Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Kombination von Abbildungen Übung

• Berechne die Abbildungsmatrix, welche die Kombination der linearen Abbildungen beschreibt.

  Tipps

  Beachte, dass zunächst gespiegelt und dann gedreht wird.

  Du musst die beiden Matrizen multiplizieren.

  Die Matrixmultiplikation ist nicht kommutativ: $B\cdot C\neq C\cdot B$.

  Du multiplizierst zwei Matrizen, indem du jeweils eine Zeile der linken Matrix mit den Spalten der rechten Matrix multiplizierst.

  An der Stelle, wo sich die multiplizierten Zeilen und Spalten „schneiden“, schreibst du das Ergebnis auf.

  Lösung

  Die Matrix $B$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse. Also ist ein gespiegelter Punkt gegeben durch

  $\vec{x'}=B\cdot \vec x$.

  Dieser gespiegelte Punkt wird gedreht. Man muss also mit der Matrix $C$ multiplizieren:

  Gesamt ist also

  $\vec{x''}=C\cdot \vec{x'}=C\cdot B\cdot \vec x$.

  Es muss also das Produkt $A=C\cdot B$ berechnet werden:

  $A=\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1 \cdot 1 - 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 - 1 \cdot (-1)\\ 1 \cdot 1 + 1 \cdot 0 & 1 \cdot 0 + 1 \cdot (-1)\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$.

• Ermittle den Bildpunkt des Punktes $E(2|-2)$.

  Tipps

  Du multiplizierst eine Matrix mit einem Vektor, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.

  Beachte, dass $4=2\cdot\sqrt2^2$ ist.

  Lösung

  Man multipliziert den Ortsvektor des Punktes $E$ mit der hier abgebildeten Matrix.

  $\frac1{\sqrt 2}\cdot \begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=\frac1{\sqrt2}\cdot \begin{pmatrix}2-2\\2+2\end{pmatrix}$

  Die x-Koordinate des Bildpunktes ist also $x'=0$ und die y-Koordinate

  $y'=\frac1{\sqrt2}\cdot 4=\frac{2\cdot\sqrt2^2}{\sqrt2}=2\sqrt2$.

  Somit lautet der Bildpunkt $E'(0|2\sqrt2)$.

• Wende die Matrixmultiplikation an, um die Abbildungsmatrix zu erstellen.

  Tipps

  Beachte die Reihenfolge der Multiplikation.

  Die Matrixmultiplikation ist nicht vertauschbar.

  Zuerst wird die Projektion und dann die Drehung durchgeführt.

  Lösung

  Da zuerst die Projektion, mit der Matrix $B$, und dann die Drehung, mit der Matrix $C$, durchgeführt wird, erhält man die zugehörige Abbildungsmatrix durch Multiplikation

  $A=C\cdot B$.

  $A=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 1-1\cdot 0&0\cdot 0-1\cdot 0\\1\cdot 1-0\cdot 0&1\cdot 0-0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}$.

• Bestimme die Bildpunkte bei der kombinierten Abbildung aus Projektion und Drehung.

  Tipps

  Die Abbildungsmatrix lässt sich als Produkt der beiden obigen Matrizen berechnen:

  $A=C\cdot B$.

  Hier siehst du die Abbildungsmatrix.

  Multipliziere die Abbildungsmatrix zeilenweise mit dem Ortsvektor des jeweiligen Punktes.

  Lösung

  Zunächst kann das Produkt $A=C\cdot B$ berechnet werden.

  $\begin{align} A & =\frac1{\sqrt2}\cdot \begin{pmatrix}1&-1\\1&1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}\\ & =\frac1{\sqrt2}\cdot \begin{pmatrix}1&0\\1&0\end{pmatrix} \end{align}$.

  Nun kann jeder der Ortsvektoren der gegebenen Punkte mit dieser Matrix multipliziert werden. Die Koordinaten der Bildpunkte sind identisch. Es ist jeweils die x-Koordinate des gegebenen Punktes dividiert durch $\sqrt2$.

  • Der Bildpunkt des Punktes $A(2|4)$ ist $A'(\sqrt2|\sqrt2)$.
  • Der Bildpunkt des Punktes $B(1|-2)$ ist $B'\left(\frac1{\sqrt2}\big\vert\frac1{\sqrt2}\right)$.
  • Der Bildpunkt des Punktes $C(3|3)$ ist $B'\left(\frac3{\sqrt2}\big\vert\frac3{\sqrt2}\right)$.

• Beschreibe, wie die Abbildungsmatrix einer Kombination von Abbildungen berechnet werden kann.

  Tipps

  Beachte, dass die Matrixmultiplikation nicht kommutativ ist. Das bedeutet

  $C\cdot B\neq B\cdot C$.

  Der gespiegelte Punkt ist gegeben durch

  $\vec{x'}=B\cdot \vec x$.

  Nun wird der resultierende Punkt gedreht:

  $\vec{x''}=C\cdot \vec{x'}$.

  Lösung

  Die Matrix $B$ beschreibt die Spiegelung an der x-Achse. Also ist ein gespiegelter Punkt gegeben durch

  $\vec{x'}=B\cdot \vec x$.

  Nun wird dieser gespiegelte Punkt gedreht. Hierfür kann die Matrix $C$ verwendet werden:

  $\vec{x''}=C\cdot \vec{x'}=C\cdot B\cdot \vec x$.

  Das bedeutet, dass das Produkt $A=C\cdot B$ der beiden Abbildungsmatrizen (in dieser Reihenfolge!) die gesuchte Abbildungsmatrix ist.

  Wir können sagen: „Die Abbildungsmatrix, die näher an $\vec x$ steht, wird zuerst ausgeführt.“

• Ermittle die Abbildungsmatrix $A$ einer Kombination aus zentrischer Streckung und Spiegelung an der y-Achse.

  Tipps

  Bilde das Matrixprodukt $A=A_2\cdot A_1$.

  Beachte, dass sich bei der Spiegelung an der y-Achse das Vorzeichen der x-Koordinate verändert.

  Streckung um einen Faktor bedeutet, dass jede Koordinate eines Punktes mit dem gleichen Faktor multipliziert wird.

  Lösung

  Die Abbildungsmatrix lässt sich als Produkt dieser beiden Matrizen berechnen:

  $A= \begin{pmatrix}-1&0\\0&1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}3&0\\0&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-3&0\\0&3\end{pmatrix}$.

  Nun können die Ortsvektoren der beiden Punkte mit dieser Matrix multipliziert werden.

  • Der Bildpunkt des Punktes $C(3|3)$ ist dann $C'(-9|9)$ und
  • der des Punktes $D(-2|1)$ ist dann $D'(6|3)$.