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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) (Übungsvideo)

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Die Autor/-innen
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Sabine Blumenthal
Größter gemeinsamer Teiler (ggT) (Übungsvideo)
lernst du in der 5. Klasse - 6. Klasse

Beschreibung Größter gemeinsamer Teiler (ggT) (Übungsvideo)

Dieses Video bietet dir verschiedene Übungen zum Ermitteln des ggT von zwei natürlichen Zahlen. Ich zeige dir noch einmal drei mögliche Lösungswege, damit du für dich herausfinden kannst, welcher Lösungsweg am besten zu dir passt. Du hast dann die Möglichkeit, einige Aufgaben zu bearbeiten, indem du den Lösungsweg selbst wählst.

28 Kommentare

28 Kommentare
  1. 👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👏👍👍👍👍🙌🙌🙌🙌🙌🙌👏👏👏👌👌👌👌👌👌💪💪💪💪💪💪💪💪💪💪💪💪💪👏👏👏👏🤝🤝🤝🤝👍👍👍🙌🙌👌👌👋👋

    Von Itslearning Nutzer 2535 1123603, vor etwa einem Monat
  2. Ich konnte Alles verstehen 🥰 thank you very much😂😂

    Von Itslearning Nutzer 2535 1123603, vor etwa einem Monat
  3. : /

    Von Miriam G., vor 7 Monaten
  4. Sehr cool nur wenn man die Videos schon geschaut hat be kommt Mann bei Aufgaben die Text Aufgaben vom Video sonst sehr toll

    Von Aylin Boulanger, vor 8 Monaten
  5. Wieder ein sehr schönes Video. Bei vielen Videos verweist ihr auf Vorkenntnisse, die in anderen Videos behandelt werden. Ist es mögliche diese dann auch zu verlinken? Das erleichtert das finden dieser Videos.

    Von Ludwig Sven, vor 9 Monaten
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Größter gemeinsamer Teiler (ggT) (Übungsvideo) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Größter gemeinsamer Teiler (ggT) (Übungsvideo) kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Teilermengen von $8$ und $22$ an und bestimme deren größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Beachte, dass jede Zahl Teiler von sich selbst ist.

    Wenn du zwei Mengen betrachtest, dann kannst du zum Beispiel jedes Element der einen Menge daraufhin prüfen, ob dieses auch in der anderen Menge enthalten ist.

    So erhältst du die gemeinsamen Elemente der beiden Mengen.

    Schau dir ein Beispiel an:

    • Die Teilermenge von $6$ ist $T_6=\{1;2;3;6\}$.
    • Die Teilermenge von $15$ ist $T_{15}=\{1;3;5;15\}$.
    • Die Menge der gemeinsamen Teiler ist $\{1;3\}$.
    Somit ist $\text{ggT}(6;15)=3$.

    Lösung

    Um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen, gibst du deren Teilermengen an. Diese untersuchst du auf gemeinsame Teiler. Der größte dieser gemeinsamen Teiler ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler.

    Diesen Vorgang kannst du nun hier für $8$ und $22$ sehen:

    • Die Teilermenge von $8$ ist $T_8=\{1;2;4;8\}$.
    • Die Teilermenge von $22$ ist $T_{22}=\{1;2;11;22\}$.
    • Die Menge der gemeinsamen Teiler ist $\{1;2\}$.
    Somit ist $\text{ggT}(8;22)=2$.

  • Bestimme jeweils den größten gemeinsamen Teiler.

    Tipps

    Du kannst die Teilermengen der beiden Zahlen aufschreiben. Der größte Teiler, der in beiden Teilermengen vorkommt, ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler.

    Du kannst auch die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen betrachten: Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.

    Schau dir ein Beispiel zu der Primfaktorzerlegung an. Zu bestimmen ist $\text{ggT}(20;30)$.

    Du kannst schließlich auch alle Teiler der kleineren Zahl daraufhin untersuchen, ob diese ebenfalls Teiler der größeren Zahl sind. Beginne dabei bei dem größten Teiler und gehe bis zu dem kleinsten.

    Der erste Teiler, welcher auch Teiler der anderen Zahl ist, ist der größte gemeinsame Teiler.

    Lösung

    Du kannst den größten gemeinsamen Teiler auf verschiedene Arten bestimmen. Diese siehst du hier.

    Du kannst dir ja überlegen, welches der Verfahren dir am besten gefällt. Dieses Verfahren kannst du schließlich immer verwenden, wenn du den größten gemeinsamen Teiler bestimmen sollst.

