Graphen quadratischer Funktionen

Graphen quadratischer Funktionen Übung

• Beschreibe, wie sich die Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ auf den Graphen quadratischer Funktionen auswirken.

  Tipps

  Merke dir:

  • $a$ steht für die Öffnung der Parabel – wie weit, und ob nach oben oder unten
  • $b$ führt zu einer Verschiebung des Scheitelpunktes
  • $c$ führt zu einer Verschiebung des Scheitelpunktes parallel zur $y$-Achse

  Der Scheitelpunkt ist ...

  • ... der höchste Punkt einer nach unten geöffneten Parabel.
  • ... der tiefste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel.

  Lösung

  Wir schauen uns alle Parabeln in dem Bild an, um die Auswirkung der Parameter bzw. Koeffizienten $a$, $b$ und $c$ auf das Aussehen des Graphen noch einmal im Detail durchzugehen.

  Welchen Einfluss hat der Parameter $\mathbf{a}$?

  Die grüne Parabel ist die Normalparabel $f(x)=x^2$, also $a=1$ und $b=c=0$. Diese Parabel ist nach oben geöffnet. Dies gilt für alle positiven $a$-Werte.

  Wenn $a$ negativ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Dies ist der Fall bei der pinken, der blauen und der gelben Parabel.

  Es gibt noch eine weitere Auswirkung des Parameters $a$: Je größer der Betrag von $a$ ist, desto enger ist die Parabel geöffnet. Wird der Betrag von $a$ immer kleiner (gegen $0$), so ist die Parabel weiter geöffnet.

  Welchen Einfluss hat der Parameter $\mathbf{b}$?

  Dieser Koeffizient führt zu einer Verschiebung des Scheitelpunktes. Hierfür schauen wir uns die pinke Parabel an. Die zugehörige Funktionsgleichung lautet

  $f(x)=-x^2-4x-3$

  Da $a=-1<0$ ist, ist die Parabel nach unten geöffnet. Außerdem haben $a$ und $b$ das gleiche Vorzeichen. Deshalb ist der Scheitelpunkt nach links verschoben. Andernfalls wäre er nach rechts verschoben. Die verschobenen Scheitelpunkte bei Änderung von $b$ liegen immer auf einer weiteren Parabel.

  Welchen Einfluss hat der Parameter $\mathbf{c}$?

  Die rote Parabel gehört zu der Funktionsgleichung $f(y)=x^2+2$. Sie ist eine um $2$ Einheiten nach oben verschobene Normalparabel. Allgemein gilt:

  Ist $c$ positiv, so wird die Parabel nach oben verschoben. Ist $c$ hingegen negativ, so wird die Parabel nach unten verschoben.

• Gib an, welche Parameter die Lage der Symmetrieachse der Parabel verändern.

  Tipps

  Erinnere dich:

  • $a$ steht für die Öffnung der Parabel – wie weit, und ob nach oben oder unten
  • $b$ führt zu einer Verschiebung des Scheitelpunktes
  • $c$ führt zu einer Verschiebung des Scheitelpunktes parallel zur $y$-Achse

  Lösung

  Der tiefste (bei nach oben geöffneten) beziehungsweise höchste (bei nach unten geöffneten) Punkt einer Parabel ist der Scheitelpunkt. Die Gerade, welche parallel zur $y$-Achse durch diesen Scheitelpunkt verläuft, ist die Symmetrieachse dieser Parabel.

  Der einzige Parameter, der Auswirkung auf die Lage der Symmetrieachse hat, ist Parameter $b$. Veränderst du Parameter $a$, dann verändert sich die Symmetrieachse nicht. Denn der Koeffizient hat nur Auswirkung darauf, ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist und auf die Weite der Öffnung. Veränderst du Parameter $c$, dann verändert sich die Symmetrieachse ebenfalls nicht, weil sie eine Gerade ist und $c$ den Scheitelpunkt genau an der Symmetrieachse entlang verschiebt.

  Übrigens:

  • Die x-Koordinate des Scheitelpunktes kannst du mit $x=-\frac{b}{2a}$ berechnen.
  • Für $b=0$ liegt der Scheitelpunkt auf der $y$-Achse, die dann auch die Symmetrieachse ist.
  • $a>0$ und $b>0$ führt zu einer negativen $x$-Koordinate des Scheitelpunktes und somit zu einer nach links verschobenen Symmetrieachse.
  • Dies gilt ebenso für $a<0$ und $b<0$, also allgemein, wenn $a$ und $b$ das gleiche Vorzeichen haben.
  • Haben $a$ und $b$ verschiedene Vorzeichen, also $a>0$ und $b<0$ oder $a<0$ und $b>0$, dann führt dies zu einer positiven x-Koordinate des Scheitelpunktes. Die Symmetrieachse ist dann nach rechts verschoben.

