Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen

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Grundlagen zum Thema Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen
Hallo! Wie kann man eine Kombination von Abbildungen durch eine Matrix beschreiben? In diesem Video wollen wir ein Dreieck erst an der x-Achse spiegeln und dann um 45° im mathematisch positiven Drehsinn drehen. Dafür wiederholen wir zunächst den Begriff der linearen Abbildung. Wir berechnen die Abbildungsmatrizen der einzelnen Bewegungen und überlegen dann, wie man aus ihnen die Abbildungsmatrix für die gesamte Bewegung berechnen kann. Viel Spaß beim Lernen!
Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen Übung
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Berechne die Abbildungsmatrix, welche die Kombination der linearen Abbildungen beschreibt.
TippsBeachte, dass zunächst gespiegelt und dann gedreht wird.
Du musst die beiden Matrizen multiplizieren.
Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: $B\cdot C\neq C\cdot B$.
Du multiplizierst zwei Matrizen, indem du jeweils eine Zeile der linken Matrix mit den Spalten der rechten Matrix multiplizierst.
An der Stelle, wo sich die multiplizierten Zeilen und Spalten „schneiden“, schreibst du das Ergebnis auf.
LösungDie Matrix $B$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse. Also ist ein gespiegelter Punkt gegeben durch
$\vec{x'}=B\cdot \vec x$.
Dieser gespiegelte Punkt wird gedreht. Man muss also mit der Matrix $C$ multiplizieren:
Gesamt ist also
$\vec{x''}=C\cdot \vec{x'}=C\cdot B\cdot \vec x$.
Es muss also das Produkt $A=C\cdot B$ berechnet werden:
$A=\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)\\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$.
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Ermittle den Bildpunkt des Punktes $E(2|-2)$.
TippsDu multiplizierst eine Matrix mit einem Vektor, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.
Beachte, dass $4=2\cdot\sqrt2^2$ ist.
LösungMan multipliziert den Ortsvektor des Punktes $E$ mit der hier abgebildeten Matrix.
$\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt2}\cdot \begin{pmatrix}2-2\\2+2\end{pmatrix}$
Die x-Koordinate des Bildpunktes ist also $x'=0$ und die y-Koordinate
$y'=\frac1{\sqrt2}\cdot 4=\frac{2\cdot\sqrt2^2}{\sqrt2}=2\sqrt2$.
Somit lautet der Bildpunkt $E'(0|2\sqrt2)$.
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Wende die Matrixmultiplikation an, um die Abbildungsmatrix zu erstellen.
TippsBeachte die Reihenfolge der Multiplikation.
Die Matrixmultiplikation ist nicht vertauschbar.
Zuerst wird die Projektion und dann die Drehung durchgeführt.
LösungDa zuerst die Projektion, mit der Matrix $B$, und dann die Drehung, mit der Matrix $C$, durchgeführt wird, erhält man die zugehörige Abbildungsmatrix durch Multiplikation
$A=C\cdot B$.
$A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 1-1\cdot 0&0\cdot 0-1\cdot 0\\1\cdot 1-0\cdot 0&1\cdot 0-0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$.
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Bestimme die Bildpunkte bei der kombinierten Abbildung aus Projektion und Drehung.
TippsDie Abbildungsmatrix lässt sich als Produkt der beiden obigen Matrizen berechnen:
$A=C\cdot B$.
Hier siehst du die Abbildungsmatrix.
Multipliziere die Abbildungsmatrix zeilenweise mit dem Ortsvektor des jeweiligen Punktes.
LösungZunächst kann das Produkt $A=C\cdot B$ berechnet werden.
$\begin{align} A & =\frac1{\sqrt2}\cdot \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\\ & =\frac1{\sqrt2}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} \end{align}$.
Nun kann jeder der Ortsvektoren der gegebenen Punkte mit dieser Matrix multipliziert werden. Die Koordinaten der Bildpunkte sind identisch. Es ist jeweils die x-Koordinate des gegebenen Punktes dividiert durch $\sqrt2$.
- Der Bildpunkt des Punktes $A(2|4)$ ist $A'(\sqrt2|\sqrt2)$.
- Der Bildpunkt des Punktes $B(1|-2)$ ist $B'\left(\frac1{\sqrt2}\big\vert\frac1{\sqrt2}\right)$.
- Der Bildpunkt des Punktes $C(3|3)$ ist $B'\left(\frac3{\sqrt2}\big\vert\frac3{\sqrt2}\right)$.
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Beschreibe, wie die Abbildungsmatrix einer Kombination von Abbildungen berechnet werden kann.
TippsBeachte, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Das bedeutet
$C\cdot B\neq B\cdot C$.
Der gespiegelte Punkt ist gegeben durch
$\vec{x'}=B\cdot \vec x$.
Nun wird der resultierende Punkt gedreht:
$\vec{x''}=C\cdot \vec{x'}$.
LösungDie Matrix $B$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse. Also ist ein gespiegelter Punkt gegeben durch
$\vec{x'}=B\cdot \vec x$.
Nun wird dieser gespiegelte Punkt gedreht. Hierfür kann die Matrix $C$ verwendet werden:
$\vec{x''}=C\cdot \vec{x'}=C\cdot B\cdot \vec x$.
Das bedeutet, dass das Produkt $A=C\cdot B$ der beiden Abbildungsmatrizen (in dieser Reihenfolge!) die gesuchte Abbildungsmatrix ist.
Wir können sagen: „Die Abbildungsmatrix, die näher an $\vec x$ steht, wird zuerst ausgeführt.“
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Ermittle die Abbildungsmatrix $A$ einer Kombination aus zentrischer Streckung und Spiegelung an der y-Achse.
TippsBilde das Matrixprodukt $A=A_2\cdot A_1$.
Beachte, dass sich bei der Spiegelung an der y-Achse das Vorzeichen der x-Koordinate verändert.
Streckung um einen Faktor bedeutet, dass jede Koordinate eines Punktes mit dem gleichen Faktor multipliziert wird.
LösungDie Abbildungsmatrix lässt sich als Produkt dieser beiden Matrizen berechnen:
$A= \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\0&3\end{pmatrix}$.
Nun können die Ortsvektoren der beiden Punkte mit dieser Matrix multipliziert werden.
- Der Bildpunkt des Punktes $C(3|3)$ ist dann $C'(-9|9)$ und
- der des Punktes $D(-2|1)$ ist dann $D'(6|3)$.

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