    Die Teilermengen

    • $T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$
    • $T_{16}=\{1;2;4;8;16\}$
    Die Menge der gemeinsamen Teiler ist $\{1;2;4\}$. Die größte dieser Zahlen ist der größte gemeinsame Teiler: $\text{ggT}(12;16)=4$.

    Untersuchung der Teiler der kleineren der beiden Zahlen

    Die Teilermenge der Zahl $12$ lautet: $T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$.

    Beginne nun mit dem größten Teiler und prüfe diesen daraufhin, ob er ebenfalls Teiler von der Zahl $36$ ist.

    $12\mid36$: Das bedeutet, dass bereits die $12$ Teiler von $36$ ist. Somit ist $\text{ggT}(12;36)=36$.

    Die Primfaktorzerlegung

    Schreibe die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen so auf, dass gemeinsame Faktoren untereinander stehen. Der größte gemeinsame Teiler ist das Produkt der gemeinsamen Primfaktoren.

    Diese siehst du nebenstehend für die Zahlen $21$ und $60$.

    Nun kannst du dir eines der Verfahren aussuchen, um auch noch den verbleibenden größten gemeinsamen Teiler $\text{ggT}(40;96)=8$ zu bestimmen.

  • Ermittle den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen $16$ sowie $28$.

    Tipps
    • Die Zahl $3$ ist ein Teiler von der Zahl $9$ und du schreibst $3\mid 9$.
    • $4$ ist kein Teiler von $9$. Du schreibst dann $4\nmid 9$.

    Schau dir ein Beispiel für das Vorgehen an: Es soll $\text{ggT}(15;35)$ bestimmt werden.

    • Die Teilermenge von $15$ ist $T_{15}=\{1;3;5;15\}$.
    • Beginne nun mit dem größten Teiler und überprüfe, ob dieser ebenfalls ein Teiler von der Zahl $35$ ist: $15\nmid 35$
    • Komme nun zu dem zweitgrößten Teiler: $5\mid35$.
    Du hast $\text{gg}(15;35)=5$ gefunden.

    Lösung

    Gesucht ist $\text{ggT}(16;28)$.

    Zunächst bestimmst du die Teilermenge der kleineren der beiden Zahlen: $T_{16}=\{1;2;4;8;16\}$.

    Beginne nun mit dem größten Teiler. Prüfe jeweils, ob der Teiler auch Teiler der größeren Zahl ist.

    • $16\nmid 28$: Das bedeutet, dass $16$ kein Teiler von $28$ ist.
    • $8\nmid 28$
    • $4\mid 28$: Das bedeutet, dass $4$ ein Teiler von $28$ ist, denn $7\cdot 4=28$.
    Der größte gemeinsame Teiler ist nun gefunden: $\text{ggT}(16;28)=4$.

  • Bestimme den größten gemeinsamen Teiler der beiden Zahlen.

    Tipps

    Du kannst dir die jeweiligen Teilermengen anschauen. Die größte Zahl, die in beiden Mengen vorkommt, ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler.

    Du könntest auch jede der Zahlen in ihre Primfaktoren zerlegen.

    Zum Beispiel ist

    • $75=3\cdot 5\cdot 5$ oder
    • $24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$.
    Schreibe dann die Primfaktoren so auf, dass die gemeinsamen Faktoren untereinander stehen. Der größte gemeinsame Teiler ist dann das Produkt der gemeinsamen Faktoren.

    Somit ist $\text{ggT}(24;75)=3$.

    Du kannst auch die Teilermenge der kleineren Zahl, zum Beispiel $T_{24}=\{1;2,3,4,6;8;12;24\}$, betrachten.

    Beginne nun mit dem größten Teiler und prüfe, ob dieser auch Teiler der größeren Zahl ist. Gehe so bis zu dem kleinsten Teiler, bis du einen gefunden hast, der auch Teiler der größeren Zahl ist:

    • $24\nmid 75$
    • $12\nmid 75$
    • $8\nmid 75$
    • $6\nmid 75$
    • $4\nmid 75$
    • $3\mid 75$: Der größte gemeinsame Teiler ist nun gefunden.
    Lösung

    Du kannst nun jedes der behandelten Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers noch einmal üben.

    Teilermengen

    • $T_{14}=\{1;2;7;14\}$
    • $T_{49}=\{1;7;49\}$
    • Die beiden Mengen haben nur die Elemente $1$ und $7$ gemeinsam.
    Damit ist $\text{ggT}(14;49)=7$.

