Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade

in nur 12 Minuten? Du willst ganz einfach ein neues
Thema lernen in nur 12 Minuten?
-
5 Minuten verstehen
Unsere Videos erklären Ihrem Kind Themen anschaulich und verständlich.
92%der Schüler*innen hilft sofatutor beim selbstständigen Lernen. -
5 Minuten üben
Mit Übungen und Lernspielen festigt Ihr Kind das neue Wissen spielerisch.
93%der Schüler*innen haben ihre Noten in mindestens einem Fach verbessert. -
2 Minuten Fragen stellen
Hat Ihr Kind Fragen, kann es diese im Chat oder in der Fragenbox stellen.
94%der Schüler*innen hilft sofatutor beim Verstehen von Unterrichtsinhalten.
Grundlagen zum Thema Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade
Hallo! Wie kann man die Projektion auf eine Gerade durch eine Matrix beschreiben? In diesem Video lernst du zuerst, wie man die Abbildungsmatrix für die Lineare Abbildung "Projektion auf die x-Achse" mit einer vorgegebenen Projektionsrichtung herleitet. Dazu wiederholen wir den Begriff der linearen Abbildung, geben die Gerade des Projektionsstrahls an und leiten anschließend die Abbildungsmatrix her. Danach projizieren wir eine Strecke mit zwei Punkten auf die x-Achse. Im zweiten Teil leiten wir die Abbildungsmatrix für die Lineare Abbildung "Projektion auf die y-Achse" mit einer vorgegebenen Projektionsrichtung her. Auch hier werden wir wieder eine Strecke projizieren. Viel Spaß beim Projizieren!
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade Übung
-
Leite die Beziehungen zwischen den Koordinaten des Bildpunktes $P'(x'|y')$ und denen des Punktes $P(x|y)$ her.
TippsSchaue dir noch einmal dieses Bild an. Der Bildpunkt ist hier eingezeichnet.
Die Geradengleichung lautet
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$.
LösungDer Bildpunkt liegt auf der Geraden
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$.
Also muss gelten:
$\begin{align} x' & =x-r\\ y' & =y-2r \end{align}$
Die y-Koordinate des Bildpunktes ist $0$, da dieser ja auf der x-Achse liegt. Dies führt zu der Gleichung $y-2r=0$, die wir nach $r$ umformen können:
- Addition von $2r$ führt zu $y=2r$ und
- Division durch $2$ zu $r=\frac y2$.
$x'=x-\frac y2$.
Die $y'$-Koordinate ist $y'=0$.
-
Gib zu den beiden Projektionen die Abbildungsmatrix an.
TippsFür die Projektion auf die x-Achse gilt
$\begin{align} x' & =x-\frac{y}2\\ y' & =0 \end{align}$
Um die Matrix $A$ zu finden, kannst du in der zweiten Zeile etwas ausführlicher schreiben:
$y' = 0 \cdot x + 0 \cdot y$.
Bei der Projektion auf die y-Achse dagegen muss $x'=0$ sein.
Ein Punkt auf der Geraden entlang des roten Pfeils lautet
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}$.
LösungFür die Projektion auf die x-Achse gilt
$\begin{align} x' & =x-\frac{y}2\\ y' & =0 \end{align}$
Um die Matrix $A$ zu finden, schreiben wir in der zweiten Zeile etwas ausführlicher $y' = 0 \cdot x + 0 \cdot y$.
Also ist $A=\begin{pmatrix}1&-0,5\\0&0\end{pmatrix}$.
Ebenso kann die Abbildungsmatrix für die Projektion auf die y-Achse bestimmt werden. Der Bildpunkt liegt auf der Geraden
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}$.
Es muss $x'=0$ sein. Dies führt zu der Gleichung $x-r=0$, also $r=x$. Dieses $r$ wird nun in die y-Koordinate eingesetzt:
$y'=y-0,5x$.
Dies können wir noch in die gewohnte Reihenfolge bringen und dann als Abbildungsmatrix aufschreiben:
$B=\begin{pmatrix}0&0\\-0,5&1\end{pmatrix}$.
-
Wende die Abbildungsmatrix an, um den zugehörigen Bildpunkt zu bestimmen.
TippsMultipliziere jeweils die Matrix $B$ mit dem Ortsvektor des Punktes.
Um eine Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.
Schaue dir das nebenstehende Beispiel an.
LösungMit Hilfe dieser Matrix kann zu jedem Punkt $P(x|y)$ der Bildpunkt $P'(x'|y')$ der Projektion auf die y-Achse mittels des Vektors $\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}$ bestimmt werden.
Diesen Bildpunkt erhält man durch Multiplikation dieser Matrix mit dem Ortsvektor des Punktes $A$.
$\begin{align} \begin{pmatrix}0&0\\-0,5&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}0\\-0,5+1\end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}0\\0,5\end{pmatrix} \end{align}$
Somit ist $A'(0|0,5)$.
Ebenso können die Bildpunkte der übrigen Punkte berechnet werden. Die jeweiligen x-Koordinaten sind $0$ und die y-Koordinate $-0,5\cdot x+y$, wobei $x$ und $y$ die Koordinaten des Punktes sind:
- Der Bildpunkt zu $B(3|1)$ ist $B'(0|-0,5)$.
- Der Bildpunkt zu $C(3|4)$ ist $C'(0|2,5)$.
- Der Bildpunkt zu $D(1|4)$ ist $D'(0|3,5)$.
-
Leite die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung her.
TippsDie y-Koordinate eines beliebigen Geradenpunktes lautet $y'=y-r$.
Sei die Beziehung der Koordinaten gegeben durch
- $x'=0$ sowie
- $y'=ax+by$,
$\begin{pmatrix}0&0\\a&b\end{pmatrix}$.
LösungDer Bildpunkt liegt auf der Geraden
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$.
Also ist
$\begin{align} x' & =x-3r\\ y' & =y-r \end{align}$
Die x-Koordinate des Bildpunktes ist $0$, also gilt $x-3r=0$.
- Zuerst wird $3r$ addiert zu $x=3r$ und
- dann durch $3$ dividiert zu $r=\frac x3$.
$\begin{align} x' & =0\\ y' & =y-\frac x3 \end{align}$
Diese Abbildung kann mit Hilfe der folgenden Abbildungsmatrix beschrieben werden:
$\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\-\frac13&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.
-
Bestimme die Bildpunkte von $C(3|4)$ sowie $D(5|2)$.
TippsDie Summe der beiden fehlenden x-Koordinaten ist $5$.
Berechne das Produkt der Matrix $A$ mit dem Ortsvektor des entsprechenden Punktes, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.
Zum Beispiel gilt für die x-Koordinate des Punktes $C$:
$1\cdot 3-0,5\cdot 4$.
LösungMit Hilfe dieser Matrix kann zu jedem Punkt $P(x|y)$ der Bildpunkt $P'(x'|y')$ der Projektion auf die x-Achse mittels des Vektors $\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$ bestimmt werden.
Hierfür wird diese Matrix mit dem Ortsvektor des Punktes $C(3|4)$ multipliziert:
$\begin{align} \begin{pmatrix}1&-0,5\\0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1\cdot3-0,5\cdot 4\\0\end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{align}$
Somit ist $C'(1|0)$.
Ebenso kann der Bildpunkt von $D(5|2)$ berechnet werden:
$\begin{pmatrix}1&-0,5\\0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot5-0,5\cdot 2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$
Der Bildpunkt ist dann $D'(4|0)$.
-
Ermittle die Abbildungsmatrix sowie die Bildpunkte.
TippsBeachte, dass eine Zeile der Abbildungsmatrix eine Nullzeile ist.
Verwende diese Geradengleichung
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$.
Jeder Punkt der x-Achse lautet $P(x|0)$.
LösungJeder Bildpunkt liegt auf der Geraden
$g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$.
Die y-Koordinate des Punktes ist $0$, also $y'=y-r=0$, was äquivalent ist zu $r=y$. Dieses $r$ wird in der x-Koordinate eingesetzt zu $x'=x+2y$.
Somit kann die Abbildungsmatrix aufgeschrieben werden:
$A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$.
Das bedeutet, dass zu einem beliebigen Punkt $P(x|y)$ der Bildpunkt gegeben ist durch $y'=0$. Die x-Koordinate des Bildpunktes ist $x'=x+2y$.
- Der Bildpunkt zu $A(3|3)$ ist $A'(1 \cdot 3+2\cdot 3|0)=A'(9|0)$.
- Der Bildpunkt zu $B(4|-1)$ ist $B'(2|0)$.
- Der Bildpunkt zu $C(-2|-2)$ ist $C'(-6|0)$.

