Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Projektion auf eine Gerade Übung

• Leite die Beziehungen zwischen den Koordinaten des Bildpunktes $P'(x'|y')$ und denen des Punktes $P(x|y)$ her.

  Tipps

  Schaue dir noch einmal dieses Bild an. Der Bildpunkt ist hier eingezeichnet.

  Die Geradengleichung lautet

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$.

  Lösung

  Der Bildpunkt liegt auf der Geraden

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$.

  Also muss gelten:

  $\begin{align} x' & =x-r\\ y' & =y-2r \end{align}$

  Die y-Koordinate des Bildpunktes ist $0$, da dieser ja auf der x-Achse liegt. Dies führt zu der Gleichung $y-2r=0$, die wir nach $r$ umformen können:

  • Addition von $2r$ führt zu $y=2r$ und
  • Division durch $2$ zu $r=\frac y2$.

  Dieser Wert für $r$ kann in die $x'$-Koordinate des Bildpunktes eingesetzt werden. So erhält man

  $x'=x-\frac y2$.

  Die $y'$-Koordinate ist $y'=0$.

• Gib zu den beiden Projektionen die Abbildungsmatrix an.

  Tipps

  Für die Projektion auf die x-Achse gilt

  $\begin{align} x' & =x-\frac{y}2\\ y' & =0 \end{align}$

  Um die Matrix $A$ zu finden, kannst du in der zweiten Zeile etwas ausführlicher schreiben:

  $y' = 0 \cdot x + 0 \cdot y$.

  Bei der Projektion auf die y-Achse dagegen muss $x'=0$ sein.

  Ein Punkt auf der Geraden entlang des roten Pfeils lautet

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}$.

  Lösung

  Für die Projektion auf die x-Achse gilt

  $\begin{align} x' & =x-\frac{y}2\\ y' & =0 \end{align}$

  Um die Matrix $A$ zu finden, schreiben wir in der zweiten Zeile etwas ausführlicher $y' = 0 \cdot x + 0 \cdot y$.

  Also ist $A=\begin{pmatrix}1&-0,5\\0&0\end{pmatrix}$.

  Ebenso kann die Abbildungsmatrix für die Projektion auf die y-Achse bestimmt werden. Der Bildpunkt liegt auf der Geraden

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}$.

  Es muss $x'=0$ sein. Dies führt zu der Gleichung $x-r=0$, also $r=x$. Dieses $r$ wird nun in die y-Koordinate eingesetzt:

  $y'=y-0,5x$.

  Dies können wir noch in die gewohnte Reihenfolge bringen und dann als Abbildungsmatrix aufschreiben:

  $B=\begin{pmatrix}0&0\\-0,5&1\end{pmatrix}$.

• Wende die Abbildungsmatrix an, um den zugehörigen Bildpunkt zu bestimmen.

  Tipps

  Multipliziere jeweils die Matrix $B$ mit dem Ortsvektor des Punktes.

  Um eine Matrix mit einem Vektor zu multiplizieren, multiplizierst du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor.

  Schaue dir das nebenstehende Beispiel an.

  Lösung

  Mit Hilfe dieser Matrix kann zu jedem Punkt $P(x|y)$ der Bildpunkt $P'(x'|y')$ der Projektion auf die y-Achse mittels des Vektors $\begin{pmatrix}-1\\-0,5\end{pmatrix}$ bestimmt werden.

  Diesen Bildpunkt erhält man durch Multiplikation dieser Matrix mit dem Ortsvektor des Punktes $A$.

  $\begin{align} \begin{pmatrix}0&0\\-0,5&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}0\\-0,5+1\end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}0\\0,5\end{pmatrix} \end{align}$

  Somit ist $A'(0|0,5)$.

  Ebenso können die Bildpunkte der übrigen Punkte berechnet werden. Die jeweiligen x-Koordinaten sind $0$ und die y-Koordinate $-0,5\cdot x+y$, wobei $x$ und $y$ die Koordinaten des Punktes sind:

  • Der Bildpunkt zu $B(3|1)$ ist $B'(0|-0,5)$.
  • Der Bildpunkt zu $C(3|4)$ ist $C'(0|2,5)$.
  • Der Bildpunkt zu $D(1|4)$ ist $D'(0|3,5)$.