    Prüfen, ob ein Teiler der kleineren Zahl auch Teiler der größeren Zahl ist

    • $T_{24}=\{1;2;3;4;6;8;12;24\}$
    • $24\nmid36$
    • $12\mid 36$: Der größte gemeinsame Teiler ist gefunden.
    $\text{ggT}(24;36)=12$

    Primfaktorzerlegung

    • $75=3\cdot 5\cdot 5$ sowie
    • $495=3\cdot 3\cdot 5\cdot 11$
    • Die beiden gemeinsamen Faktoren sind $3$ und $5$. Das Produkt dieser gemeinsamen Faktoren ist der größte gemeinsame Teiler.
    Damit ist $\text{ggT}(75;495)=3\cdot 5=15$.

  • Gib weitere Verfahren an, wie der größte gemeinsame Teiler bestimmt werden kann.

    Tipps

    Prüfe das jeweilige Verfahren. Verwende dabei $\text{ggT}(12;16)=4$.

    Beachte, dass der größte gemeinsame Teiler eine natürliche Zahl sein muss.

    Zwei der Vorschläge führen ebenfalls zu dem größten gemeinsamen Teiler.

    Lösung

    Neben dem Aufstellen der Teilermengen kannst du auch eine der beiden folgenden Verfahren wählen, um den größten gemeinsamen Teiler zweier Zahlen zu bestimmen.

    Dies siehst du am Beispiel der beiden Zahlen $12$ und $16$, für die $\text{ggT}(12;16)=4$ gilt.

    Prüfe die Teiler der einen Zahl

    Schreibe die Teiler der kleineren Zahl auf. Prüfe, ob diese auch Teiler der größeren Zahl ist. Beginne dabei mit dem größten Teiler.

    Die Teilermenge von $12$ ist $T_{12}=\{1;2;3;4;6;12\}$.

    • $12\nmid 16$: Das bedeutet, dass $12$ kein Teiler von $16$ ist.
    • $6\nmid 16$
    • $4\mid 16$: Dies ist der gesuchte größte gemeinsame Teiler.
    Wichtig ist dabei, dass du mit dem größten Teiler beginnst.

    Primfaktorzerlegung

    Bestimme die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen und schreibe diese Zerlegungen so auf, dass gemeinsame Primfaktoren untereinander stehen. Bilde dann das Produkt der gemeinsamen Faktoren. So erhältst du den größten gemeinsamen Teiler. Dies kannst du nebenan sehen.

    Alle übrigen Verfahren sind nicht wirklich geeignet, um den größten gemeinsamen Teiler zu finden.

    • Seit wann rätst du Ergebnisse in der Mathematik?
    • Es ist $16:12=1,\bar3$. Dies ist keine natürliche Zahl. Ein Teiler ist eine natürliche Zahl.
    • Auch das letzte Verfahren führt nicht zu dem gewünschten Ergebnis: $\frac{16-12}2=2$. Dies ist leider nicht der gesuchte größte gemeinsame Teiler.
  • Leite den größten gemeinsamen Teiler von $84$ und $1050$ mit Hilfe der Primfaktorzerlegung her.

    Tipps

    Beachte das Folgende zu Primzahlen:

    • Eine Primzahl ist eine Zahl, die genau zwei Teiler besitzt. Dies sind die $1$ und die Zahl selbst.
    • $1$ ist keine Primzahl.
    • Die $2$ ist die kleinste und auch die einzige gerade Primzahl.

    Schreibe die Primfaktorzerlegungen so auf, dass die gemeinsamen Faktoren untereinanderstehen.

    Wie kannst du eine Primfaktorzerlegung bestimmen? Es ist gut, wenn du Teilbarkeitsregeln kennst. Schau dir dies an dem Beispiel $24$ an:

    • $24=2\cdot 12$
    • $12=2\cdot 6$ und damit $24=2\cdot 2\cdot 6$
    • $6=2\cdot 3$ und damit $24=2\cdot 2\cdot 2\cdot 3$
    Dies ist die gesuchte Primfaktorzerlegung von $24$. Jeder der Faktoren ist eine Primzahl.

    Lösung

    Bestimme die Primfaktorzerlegung der beiden Zahlen:

    • $84=2\cdot 2\cdot 3\cdot 7$ und
    • $1050=2\cdot 3\cdot 5\cdot 5\cdot 7$.
    Du siehst, dass die drei Faktoren $2$, $3$ und $7$ in beiden Primfaktorzerlegungen vorkommen.

    Du multiplizierst nun diese gemeinsamen Faktoren und erhältst so den größten gemeinsamen Teiler: $\text{ggT}(84;1050)=2\cdot 3\cdot 7=42$.

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