• Entscheide, zu welchen Funktionsgleichungen die Graphen gehören.

  Tipps

  Für $b=0$ liegt der Scheitelpunkt auf der y-Achse.

  In Abhängigkeit von $a$ ist die Parabel

  • nach oben geöffnet für $a>0$
  • nach unten geöffnet für $a<0$

  Eine Veränderung des Parameters $c$ führt zu einer Verschiebung der Parabel entlang der y-Achse, also nach oben ($c>0$) oder unten ($c<0$).

  Lösung

  Wie kann man zu einem gegebenen Graphen die zugehörige Funktionsgleichung bestimmen?

  • Zunächst schauen wir uns an, ob die Parabel nach oben ($a>0$) oder unten ($a<0$) geöffnet ist. Das bedeutet, dass bei der grünen, roten und gelben Parabel $a$ positiv und bei der blauen negativ sein muss.
  • Dann schauen wir uns den Scheitelpunkt an. Liegt dieser auf der y-Achse, so ist $b=0$. Dies ist der Fall bei der grünen, der roten und der blauen Parabel. Bei der gelben Parabel ist $b\neq 0$.

  • Für den Scheitelpunkt $(0|0)$ gilt $f(x)=ax^2$. Für den Scheitelpunkt $(0|c)$ gilt $f(x)=ax^2+c$.

  Zuletzt betrachten wir die Weite der Parabelöffnung.

  • Wir starten mit der blauen Parabel: Es ist $a<0$ und $b=c=0$. Da der Punkt $(1|−1)$ auf der Parabel liegt, muss die zugehörige Gleichung $f(x)=-x^2$ lauten.
  • Von der grünen Parabel wissen wir bereits $a>0$ und $b=c=0$. Nun schauen wir uns einen Punkt der Parabel an $(1|2)$. Dies gilt für $f(x)=2x^2$.
  • Kommen wir zu der gelben Parabel. Der Scheitelpunkt liegt nicht auf der y-Achse, also ist $b\neq 0$. Auch hier schauen wir uns einen Punkt der Funktion an $(1|0)$. Dies bedeutet $f(1)=0$. Die zugehörige Funktion lautet somit $f(x) = x^2 − x$.
  • Zu guter Letzt bleibt noch die rote Parabel mit dem Scheitelpunkt $(0|2)$. Somit ist $a>0$, $b=0$ und $c=2$. Die einzige Funktion, die dies erfüllt, ist $f(x) = x^2 + 2$.

• Bestimme, welche Graphen zu den Funktionsgleichungen passen.

  Tipps

  Für $a<0$ ist die Parabel nach unten geöffnet.

  Achte auf den Scheitelpunkt. Liegt dieser auf der y-Achse, so ist $b=0$.

  Du kannst dir auch jeweils Punkte anschauen, die auf der Parabel liegen. Wenn du die x-Koordinate in die Funktionsgleichung einsetzt, musst du die y-Koordinate des Punktes erhalten.

  Lösung

  Zwei der Parabeln haben einen Scheitelpunkt, der auf der y-Achse liegt. Das bedeutet $b=0$. Dies sind die blaue und die graue Parabel. Die entsprechenden Gleichungen sind $f(x)=ax^2+c$. Bei der grauen Parabel ist $c=1$ und $a=-1$ und bei der blauen ist $c=2$ und $a=1$.

  • Die graue Parabel hat die Gleichung $f(x)=-x^2+1$.
  • Die blaue Parabel hat die Gleichung $f(x)=x^2+2$.

  Die grüne und die pinke Parabel sind nach oben geöffnet, also $a>0$. Bei beiden Parabeln liegt der Scheitelpunkt auf der x-Achse und für beide gilt $a=1$. Dies kann man erkennen, wenn man von dem Scheitelpunkt eine Einheit nach rechts und eine nach oben geht. Man gelangt so zu einem Punkt der Parabel.

  • Bei der grünen Parabel ist die x-Koordinate des Scheitelpunktes $x=-2$. Damit lautet die Gleichung $f(x)=(x+2)^2=x^2+4x+4$.
  • Bei der violetten Parabel mit $x=2$ erhalten wir $f(x)=(x-2)^2=x^2-4x+4$.

  Es bleiben noch zwei Parabeln übrig. Bei der gelben Parabel gilt $a=-1$, da sie nach unten geöffnet ist, und bei der roten gilt $a=1$.