• Leite die Abbildungsmatrix der linearen Abbildung her.

  Tipps

  Die y-Koordinate eines beliebigen Geradenpunktes lautet $y'=y-r$.

  Sei die Beziehung der Koordinaten gegeben durch

  • $x'=0$ sowie
  • $y'=ax+by$,

  dann ist die Abbildungsmatrix gegeben durch

  $\begin{pmatrix}0&0\\a&b\end{pmatrix}$.

  Lösung

  Der Bildpunkt liegt auf der Geraden

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}-3\\-1\end{pmatrix}$.

  Also ist

  $\begin{align} x' & =x-3r\\ y' & =y-r \end{align}$

  Die x-Koordinate des Bildpunktes ist $0$, also gilt $x-3r=0$.

  • Zuerst wird $3r$ addiert zu $x=3r$ und
  • dann durch $3$ dividiert zu $r=\frac x3$.

  Damit gilt

  $\begin{align} x' & =0\\ y' & =y-\frac x3 \end{align}$

  Diese Abbildung kann mit Hilfe der folgenden Abbildungsmatrix beschrieben werden:

  $\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\-\frac13&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$.

• Bestimme die Bildpunkte von $C(3|4)$ sowie $D(5|2)$.

  Tipps

  Die Summe der beiden fehlenden x-Koordinaten ist $5$.

  Berechne das Produkt der Matrix $A$ mit dem Ortsvektor des entsprechenden Punktes, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.

  Zum Beispiel gilt für die x-Koordinate des Punktes $C$:

  $1\cdot 3-0,5\cdot 4$.

  Lösung

  Mit Hilfe dieser Matrix kann zu jedem Punkt $P(x|y)$ der Bildpunkt $P'(x'|y')$ der Projektion auf die x-Achse mittels des Vektors $\begin{pmatrix}-1\\-2\end{pmatrix}$ bestimmt werden.

  Hierfür wird diese Matrix mit dem Ortsvektor des Punktes $C(3|4)$ multipliziert:

  $\begin{align} \begin{pmatrix}1&-0,5\\0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}3\\4\end{pmatrix} & =\begin{pmatrix}1\cdot3-0,5\cdot 4\\0\end{pmatrix}\\ & =\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix} \end{align}$

  Somit ist $C'(1|0)$.

  Ebenso kann der Bildpunkt von $D(5|2)$ berechnet werden:

  $\begin{pmatrix}1&-0,5\\0&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}5\\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\cdot5-0,5\cdot 2\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4\\0\end{pmatrix}$

  Der Bildpunkt ist dann $D'(4|0)$.

• Ermittle die Abbildungsmatrix sowie die Bildpunkte.

  Tipps

  Beachte, dass eine Zeile der Abbildungsmatrix eine Nullzeile ist.

  Verwende diese Geradengleichung

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$.

  Jeder Punkt der x-Achse lautet $P(x|0)$.

  Lösung

  Jeder Bildpunkt liegt auf der Geraden

  $g:\vec x=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}+r\cdot\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$.

  Die y-Koordinate des Punktes ist $0$, also $y'=y-r=0$, was äquivalent ist zu $r=y$. Dieses $r$ wird in der x-Koordinate eingesetzt zu $x'=x+2y$.

  Somit kann die Abbildungsmatrix aufgeschrieben werden:

  $A=\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}$.

  Das bedeutet, dass zu einem beliebigen Punkt $P(x|y)$ der Bildpunkt gegeben ist durch $y'=0$. Die x-Koordinate des Bildpunktes ist $x'=x+2y$.

  • Der Bildpunkt zu $A(3|3)$ ist $A'(1 \cdot 3+2\cdot 3|0)=A'(9|0)$.
  • Der Bildpunkt zu $B(4|-1)$ ist $B'(2|0)$.
  • Der Bildpunkt zu $C(-2|-2)$ ist $C'(-6|0)$.