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Gleichungssysteme graphisch lösen 04:18 min

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Transkript Gleichungssysteme graphisch lösen

Rotkäppchen und der böse, böse Wolf laufen durch den Wald. Um herauszufinden, ob und wo sie sich treffen, können wir ein Gleichungssystem graphisch lösen. Dies ist eine Karte des Waldes. Rotkäppchen läuft hier los und geht in diese Richtung. Der Wolf startet hier und läuft dort entlang. Offenbar werden sie sich irgendwann treffen. Schauen wir uns das aber mal etwas genauer an. Wie du siehst, sieht die Karte wie ein kartesisches Koordinatensystem aus. Rotkäppchen läuft entlang der Geraden 2y - 4 = x. Auch der Wolf läuft entlang einer Geraden: y = 2x - 10. Den Weg des Wolfs können wir leicht zeichnen, denn die Gleichung steht in der Normalform. Lass uns Rotkäppchens Gleichung auch entsprechend umstellen. Die Normalform lautet: y = mx + b. Um die Gleichung in diese Form zu bringen, addierst du als erstes 4 zu beiden Seiten. Nun hast du 2y = x + 4. Das ist schon fast die Normalform. Du musst nur die 2 vor dem y entfernen. Dafür teilst du beide Seiten durch 2. So erhältst du y = 1/2 x + 2. Die Gleichung steht jetzt in der Normalform. Zeichnen wir die Geraden. Rotkäppchens Weg verläuft bei y = 1/2 x + 2. Die Steigung ist also 1/2 und der y-Achsenabschnitt liegt bei y=2. Zeichnen wir ihn dort ein. Um die Steigung von 1/2 einzuzeichnen, gehst du halb so viele Einheiten nach oben wie nach rechts. Der Weg des Wolfs verläuft bei y = 2x - 10. Die Steigung beträgt also 2 und der y-Achsenabschnitt liegt bei y= -10. Das ist im Koordinatensystem nicht zu sehen, darum wählen wir einen anderen Punkt . Wenn du für x 5 einsetzt, erhältst du y=0 und kannst den Punkt (5|0) einzeichnen. Die Steigung ist 2, also gehst du doppelt so viele Einheiten nach oben wie nach rechts. Die Geraden schneiden sich am Punkt (8|6). Ob sich Rotkäppchen und der Wolf treffen, hängt allerdings von ihrer jeweiligen Geschwindigkeit ab. Stell dir vor, der Weg des Wolfs wäre y =x/2 + 3 beschreiben. Könnten sie sich dann treffen? Lass uns das zeichnen. Der y-Achsenabschnitt liegt bei y=3. Davon gehen wir halb so viele Einheiten nach oben wie nach rechts, denn x/2 kann man auch als 1/2 x schreiben. Die Geraden haben die gleiche Steigung, aber einen unterschiedlichen y-Achsenabschnitt. In so einem Fall sind sie immer parallel zueinander, also werden sie sich die beiden niemals treffen. Stell dir vor, der Wolf geht entlang der Geraden y = 2x/4 + 4/2. Treffen sie sich dann? Der y-Achsenabschnitt liegt bei y=4/2, das ist 2. Davon aus gehen wir halb so viele Einheiten nach oben wie nach rechts. Wenn du hier umschreibst und kürzt, siehst du: Beide Steigungen und auch die y-Achsenabschnitte sind gleich. In solchen Fällen sind die Geraden immer identisch. Es gibt also unendlich viele mögliche Treffpunkte. Gehen wir zurück an den Anfang. Rotkäppchen und der böse Wolf laufen beide auf den Schnittpunkt zu. Als Rotkäppchen den Wolf sieht, erschrickt sie für einen kurzen Moment. Puh! Es ist nur Jan, der zur selben Halloween-Party geht! Und so laufen sie nun auf identischen Wegen...

5 Kommentare
  1. gut erklärt

    Von Cdk 100, vor etwa einem Monat
  2. POMMES!

