyyyyyyy

    03:37 warum mal 2? :o

    Von Larry S., vor mehr als 4 Jahren
  21. Sarah2

    @ Jakob K.: Es gibt immer mehrere Möglichkeiten, Gleichungen zu lösen. Deine Variante ist natürlich auch richtig.

    Von Sarah Kriz, vor mehr als 4 Jahren
  22. Default

    Wieso nicht einfach:
    3x + 6 = 10 + x | - 6
    3x = 4 + x | - x
    2x = 4 | : 2
    x = 2
    ?
    So wäre es viel logischer und einfacher.

    Von Deleted User 239379, vor mehr als 4 Jahren
  23. Default

    Meine Lehrerin hat das aber anders erklärt. Deine Rechnung hat mich zwar nicht verwirrt, aber man kommt immer auf das gleiche Ergebnis wie bei dir.
    trotzdem vielen Dank
    =)

    Von Mauricio Carvalho, vor mehr als 4 Jahren
  24. Default

    sehr gut gemachtund richtig tolle idee!!!

    Von Vecesrossio, vor fast 5 Jahren
  25. Giuliano test

    @Ewadderr:
    Wir wenden die Zeitleistenkommentare nicht mehr an. Weder der Tutor, noch der Schüler kann hier mehr eingreifen.
    Wenn du eine konkrete Frage hast, kannst du hier in den Kommentaren die Minuten- und Sekundenzahl nennen und deine Frage stellen.
    Bsp: 4:53 Warum durch 2 teilen?
    Ich hoffe, dass ich helfen konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 5 Jahren
  26. Default

    wie kann man ein kommentar ins viedeo reinmachen

    ?

    Von Ewaldderr, vor etwa 5 Jahren
  27. Default

    und durchdacht

    Von Carsten W., vor mehr als 5 Jahren
  28. Default

    sehr gut gemacht

    Von Carsten W., vor mehr als 5 Jahren
  29. Default

    gut gemacht

    Von Leon007, vor mehr als 5 Jahren
  30. Default

    Super jetzt habe ich es verstanden!

    Von Mlds Warnebold, vor etwa 6 Jahren
  31. Default

    meine mathe lehrerin kann das nicht so gut erklaeren!!!!
    respekt

    Von Lfw0210, vor etwa 6 Jahren
  32. Default

    Ich finde das super, mit der Bemerkung:"..das Distributiv-Gesetz anwenden.."
    So lernt man auch die Begriffe kennen.

    Von Uwe Fuhrmann, vor mehr als 6 Jahren
  33. Default

    Tausendmal danke! :-D

    Von Michelle R., vor mehr als 6 Jahren
  34. Default

    Ich schreib morgen ne Schulaufgabe über Gleichungen! :( Kein Bock aber ich kann's wegen dem Hr. Martin Wabnik, Danke! Mein Lehrer in der Schule kann einfach nicht erklären...

    Von Benedikt K., vor mehr als 6 Jahren
  35. Sofatutor   profilbild   1

    Danke jetzt kenne ich mich besser aus. Schulaufgabe ich komme :D

    Von Joana Follmer, vor mehr als 6 Jahren
  36. Default

    jetzt hab ich es endlich verastanden :)

    Von 98katharina98, vor fast 7 Jahren
  37. Default

    super erkärt :)

    Von Artagnan, vor mehr als 7 Jahren
  38. Default

    das video ist super

    Von Moserc@Hispeed.Ch, vor mehr als 7 Jahren
  39. Photo%20on%2011 30 11%20at%204.44%20pm%20%234

    Das hilft so viel! Danke!

    Von Jess H., vor mehr als 7 Jahren
  40. Default

    er erklärt es mir ohne mich durcheinander zu bringen

    Von Alex97, vor mehr als 7 Jahren
  41. Sonnenuntergang

    mein lehrer kann das alles nich so gut erklären... er erzählt eine dreiviertelstunde von einem thema- man versteht nihts. hier sieht man sich 10 min. einen film an und begreift was der typ an der tafel eigentlich von einem will... super!

    Von Hallomm, vor mehr als 8 Jahren
  42. Default

    Die erklährungen hir sind super man versteht sie sehr gut!

