Lineare Abbildungen durch Matrizen – Drehung um den Ursprung

Lineare Abbildungen durch Matrizen – Drehung um den Ursprung Übung

• Bestimme die Koordinaten des gedrehten Punktes.

  Tipps

  Hier siehst du die Additionssätze, welche du benötigst:

  • $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  In dem rechtwinkligen Dreieck mit den Katheten $x$ und $y$ sowie der Hypotenuse $r$ gilt

  • $\sin(\alpha)=\frac yr$ und
  • $\cos(\alpha)=\frac xr$.

  Achte bei den Additionssätzen auf das Rechenzeichen: Einmal wird dies vertauscht und einmal bleibt es erhalten.

  Lösung

  Sei $r$ der Abstand der Punkte $P$ sowie $P'$ vom Koordinatenursprung. Dann gelten die folgenden Beziehungen für deren Koordinaten:

  • $x=r\cdot \cos(\alpha)$,
  • $y=r\cdot \sin(\alpha)$,
  • $x'=r\cdot \cos(\alpha+\beta)$ sowie
  • $y'=r\cdot \sin(\alpha+\beta)$.

  Dabei wurden ganz entscheidend die trigonometrischen Funktionen verwendet.

  Nun können Additionssätze für trigonometrische Funktionen verwendet werden:

  • $\sin(\alpha\pm\beta)=\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)\pm\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)$
  • $\cos(\alpha\pm\beta)=\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)\mp\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$

  Damit gilt

  $\begin{align} x' & =r\cdot \cos(\alpha+\beta)=r\cdot(\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta))\\ y' & =r\cdot \sin(\alpha+\beta)=r\cdot(\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+\cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)) \end{align}$

• Leite die Matrix her, mit welcher die Drehung um den Koordinatenursprung als lineare Abbildung dargestellt werden kann.

  Tipps

  Beachte, es wird um den Winkel $\beta$ gedreht.

  Schreibe die folgende Gleichung

  $x'=r\cdot(\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta))$

  um.

  Verwende dabei

  • $x=r\cdot \cos(\alpha)$ sowie
  • $y=r\cdot \sin(\alpha)$.

  Es gilt zum Beispiel

  $\begin{array}{rcl} y'&=&r\cdot\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+r\cdot \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta))\\ &=&y\cdot \cos(\beta)+x\cdot \sin(\beta) \end{array}$

  Lösung

  Wenn man in der oberen der beiden Gleichungen die Klammern auflöst, erhält man

  $x'=r\cdot\cos(\alpha)\cdot \cos(\beta)-r\cdot\sin(\alpha)\cdot \sin(\beta)$.

  Da $x=r\cdot \cos(\alpha)$ und $y=r\cdot \sin(\alpha)$ sind, kann man diese Terme in der Gleichung ersetzen:

  $x'=x\cdot \cos(\beta)-y\cdot \sin(\beta)$.

  Ebenso kann $y'$ wie folgt geschrieben werden:

  $\begin{array}{rcl} y'&=&r\cdot\sin(\alpha)\cdot \cos(\beta)+r\cdot \cos(\alpha)\cdot \sin(\beta)\\ &=&y\cdot \cos(\beta)+x\cdot \sin(\beta) \end{array}$

  Das bedeutet, dass die Drehung sich mit Hilfe einer Matrix als eine lineare Abbildung schreiben lässt. Die Matrix lautet

  $A=\begin{pmatrix} \cos(\beta)& -\sin(\beta)\\ \sin(\beta)&\cos(\beta) \end{pmatrix}$.

  Damit gilt für jeden Punkt $P$ mit dem zugehörigen Ortsvektor $\vec x$, dass

  $\vec {x'}=\begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos(\beta)& -\sin(\beta)\\ \sin(\beta)&\cos(\beta) \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}$

  gilt. Dabei ist $\vec{x'}$ der Ortsvektor des Bildpunktes $P'$. Somit ist die zentrische Drehung um den Koordinatenursprung eine lineare Abbildung.

• Ermittle die Matrizen zu den Drehungen.

  Tipps

  Wenn du etwas um $360^\circ$ drehst, hast du wieder die Ausgangsfigur.

  • Die Nullstellen von Sinus sind die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ=\pi$.
  • Die Nullstellen von Cosinus sind $90^\circ=\frac{\pi}{2}$ plus die ganzzahligen Vielfachen von $180^\circ=\pi$.

  Hier siehst du den Verlauf von Sinus.

  Lösung

  Wenn man den Ortsvektor $\vec x$ eines Punktes $P$ mit dieser Matrix multipliziert, erhält man den Ortsvektor $\vec{x'}$ des um den Winkel $\beta$ gedrehten Punktes $P'$.