    Von Markusjonas87, vor etwa einem Monat
  3. Eigentlich hab ich das noch nicht gelernt, aber ich hab alles ohne gigantus problemus verstanden.
    Nice Digitalteam!

    Von Yiren Y., vor 3 Monaten
  4. auf jeden fall hilfreich

    Von J.Kamali, vor 10 Monaten
  5. tolles video

    Von Moustafa E., vor 11 Monaten

Gleichungssysteme graphisch lösen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Gleichungssysteme graphisch lösen kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Normalform der gegebenen Geradengleichungen an.

    Tipps

    Die Normalform einer Geradengleichung ist nichts anderes als die nach $y$ aufgelöste Geradengleichung.

    Die Normalform sieht immer folgendermaßen aus:

    • $y = m\cdot x + b$
    Dabei ist $m$ die Steigung der Geraden und $b$ der $y$-Achsenabschnitt.

    So sieht es aus, wenn wir eine andere Geradengleichung auf Normalform bringen:

    $\begin{array}{rllll} 3y-2 &=& 3x && \vert +2 \\ 3y &=& 3x+2 & &\vert :3 \\ y &=& x+\dfrac{2}{3} && \end{array}$

    Lösung

    Die Normalform einer Geradengleichung lautet:

    • $y = m\cdot x + b$
    Die Gleichung $2y-4=x$ können wir in zwei Schritten nach $y$ auflösen.

    Als Erstes wollen wir alle Summanden auf der linken Seite der Gleichung, in denen $y$ nicht vorkommt, auf die rechte Seite bringen. In diesem Fall steht auf der linken Seite $2y-4$, also addieren wir zu beiden Seiten $4$ hinzu. Wir erhalten aus der ursprünglichen Gleichung:

    $\begin{array}{llll} 2y-4 &=& x &\vert +4 \\ 2y &=& x+4 &\\ \end{array}$

    Im zweiten Schritt suchen wir denjenigen Faktor, durch den wir beide Seiten der Gleichung teilen, sodass auf der linken Seite nur noch $y$ steht. Bei dieser Gleichung teilen wir also durch $2$ und erhalten folgende Lösung:

    $\begin{array}{llll} 2y &=& x+4 & \vert :2 \\ y &=& \frac{1}{2}x+2 & \\ \end{array}$

  • Gib die Bezeichnungen für die Größen $m$ und $b$ an.

    Tipps

    Ein Beispiel: Die Gerade $y = 4x+3$ ist steiler, hat also eine größere Steigung als die Gerade $y = 2x+3$.

    Noch ein Beispiel: Die Gerade $y = 2x+5$ schneidet die $y$-Achse weiter oben, hat also einen größeren $y$-Achsenabschnitt als die Gerade $y = 2x+3$.

    Lösung

    Eine Geradengleichung in Normalform hat zwei Parameter, durch die sie eindeutig definiert ist: die Steigung $m$ und der $y$-Achsenabschnitt $b$. In der Formel ist also das $m$ mit Steigung und das $b$ mit $y$-Achsenabschnitt zu beschriften; alle anderen Begriffe sind hier Unfug.

    Eine Gerade ist durch die Angabe der Steigung und des $y$-Achsenabschnittes eindeutig festgelegt. Es können also nicht zwei Geraden die gleichen Werte für $m$ und $b$ besitzen und dann unterschiedlich aussehen, wenn wir sie einzeichnen. Umgekehrt müssen zwei Geraden, die nicht die gleichen Werte für $m$ und $b$ besitzen, in jedem Fall verschieden aussehen! Beachte hierbei: Ausschlaggebend sind die Werte von $m$ und $b$ und nicht, wie diese Werte dargestellt sind. So beschreiben folgende Gleichungen dieselbe Gerade, obwohl sie auf den ersten Blick unterschiedlich aussehen:

    $y = 3x+\dfrac{1}{2}\quad$ und $\quad y = \dfrac{6x}{2}+\dfrac{5}{10}$

    Denke dir selbst einige Geradengleichungen mit verschiedenen Werten für $m$ und $b$ aus und zeichne sie in ein Koordinatensystem ein. So bekommst du ein Gefühl dafür, wie Geraden mit bestimmten Steigungen oder $y$-Achsenabschnitten aussehen. Wann sind Geraden flacher, wann steiler? Wie sehen Geraden mit einer negativen Steigung oder einem negativen $y$-Achsenabschnitt aus?