Drehung im Koordinatensystem – Anleitung

Zentrische Streckung im Koordinatensystem – Anleitung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Orthogonale Spiegelung an der x-Achse

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Drehung um den Ursprung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Zentrische Streckung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Abbildungen im Raum

Parallelverschiebung von Polynomen im Koordinatensystem

Orthogonale Affinität
5.626
sofaheld-Level
6.572
vorgefertigte
Vokabeln
9.085
Lernvideos
39.002
Übungen
35.086
Arbeitsblätter
24h
Hilfe von Lehrer*
innen

Inhalte für alle Fächer und Klassenstufen.
Von Expert*innen erstellt und angepasst an die Lehrpläne der Bundesländer.
Testphase jederzeit online beenden
Beliebteste Themen in Mathematik
- Römische Zahlen
- Prozentrechnung
- Primzahlen
- Geometrische Lagebeziehungen
- Rechteck
- Pq-Formel
- Binomische Formeln
- Trapez
- Volumen Zylinder
- Umfang Kreis
- Quadrat
- Division
- Raute
- Parallelogramm
- Polynomdivision
- Was ist eine Viertelstunde
- Prisma
- Mitternachtsformel
- Grundrechenarten Begriffe
- Dreiecksarten
- Quader
- Satz des Pythagoras
- Dreieck Grundschule
- Erste binomische Formel
- Kreis
- Standardabweichung
- Flächeninhalt
- Volumen Kugel
- Zahlen in Worten schreiben
- Meter
- Orthogonalität
- Schriftlich multiplizieren
- Brüche multiplizieren
- Potenzgesetze
- Distributivgesetz
- Flächeninhalt Dreieck
- Rationale Zahlen
- Volumen berechnen
- Brüche addieren
- Kongruenz
- Exponentialfunktion
- Scheitelpunktform
- Logarithmus
- Erwartungswert
- Skalarprodukt
- Primfaktorzerlegung
- Quadratische Ergänzung
- Zinseszins
- Geradengleichung aus zwei Punkten bestimmen
- Sinusfunktion