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Geradengleichungen in Parameterform im Raum

Geradengleichungen in Parameterform verwenden Stütz- und Richtungsvektor zur Linienbeschreibung im Raum. Die Parametrisierung bietet Flexibilität bei Punktdefinition und Prüfung. Du lernst, wie Vektoren arithmetisch die Linienführung beeinflussen und Identität von Geraden über Richtungsvektoren bestimmt wird. Interessiert? Mehr dazu im Text!

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Lerntext zum Thema Geradengleichungen in Parameterform im Raum

Wozu braucht man eine Geradengleichung in Parameterform?

Eine Gerade ist eine unendlich ausgedehnte Strecke und kann durch ${y=m\cdot x + b}$ beschrieben werden. In der analytischen Geometrie verwendet man allerdings eine andere Darstellung der Geraden, die mit Vektoren und einem Parameter aufgestellt wird. Den Aufbau dieser sogenannten Parameterform der Geraden lernst du im folgenden Lerntext kennen. Mit der Parameterform kannst du Geraden auch im dreidimensionalen Raum darstellen und verschiedene Probleme lösen, wie z. B. Schnittpunkte und Schnittwinkel zu berechnen.

Die Parameterform der Geraden in der Ebene

Wir betrachten zunächst eine Gerade $g$ im zweidimensionalen Koordinatensystem. Eine Gerade ist eindeutig definiert durch zwei Punkte. Wir verwenden als Beispiel die beiden Punkte $A(1\vert 2)$ und $B(4\vert 3)$. Zuerst berechnen wir den Verbindungsvektor

$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}= \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Richtungsvektor der Geradengleichung

Es ist ersichtlich, dass dieser Vektor parallel zur Geraden $g$ ist. Wir nennen ihn Richtungsvektor $\vec v$:

$\vec v=\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$

Als Nächstes benötigen wir einen Punkt, der auf der Geraden liegt, wir nennen diesen Stützpunkt oder Aufpunkt. Für unser Beispiel verwenden wir den Punkt $A$, bestimmen dessen Ortsvektor und nennen diesen Stützvektor $\vec u$:

$\vec u=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$

Mit der Vektoraddition können wir rechnerisch und zeichnerisch die Summe aus $\vec u$ und $\vec v$ bestimmen und erhalten den Ortsvektor von $B$:

$\vec u+ \vec v= \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=\overrightarrow{OB}$

Ortsvektoren der Geradengleichung

Somit können wir den Punkt $B$ erreichen, indem wir vom Ursprung zum Stützpunkt und anschließend entlang des Richtungsvektors „laufen“. Dieser Gedanke ist wichtig für die Vorstellung, wie sich die Gerade durch den Stütz- und Richtungsvektor aufbaut. Um nicht nur Punkt $B$, sondern alle Punkte auf der Geraden erreichen zu können, müssen wir noch eine Änderung vornehmen: Wenn wir nun den Richtungsvektor skalar multiplizieren, verändert sich dessen Länge bzw. Richtung, aber er bleibt parallel zur Geraden.

Wir bilden für zwei Beispiele das Vielfache des Richtungsvektors und addieren diesen zum Stützvektor. Die Summe bilden wir wieder rechnerisch und zeichnerisch und stellen fest, dass das Ergebnis jeweils der Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden ist:

  • Beispiel 1 (lila)

$\vec u + 0,5 \cdot \vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+0,5 \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2,5 \\ 2,5 \end{pmatrix}$

  • Beispiel 2 (orange)

$\vec u + (-1) \cdot \vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+(-1) \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

Skalare Multiplikation bei Geradengleichung in Parameterform

Damit wird anschaulich, dass wir für beliebige Zahlen $r$, die wir in die Gleichung

$\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix}$

einsetzen, als Ergebnis den Ortsvektor zu einem Punkt auf der Geraden erhalten.

Da auch die Umkehrung gilt, schreiben wir als Geradengleichung:

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 3\\ 1 \end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Alle Vektoren $\vec x$, für die die rechte Seite der Gleichung erfüllt ist, sind Ortsvektoren zu einem Punkt auf der Geraden.

Die Parameterdarstellung der Geraden lautet:

$g: \vec x= \vec u+r\cdot \vec v \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Dabei ist

  • $\vec u$ der Stützvektor,
  • $\vec v$ der Richtungsvektor,
  • $r$ der Parameter und
  • $\vec x$ Ortsvektor zu einem Punkt auf $g$.