    Von Euromaster, vor fast 9 Jahren
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Lineare Gleichungen lösen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lineare Gleichungen lösen (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Zeige auf, welche Äquivalenzumformungen vorgenommen wurden.

    Tipps

    Im 1. Schritt wollen wir bezwecken, dass $x$ nur noch auf einer der beiden Seiten steht.

    Im 2. Schritt wird das Distributivgesetz angewendet. Dieses ist hier abgebildet.

    Termumformungen können auf beiden, aber auch nur auf einer Gleichungsseite angewendet werden. Dies unterscheidet sie beispielsweise von der Division der gesamten Gleichung.

    Lösung

    Versuchen wir zunächst, den ersten Schritt nachzuvollziehen:

    $\begin{align} 3x+6 &=& 10+x \\ 2x+6 &=& 10 \end{align}$

    Auf beiden Seiten ist jeweils ein $x$ abgezogen worden, die anderen Zahlen sind unverändert geblieben. Es kann aber nicht durch $x$ geteilt worden sein, da man sonst auch $6$ und $10$ durch $x$ teilen müsste. Im ersten Schritt wurde also auf beiden Seiten ein $x$ subtrahiert.

    Jetzt der zweite Schritt:

    $\begin{align} 2x+6 &=& 10 \\ 2 \cdot (x+3) &=& 10 \end{align}$

    Auf der rechten Seite steht weiterhin eine $10$. Es wurde also nur links etwas verändert, was für eine Termumformung spricht. Der Wert des linken Terms ist unverändert, also kann hier nichts addiert, subtrahiert , ... worden sein.

    Man hat lediglich die $2$ ausgeklammert und dabei das Distributivgesetz verwendet.

  • Gib wieder, wie Äquivalenzumformungen durchgeführt werden.

    Tipps

    Dies ist eine Äquivalenzumformung:

    Das Gleichgewicht der Gleichung darf nicht gestört werden. Verändern wir den Wert einer Seite der Gleichung, so müssen wir die andere Seite entsprechend auch verändern.

    Lösung

    Bei Äquivalenzumformungen gibt es einige Basisumformungen, die du immer im Hinterkopf haben solltest.

    Es ist häufig möglich, eine Termumformung durchzuführen, d.h. zum Beispiel etwas auszuklammern. Eine solche Termumformung kann auf beiden Seiten der Gleichung passieren (wenn die Terme sich dafür eignen), aber ebenso nur auf einer Seite der Gleichung. Wesentliches Merkmal von Termumformungen ist, dass der Term seinen Wert nicht verändert.

    Äquivalenzumformungen, die den Wert des Terms aber nicht die Gleichung verändern, sind

    • die Addition und Subtraktion einer Zahl
    • sowie die Multiplikation und Division einer Zahl ungleich $0$.
  • Vereinfache die Gleichung so weit wie möglich.

    Tipps

    Division und Multiplikation wird auf jeder Seite der Gleichung und mit jedem Bestandteil des Terms durchgeführt.

    Lösung

    Betrachten wir den ersten Schritt:

    $2 \cdot (x+3) = 10 ~~|:2$.

    Wenn wir die Gleichung durch $2$ teilen, so müssen wir das mit jeder Seite der Gleichung und mit jedem Bestandteil des Terms tun. Wir erhalten also

    $x+3=5$.

    Nun soll auf beiden Seiten $3$ subtrahiert werden, damit $x$ auf einer Seite steht. So erhalten wir $x=2$.

  • Bestimme das positive Ergebnis der Gleichung $2x=\frac{18}{x}$.

    Tipps

    Löse zuerst den Bruch.

    Du wirst am Ende eine Wurzel ziehen müssen. Diese Art der Äquivalenzumformung muss auch auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden.

    Eine quadratische Gleichung hat meist ein positives und ein negatives Ergebnis. Hier wird nach dem Ziehen der Wurzel nur das positive Ergebnis gesucht.

    Lösung

    Bei solchen Rechnungen ist es wichtig, Schritt für Schritt vorzugehen, um keine Äquivalenzumformung falsch anzuwenden. Zunächst möchten wir den Bruch eliminieren, was uns die Rechnung ein wenig erleichtern wird. Dazu müssen wir mit dem Nenner $x$ auf beiden Seiten multiplizieren:

    $2x \cdot x = 18$.