  • Bestimme zeichnerisch, welchen Weg der Wolf nehmen muss, damit er Rotkäppchens Weg schneidet.

    Tipps

    Um die Steigungen der Geraden zu vergleichen, solltest du zunächst alle Brüche in den Geradengleichungen kürzen. Beispielsweise gilt:

    • $\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$

    Achte darauf, dass verschiedene Schreibweisen die gleiche Bedeutung haben können, zum Beispiel:

    • $\frac{x}{2}=\frac{1}{2}x$

    Geraden mit unterschiedlichen Steigungen schneiden sich immer in einem Punkt. Geraden mit gleicher Steigung können hingegen nur entweder parallel oder identisch sein.

    Lösung

    Sehen wir uns die möglichen Wege des Wolfes der Reihe nach an. Wir vergleichen diese mit der Geradengleichung, welche Rotkäppchens Weg beschreibt. Diese lautet:

    $y = \dfrac{1}{2}x+2$

    Vergewissere dich als Erstes, dass hier alle Geraden in Normalform stehen!

    Rotkäppchens Weg: $y = \dfrac{1}{2}x+2$

    Wir betrachten erst einmal Rotkäppchens Weg. Dazu zeichnen wir den Punkt $(0\vert 2)$ ein, der durch den $y$-Achsenabschnitt gegeben ist. Da eine Steigung von $\frac 12$ gegeben ist, gehen wir von hier aus zwei Einheiten nach rechts und eine Einheit nach oben. Damit erhalten wir den Punkt $(2\vert 3)$ und können durch die beiden Punkte unsere Gerade ziehen. Damit vergleichen wir jetzt die verschiedenen möglichen Wege des Wolfes.

    Erster Weg: $y = 2x-10$

    Diese Gerade hat die Steigung $2$ und den $y$-Achsenabschnitt $-10$. Damit unser Koordinatensystem nicht ins Negative reichen muss, zeichnen wir nicht den $y$-Achsenabschnitt ein, sondern behelfen uns dadurch, dass wir $x=5$ einsetzen. Wir erhalten:

    $y = 2\cdot5-10 = 0$.

    Also können wir den Punkt $(5\vert 0)$ einzeichnen.

    Um die Steigung $2$ zu erhalten, gehen wir von diesem Punkt aus eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben. Wir können also noch den Punkt $(6\vert 2)$ einzeichnen und dann durch diese beiden Punkte eine Gerade ziehen.

    Wenn wir gut gezeichnet haben, dann treffen sich die beiden Geraden im Punkt $(8\vert 6)$. Wir können das überprüfen, indem wir den $x$-Wert in die beiden Geradengleichungen einsetzen. In beiden Fällen erhalten wir den Funktionswert $6$.

    Zweiter Weg: $y=\dfrac{x}{2}+3$

    Wenn wir uns die Steigungen der beiden Geraden ansehen, dann merken wir:

    $\dfrac{x}{2}=\dfrac{1}{2}x$.

    Die Steigungen sind gleich, also können die Geraden nur entweder parallel oder identisch sein! Um herauszufinden, welches von beiden sie sind, sehen wir uns den $y$-Achsenabschnitt an. Hier haben wir $2$ beim Rotkäppchen und $3$ beim Wolf. Der Weg des Wolfes liegt also bei jedem $x$-Wert um eine $y$-Einheit über dem des Rotkäppchens. Demnach schneiden sich die Wege nie!