  • Die rote Parabel hat den Scheitelpunkt $(-4|2)$. Damit ist $f(x)=(x+4)^2 +2=x^2 +8x+16+2=x^2 +8x+18$.
  • Auf die gleiche Art kann die Gleichung der nach unten geöffneten gelben Parabel bestimmt werden. Der Scheitelpunkt lautet hier $(3|3)$. Dies führt zu $f(x)=−(x−3)^2 +3=−x^2 +6x−9+3=−x^2 +6x−6$.

  Wir können auch bei jeder Parabel Punkte überprüfen, die auf der Parabel liegen:

  Zum Beispiel für die gelbe Parabel $(2|2)$:

  $f(2)=−2^2 +6\cdot 2−6=−4+12−6=2$ ✓

• Gib an, welche Aussagen zu quadratischen Funktionen richtig sind.

  Tipps

  Hier siehst du einige Parabeln.

  Dies ist die Gleichung einer linearen Funktion. Deren Graph ist eine Gerade.

  Lösung

  Hier sind verschiedene Parabeln zu sehen. Jede dieser Parabeln ist der Graph einer quadratischen Funktion.

  $f(x)=ax^2+bx+c$

  Nur die Normalparabel hat die Form $f(x)=x^2$. Sie ist hier blau eingezeichnet.

  Eine Parabel kann nach oben geöffnet sein $(a>0)$ oder nach unten $(a<0)$.

  Der höchste Punkt einer nach oben geöffneten Parabel oder der tiefste einer nach unten geöffneten wird als Scheitelpunkt bezeichnet. Dieser kann der Koordinatenursprung sein, wie bei der blauen, der gelben und der blauen Parabel. Er kann aber auch in jedem anderen Punkt liegen. Zum Beispiel hat die violette Parabel den Scheitelpunkt im Punkt $(-3|1)$.

  Übrigens: Wo auch immer der Scheitelpunkt liegt: Die Gerade, die durch diesen Scheitelpunkt parallel zur y-Achse verläuft, ist die Symmetrieachse der Parabel.

• Berechne die Lage der Scheitelpunkte, wenn der Koeffizient $b$ verändert wird.

  Tipps

  Berechne zunächst die x-Koordinate des Scheitelpunktes $x=-\frac{b}{2a}$.

  Wenn du die x-Koordinate des Scheitelpunktes bereits kennst, setzt du diese in die Funktionsgleichung ein, um die y-Koordinate zu berechnen.

  Lass uns das folgende Beispiel anschauen:

  $f(x)=2x^2-2x+1$.

  Hier ist $x=-\frac{-2}{2\cdot 2}=\frac12$.

  Diese x-Koordinate wird in die Funktionsgleichung eingesetzt: $f\left(\frac12\right)=2\left(\frac12\right)^2-2\cdot \frac12+1=\frac12-1+1=\frac12$.

  Damit ist der Scheitelpunkt $\left(\frac12|\frac12\right)$.

  Lösung

  Die quadratische Funktionsgleichung lautet $f(x) = 2x^2 + bx + 1$. Hier ist also $a=2$ und $c=1$. Welchen Einfluss hat die Wahl von $b$ auf den Scheitelpunkt der Parabel, also auf die Position des Raumschiffs der Zwillinge?

  Der Scheitelpunkt ist der höchste oder tiefste Punkt der Parabel. Die x-Koordinate des Scheitelpunktes kannst du berechnen durch $x=-\frac{b}{2a}=-\frac b4$.

  Wenn $b=2$ ist:

  • $x=-\frac24=-\frac12$
  • Durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung gelangt man zu $f\left(-\frac12\right)=2\left(-\frac12\right)^2+2\cdot\left(-\frac12\right)+1=\frac12-1+1=\frac12$.
  • Die Koordinaten sind hier also $\left(-\frac12|\frac12\right)$.

  Wenn $b=4$ ist:

  • $x=-\frac44=-1$
  • Durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung gelangt man zu $f\left(-1\right)=2\left(-1\right)^2+4\cdot\left(-1\right)+1=2-4+1=-1$.
  • Die Koordinaten sind hier also $\left(-1|-1\right)$.

  Wenn $b=-4$ ist:

  • $x=-\frac{-4}4=1$
  • Durch Einsetzen der x-Koordinate in die Funktionsgleichung gelangt man zu $f\left(1\right)=2\cdot 1^2-4\cdot1+1=2-4+1=-1$.
  • Die Koordinaten sind hier also $\left(1|-1\right)$.