  Nun können die zu den entsprechenden Drehungen gehörenden Matrizen bestimmt werden, indem die Werte für $\beta$ eingesetzt werden:

  Zu $\beta=90^\circ$ gehört die Matrix $A=\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1&0 \end{pmatrix}$.

  Die Matrix zu $\beta=180^\circ$ ist $A=\begin{pmatrix} -1& 0\\ 0&-1 \end{pmatrix}$.

  Diese ergibt sich auch durch die Matrixmultiplikation $\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0& -1\\ 1&0 \end{pmatrix}$. Dies entspricht übrigens einer Punktspiegelung am Koordinatenursprung: Bei beiden Koordinaten des Punktes $P(x|y)$ werden die Vorzeichen vertauscht zu $P'(-x|-y)$.

  Die Matrix zu $\beta=270^\circ$ lautet

  $A=\begin{pmatrix} 0& 1\\ -1&0 \end{pmatrix}$.

  Und die Matrix zu $\beta=360^\circ$ ist natürlich die Einheitsmatrix. Der Punkt $P$ wird auf sich selbst abgebildet:

  $A=\begin{pmatrix} 1& 0\\ 0&1 \end{pmatrix}$.

• Berechne die Koordinaten des gedrehten Punktes.

  Tipps

  Die jeweils angegebene Matrix ist die zugehörige Drehmatrix.

  Multipliziere jeweils die Drehmatrix mit dem Ortsvektor des zu drehenden Punktes.

  Du multiplizierst eine Matrix mit einem Vektor, indem du jede Zeile der Matrix mit dem Vektor multiplizierst.

  Mache dir die jeweilige Drehung in einem Koordinatensystem klar.

  Lösung

  So sieht zu einem beliebigen Drehwinkel $\beta$ die zugehörige Drehmatrix $A$ aus. Wenn man diese Matrix mit dem Ortsvektor eines gegebenen Punktes $P$ multipliziert, erhält man den Ortsvektor des Bildpunktes $P'$.

  Drehung um 90°

  Man multipliziert den Ortsvektor des Punktes $P(4|5)$ mit der zugehörigen Drehmatrix

  $\begin{pmatrix} 0& -1\\ 1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}4\\5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$

  Der Bildpunkt ist $P'(-5|4)$.

  Drehung um 180°

  Bei einer Drehung um $180^\circ$ werden bei beiden Koordinaten die Vorzeichen vertauscht: Der Bildpunkt des Punktes $P(5|4)$ ist der Punkt $P'(-5|-4)$.

  Drehung um 270°

  Man multipliziert den Ortsvektor des Punktes $P(-4|-5)$ mit der entsprechenden Drehmatrix

  $\begin{pmatrix} 0& 1\\ -1&0 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}-4\\-5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5\\4\end{pmatrix}$

  Der Bildpunkt ist also $P'(-5|4)$.

  Drehung um 45°

  Auch hier wird die Drehmatrix mit dem Ortsvektor des Punktes $P\left(\frac{5\sqrt2}2\big\vert\frac{5\sqrt2}2\right)$ multipliziert:

  $\begin{array}{rcl}\begin{pmatrix} \frac{\sqrt2}{2}& -\frac{\sqrt2}{2}\\ \frac{\sqrt2}{2}&\frac{\sqrt2}{2} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}\frac{5\sqrt2}{2}\\\frac{5\sqrt2}{2}\end{pmatrix}&=&\begin{pmatrix}\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{5\sqrt2}{2}-\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{5\sqrt2}{2} \\\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{5\sqrt2}{2}+\frac{\sqrt2}{2}\cdot\frac{5\sqrt2}{2}\end{pmatrix}\\ &=&\begin{pmatrix} 0 \\ 5 \end{pmatrix} \end{array}$

  Der gesuchte Bildpunkt ist also $P'(0|5)$.

• Gib die Koordinaten des Punktes $P(x|y)$ als Polarkoordinaten an.

  Tipps

  Verwende die folgende Definition der trigonometrischen Funktionen in einem rechtwinkligen Dreieck

  • $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$ sowie
  • $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$.

  Hier siehst du ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $x$ und $y$ sowie der Hypotenuse $r$.

  Wende die Definition des Sinus sowie des Cosinus in dem dargestellten rechtwinkligen Dreieck an und multipliziere jeweils mit $r$.

  Lösung

  In diesem Bild ist ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten $x$ und $y$ sowie der Hypotenuse $r$ zu erkennen.