    Dritter Weg: $y = \dfrac{2x}{4}+\dfrac{4}{2}$

    Zuerst kürzen wir die Brüche in der Gleichung und erhalten:

    $y = \dfrac{x}{2}+2$.

    Doch das ist genau die Gleichung, die wir schon beim Rotkäppchen gesehen haben. Es ist nämlich $\frac{x}{2} = \frac{1}{2}x$. Ohne viel Zeichnen wissen wir also: Die beiden Geraden sind identisch.

    Vierter Weg: $y = \dfrac{1}{4}x+3$

    Hier sehen wir, dass sich sowohl die Steigungen als auch die $y$-Achsenabschnitte unterscheiden. Also zeichnen wir wieder als Erstes den $y$-Achsenabschnitt $(0\vert 3)$ ein. Da die Steigung $\frac{1}{4}$ ist, gehen wir um vier Einheiten nach rechts und um eine Einheit nach oben. Damit erhalten wir den Punkt $(4\vert 4)$ und können unsere Geraden durch die beiden Punkte einzeichnen. Aber wenn wir gut gezeichnet haben, bemerken wir schon vorher, dass der Punkt $(4\vert 4)$ auch auf dem Weg des Rotkäppchens liegt. Damit haben wir den Schnittpunkt also schon gefunden!

  • Untersuche, ob die Aussagen zu Geraden richtig sind.

    Tipps

    Zwei Geraden können immer nur

    1. identisch sein,
    2. parallel sein oder
    3. genau einen Schnittpunkt haben.

    Wenn du dir bei einer Antwort nicht sicher bist, zeichne selbst die entsprechenden Geraden oder stelle eine entsprechende Geradengleichung auf und überprüfe die Aussage grafisch oder rechnerisch.

    Lösung

    Richtig sind die folgenden drei Aussagen:

    „Zwei nicht identische Geraden, die beide den $y$-Achsenabschnitt $0$ haben, schneiden sich immer im Ursprung.“

    Suchen wir uns zwei beliebige Geraden mit $y$-Achsenabschnitt $0$ aus: $y_1=m_1x$ und $y_2=m_2x$. Im Allgemeinen ist die Steigung der beiden Geraden verschieden, also $m_1\neq m_2$. Da im Schnittpunkt aber $m_1x=m_2x$ gilt, muss $x=0$ gelten. Der Schnittpunkt ist in diesem Fall also immer $(0\vert 0)$.

    „Wenn zwei Geraden genau einen Schnittpunkt haben, dann liegt die Gerade mit der größeren Steigung rechts vom Schnittpunkt immer über der Geraden mit der geringeren Steigung.“

    Das ist richtig, da die Geraden mit der größeren Steigung immer steiler nach oben (bzw. weniger steil nach unten) verläuft als die mit der geringeren Steigung. Haben sie sich also einmal geschnitten, so liegt die Geraden mit der größeren Steigung rechts vom Schnittpunkt immer über der mit der geringeren. Beachte: Von zwei negativen Zahlen ist diejenige Zahl größer, die weiter rechts auf dem Zahlenstrahl liegt. Das bedeutet beispielsweise, dass die Steigung $-1$ größer ist als die Steigung $-5$.
    Wenn sich also zwei Geraden $y_1$ und $y_2$ mit den Steigungen $m_1=-\frac{1}{2}$ und $m_2=-3$ in einem Punkt schneiden, dann hat rechts dieses Punktes $y_1$ immer einen größeren Wert als $y_2$, da sie weniger steil abfällt. Vergleiche dazu auch die Graphen in der Abbildung.