    Das $x$ hat sich aus dem Bruch herausgekürzt. Auf der linken Seite können wir nun eine Termumformung vornehmen und die beiden Variablen zusammenfassen:

    $2x^2=18$.

    Nun wollen wir zunächst die $2$ als Vorfaktor verschwinden lassen. Um das zu schaffen, teilen wir beide Gleichungsseiten durch $2$:

    $x^2=9$.

    Nun haben wir noch ein Quadrat. Um das zu beseitigen, müssen wir die Wurzel ziehen. Aber Achtung: Das Wurzelziehen als Äquivalenzumformung muss ebenfalls auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden:

    $x=\sqrt{9}$.

    Wenn wir aus $9$ die Wurzel ziehen, erhalten wir das positive Ergebnis $x=3$. Wir können die Probe anwenden, um das zu beweisen:

    $6=2 \cdot 3 = \frac{18}{3} =6$.

  • Ordne jede Gleichung ihrer Lösung zu.

    Tipps

    Führe Äquivalenzumformungen durch, um die Lösungen zu erhalten.

    Bedenke, dass Punkt- vor Strichrechung gilt.

    Lösung

    Wir wenden exemplarisch bei zwei Gleichungen geeignete Äquivalenzumformungen an, um die passende Lösung zu ermitteln. Hier siehst du einen möglichen Lösungsweg für diese Gleichung, bei der man zunächst auf der rechten Seite zusammenfassen kann:

    $\begin{align} 7 \cdot x &=90 : 2 -10 &~ \\ 7 \cdot x &= 45 - 10 &~ \\ 7 \cdot x &=35 &| :7 \\ x &= 5 &~ \end{align}$

    Betrachten wir eine weitere Aufgabe:

    $\begin{align} 5x-10 &= 2x+2 &| -2x \\ 3x -10 &= 2 &| +10 \\ 3x &= 12 &| :3 \\ x &= 4 &~ \end{align}$

    Diese sind die übrigen Gleichungen und ihre Ergebnisse:

    • $4x-2=5 \cdot 2$ mit $x=3$,
    • $6-x \cdot 2=3-x$ mit $x=3$,
    • $2x+2=6+x$ mit $ x=4$ und
    • $4x+4=3x+2x$ mit $ x=4$.
  • Ermittle die Ergebnisse der einzelnen Gleichungen.

    Tipps

    Führe geeignete Äquivalenzumformungen durch, um die Gleichungen zu lösen.

    Äquivalenzumformungen verändern die Lösungsmenge einer Gleichung nicht.

    Fällt die Variable aus der Gleichung, so gibt es keine Lösung.

    Lösung

    Gehen wir die Gleichungen der Reihe nach durch und suchen nach geeigneten Äquivalenzumformungen. Fangen wir mit $2x+8=9+x$ an:

    • Zuerst subtrahieren wir $x$, damit es auf der rechten Seite verschwindet. Damit es eine Äquivalenzumformung ist (und die Lösungsmenge der Gleichung nicht verändert wird), müssen wir auf beiden Seite $x$ subtrahieren.
    • $x+8 =9$
    • Ziehen wir jetzt $8$ ab, erhalten wir die Lösung:
    • $x=1$
    In dieser Art kannst du mit allen weiteren Gleichungen verfahren. Nun die nächste Gleichung:

    $\begin{align} -x+5 &= 7-2x &|+2x \\ x+5 &= 7 &|-5 \\ x &= 2 &~ \end{align}$

    Nun die dritte Gleichung, bei der du am Ende den Faktor vor der Variable nur durch Division lösen kannst:

    $\begin{align} 3x-4 &= 16-x &|+x \\ 4x-4 &= 16 &|+4 \\ 4x &= 20 &|:4 \\ x &= 5 & \end{align}$

    Bei der letzten Gleichung kommen wir zu einem Widerspruch, was zeigt, dass diese Gleichung keine Lösung besitzt:

    $\begin{align} -2x-4 &= -2x+8 &|+2x \\ -4 &= 8 & \end{align}$