  Unter Verwendung der Definition der trigonometrischen Funktionen

  • $\sin(\alpha)=\frac{\text{Gegenkathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$ sowie
  • $\cos(\alpha)=\frac{\text{Ankathete von } \alpha}{\text{Hypotenuse}}$

  können die Koordinaten wie folgt dargestellt werden:

  • $\sin(\alpha)=\frac{y}{r}$: Multiplikation mit $r$ führt zu $y=r\cdot \sin(\alpha)$.
  • $\cos(\alpha)=\frac{x}{r}$: Multiplikation mit $r$ führt zu $x=r\cdot \cos(\alpha)$.

• Ermittle, um welchen Winkel der Punkt gedreht wird.

  Tipps

  Multipliziere die allgemeine Drehmatrix mit unbekanntem Winkel $\beta$ mit dem Ortsvektor des Punktes $P$. Das Ergebnis muss der Ortsvektor des Punktes $P'$ sein.

  Runde die Werte nicht: Der Winkel ist ganzzahlig.

  Du gelangst zu der Gleichung

  $\cos(\beta)\cdot \left(\frac{4+5\sqrt3}2+ \frac{5-4\sqrt3}2\cdot \frac{5-4\sqrt3}{4+5\sqrt3}\right) =\frac{4\cdot(4+5\sqrt3) +5\cdot (5-4\sqrt3)}{4+5\sqrt3}$.

  Die rechte Seite der obigen Gleichung lässt sich zusammenfassen zu

  $\frac{41}{4+5\sqrt3}$.

  Lösung

  Es muss die Gleichung

  $\begin{pmatrix} \cos(\beta)& -\sin(\beta)\\ \sin(\beta)&\cos(\beta) \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \frac{4+5\sqrt3}2 \\ \frac{5-4\sqrt3}2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 5 \end{pmatrix}$

  betrachtet werden. Links steht der erzeugte Punkt, rechts das Produkt aus Matrix und ursprünglichem Punkt. Wir betrachten die Koordinaten zeilenweise:

  $\begin{align} 4 & = \cos(\beta)\cdot \frac{4+5\sqrt3}2-\sin(\beta)\cdot \frac{5-4\sqrt3}2\\ 5 & = \sin(\beta)\cdot \frac{4+5\sqrt3}2+\cos(\beta)\cdot \frac{5-4\sqrt3}2 \end{align}$

  Nun multipliziert man die untere Gleichung mit $\frac{5-4\sqrt3}{4+5\sqrt3}$ und addiert die beiden Gleichungen zu

  $\cos(\beta)\cdot \frac{4+5\sqrt3}2+ \cos(\beta)\cdot \frac{5-4\sqrt3}2\cdot \frac{5-4\sqrt3}{4+5\sqrt3} =4+5\cdot \frac{5-4\sqrt3}{4+5\sqrt3}$.

  Nun kann auf der linken Seite $\cos(\beta)$ ausgeklammert werden. Die rechte Seite wird zusammengefasst:

  $\cos(\beta)\cdot \left(\frac{4+5\sqrt3}2+ \frac{5-4\sqrt3}2\cdot \frac{5-4\sqrt3}{4+5\sqrt3}\right) =\frac{4\cdot(4+5\sqrt3) +5\cdot (5-4\sqrt3)}{4+5\sqrt3}$.

  Schauen wir uns nun die rechte Seite an:

  $\frac{4\cdot(4+5\sqrt3) +5\cdot (5-4\sqrt3)}{4+5\sqrt3}=\frac{16+20\sqrt3+25-20\sqrt3}{4+5\sqrt3}=\frac{41}{4+5\sqrt3}$

  und nun auf der linken Seite den Term in der Klammer:

  $\begin{array}{rcl}\frac{4+5\sqrt3}2+ \frac{5-4\sqrt3}2\cdot \frac{5-4\sqrt3}{4+5\sqrt3}&=&\frac{(4+5\sqrt3)\cdot(4+5\sqrt3)+(5-4\sqrt3)\cdot(5-4\sqrt3)}{2\cdot(4+5\sqrt3)}\\ &=&\frac{16+40\sqrt3+25\cdot3+25-40\sqrt3+16\cdot 3}{2\cdot(4+5\sqrt3)}\\ &=&\frac{164}{2\cdot(4+5\sqrt3)}\\ &=&\frac{82}{4+5\sqrt3} \end{array}$

  Insgesamt gilt dann

  $\frac{82}{4+5\sqrt3}\cdot \cos(\beta)=\frac{41}{4+5\sqrt3}$.

  Nun kann auf beiden Seiten durch $\frac{82}{4+5\sqrt3}$ dividiert werden und man erhält $\cos(\beta)=\frac12$.

  Zuletzt wird der Cosinus umgekehrt und man erhält

  $\beta=\cos^{-1}\left(\frac12\right)=60^\circ$.