    „Zwei Geraden, die nicht identisch und nicht parallel sind, können sich niemals in mehr als einem Punkt schneiden.“

    Da Geraden, wie der Name schon sagt, bis in alle Unendlichkeit immer gerade sind und keine Krümmung besitzen, können sie sich niemals „zueinander hin krümmen“. Haben sie sich also einmal geschnitten, so laufen sie vom Schnittpunkt aus in beide Richtungen für immer auseinander.

    Die anderen Aussagen müssen wir korrigieren:

    „Zwei Geraden mit gleicher Steigung sind immer identisch.“

    Sie können auch zueinander parallel sein! Zueinander parallele Geraden haben ebenfalls die gleiche Steigung.

    „Zwei nicht identische Geraden haben immer einen Schnittpunkt.“

    Auch hier gilt: Die Geraden können auch zueinander parallel sein! Zueinander parallele Geraden sind nicht identisch, haben aber auch keinen Schnittpunkt.

    „Zwei nicht identische Geraden mit gleichem $y$-Achsenabschnitt schneiden sich immer auf der $x$-Achse.“

    Hier müsste es $y$-Achse heißen. Dann wäre die Aussage richtig. Da die Geraden den gleichen $y$-Achsenabschnitt haben, können sie nicht parallel sein, denn sonst müssten sie die $y$-Achse in verschiedenen Höhen schneiden. Da sie nicht parallel sind und per Definition auch nicht identisch, müssen sie genau einen Schnittpunkt haben. Und weil ihr $y$-Achsenabschnitt gleich ist, sie also beide durch den Punkt $(0\vert b)$ verlaufen, wobei $b$ der $y$-Achsenabschnitt ist, muss dieser Punkt auch der Schnittpunkt sein.

  • Bestimme die Geradengleichungen der dargestellten Geraden in Normalform.

    Tipps

    Suche dir zwei Punkte auf der Gerade, deren Lage du möglichst genau am Gitter ablesen kannst. Gehe vom linken der beiden Punkte so weit nach rechts, bis du dich genau unter oder über dem rechten Punkt befindest. Gehe dann nach oben oder unten bis zu diesem Punkt.

    Zeichne den im ersten Tipp beschriebenen Weg auf. Aus dem entstandenen Steigungsdreieck kannst du die Steigung ablesen.

    Hast du das Steigungsdreieck gezeichnet, kannst du die Steigung folgendermaßen berechnen:

    $m = \dfrac{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{oben}}{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{rechts}}>0$

    oder

    $m = \dfrac{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{unten}}{\text{Anzahl der Kästchen nach }\mathbf{rechts}}<0$

    Wenn du beim Zeichnen nach oben gehen musstest, dann ist $m$ positiv, musstest du nach unten, ist $m$ negativ.

    Bist du dir nicht sicher, welches Vorzeichen die Steigung deiner Geraden hat? Dann stell dir vor, du läufst von links nach rechts auf der Geraden. Wenn du bergab gehst, dann ist die Steigung negativ. Gehst du bergauf, ist sie positiv.

    Der $y$-Achsenabschnitt entspricht in allen Graphen dem $y$-Wert des Schnittpunktes der Geraden mit der $y$-Achse. Eine Gerade, die die $y$-Achse im Punkt $(0\vert 5)$ schneidet, hat den $y$-Achsenabschnitt $5$.

    Lösung

    Grün: Diese Gerade verläuft als einzige durch den Ursprung $(0\vert 0)$. Der $y$-Achsenabschnitt muss also gleich null sein. Das ist nur bei der Gleichung $y = \frac{2x}{3}$ der Fall.

    Ist der $y$-Achsenabschnitt einer Geraden gleich $0$, wird er in der Geradengleichung weggelassen.

    Rot: Diese Gerade ist die einzige, auf der man bergab geht, wenn man von links nach rechts auf ihr entlangläuft. Sie muss also eine negative Steigung haben. Infrage kommt damit nur die Gleichung $y = -\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}$.

    Gelb: Diese Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\vert {-1})$, der $y$-Achsenabschnitt ist also $b = {-1}$. Eigentlich sind wir jetzt schon fertig, da nur eine Geradengleichung diesen $y$-Achsenabschnitt hat, aber wir überprüfen noch die Steigung: Wenn wir von $(0\vert{-1})$ eine Einheit nach rechts und eine nach oben gehen, landen wir wieder auf der Geraden; die Steigung ist also $m = 1$. Damit lautet die richtige Geradengleichung: $y = x-1$.

    Blau: Die Gerade schneidet die $y$-Achse im Punkt $(0\vert{-2})$, also wissen wir: $b = {-2}$. Wenn wir von diesem Punkt aus zwei Einheiten nach rechts und fünf nach oben gehen, landen wir wieder auf der Geraden. Daraus folgt $m=\frac{5}{2}$, und die Geradengleichung lautet: $y = \frac{5}{2}x-2$.

  • Bestimme zeichnerisch die Schnittpunkte der gegebenen Geraden.

    Tipps

    Die Normalform erhältst du, indem du die Geradengleichung nach $y$ umstellst. Beispiel:

    $\begin{array}{llll} 2y-4 &=& 3x & \vert +4 \\ 2y &=& 3x+4 & \vert :2 \\ y &=& \dfrac{3}{2}x+2 & \\ \end{array}$

    Hast du eine Gerade einmal in Normalform $y=mx+b$ gebracht, kannst du sie leicht zeichnen.

    Zeichne dafür zuerst den $y$-Achsenabschnitt gemäß dem erhaltenen Wert für $b$ ein. Von dort aus kannst du ein Steigungsdreieck gemäß dem Wert für $m$ zeichnen. Damit hast du zwei Punkte, durch die du die Gerade ziehen kannst.

    Lösung

    Zuerst bringen wir alle Gleichungen in die Normalform.

    Geradengleichung 1:

    $\begin{array}{llll} y_1-5 &=& 2x & \vert +5 \\ y_1 &=& 2x+5 & \\ \end{array}$

    Geradengleichung 2:

    $y_2 = -x+2$

    Dies ist bereits die Normalform.

    Geradengleichung 3:

    $\begin{array}{llll} 2y_3+4 &=& 2x & \vert -4 \\ 2y_3 &=& 2x-4 & \vert :2 \\ y_3 &=& x-2 & \\ \end{array}$

    Jetzt, da alle Gleichungen in Normalform vorliegen, können wir sie gut einzeichnen. Dafür zeichnen wir jeweils zuerst den $y$-Achsenabschnitt ein und von dort aus ein Steigungsdreieck.

    Für die erste Geradengleichung zeichnen wir den Punkt $(0\vert 5)$ ein (denn $b=5$) und gehen von diesem aus eine Einheit nach rechts und zwei Einheiten nach oben zu $(1\vert 7)$ (denn $m=2$). Durch diese zwei Punkte ziehen wir unsere Gerade, im Bild grün dargestellt.

    Für die zweite Geradengleichung zeichnen wir den Punkt $(0\vert 2)$ ein (denn $b=2$) und gehen von diesem aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach unten zu $(1\vert 1)$ (denn $m=-1$). Durch diese zwei Punkte ziehen wir unsere Gerade, im Bild rot dargestellt.

    Für die dritte Geradengleichung zeichnen wir den Punkt $(0\vert -2)$ ein (denn $b=-2$) und gehen von diesem aus eine Einheit nach rechts und eine Einheit nach oben zu $(1\vert -1)$ (denn $m=1$). Durch diese zwei Punkte ziehen wir erneut unsere Gerade, im Bild blau dargestellt.

    Nun sehen wir die Schnittpunkte. Die Lösungsmengen lauten:

    $\mathbb{L}$ von $y_1=y_2$: $(-1\vert 3)$

    $\mathbb{L}$ von $y_1=y_3$: $(-7\vert -9)$

    $\mathbb{L}$ von $y_2=y_3$: $(2\vert 0)$