Die Parameterform im Raum

Die Parameterform im Raum hat den gleichen Aufbau wie jene in der Ebene, allerdings haben Stütz- und Richtungsvektor jeweils drei Koordinaten. Wir bearbeiten typische Aufgabenstellungen für die Parameterform im Raum.

Punkte angeben und Punktprobe durchführen

Wir betrachten als Beispiel die Parameterform:

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Wie kann man Punkte angeben, die auf der Geraden liegen?

Setze einen Wert für $r$ ein und berechne.

  • Beispiel 1

$r = 3 \implies \vec x_P = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+2 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 5\\ 0 \\ 13 \end{pmatrix}$

$P(5\vert 0\vert 13)$ ist ein Punkt auf $g$.

  • Beispiel 2

$r=0 \implies \vec x_Q = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+0 \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1\\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}$

$Q(1\vert 2\vert 3)$ ist ein Punkt auf $g$.

Wie kann man prüfen, ob ein gegebener Punkt auf der Geraden liegt (Punktprobe durchführen)?

Setze die Koordinaten bei $\vec x$ ein und prüfe komponentenweise, ob die Gleichung erfüllt ist.

  • Beispiel 1

Liegt $S(3 \vert 1\vert 8)$ auf $g$? Betrachte die Gleichung:

$\begin{pmatrix} 3\\ 1 \\ 8 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} $

Wir prüfen die Vektorgleichung komponentenweise, betrachten also die drei Gleichungen:

$ \begin{array}{lrcl} \text{I}&3 &=& 1 + r\cdot 2\\ \text{II}& 1 &=& 2+r \cdot ({-}1)\\ \text{III}& 8 & = & 3+r\cdot 5 \end{array}$

In allen drei Gleichungen ergibt sich der gleiche Wert für den Parameter, nämlich $r=1$, damit ist die Vektorgleichung erfüllt und $S$ liegt auf $g$.

  • Beispiel 2

Liegt $T(-1 \vert 3\vert -7)$ auf $g$? Betrachte die Gleichung:

$\begin{pmatrix} -1\\ 3 \\ -7 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix} $

Wir prüfen die Vektorgleichung komponentenweise, betrachten also die drei Gleichungen:

$ \begin{array}{lrcl} \text{I}&-1 &=& 1 + r\cdot 2\\ \text{II}& 3 &=& 2+r \cdot ({-}1)\\ \text{III}& -7 & = & 3+r\cdot 5 \end{array}$

Für die ersten beiden Gleichungen ist $r=-1$ und für die dritte Gleichung ist $r=-2$. Es kann nicht ein $r$ für alle drei Gleichungen gefunden werden, damit liegt $T$ nicht auf $g$.

Geradengleichungen aufstellen

Es sind zwei Punkte $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$ gegeben, durch die eine Gerade verläuft. Stelle die Geradengleichung in Parameterform auf!

Wir benötigen einen Richtungsvektor, dazu können wir den Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$ oder dessen Gegenvektor $\overrightarrow{BA}$ oder ein beliebiges anderes Vielfaches von $\overrightarrow{AB}$ verwenden.

→ Es gibt unendlich viele verschiedene Richtungsvektoren für eine Gerade!

Beispiele für $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$:

$\vec v = \begin{pmatrix} -5 \\ 3 \\3 \end{pmatrix}, \vec v = \begin{pmatrix} -50 \\ 30 \\30 \end{pmatrix} \text{ oder } \vec v = \begin{pmatrix} 5 \\ {-}3 \\{-}3 \end{pmatrix}$

Außerdem benötigen wir einen Stützvektor, also den Ortsvektor zu einem Punkt auf $g$. Dazu können wir den Ortsvektor zu $A$ oder zu $B$ oder zu einem beliebigen weiteren Punkt auf $g$ verwenden.

→ Es gibt unendlich viele verschiedene Stützvektoren für eine Gerade!

Beispiele für $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$:

$\vec u = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}, \vec u= \begin{pmatrix}-4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix} \text{ oder } \vec u = \begin{pmatrix} -9\\ 8 \\9 \end{pmatrix}$

Falls man nicht einen der gegebenen Punkte $A$ oder $B$ für den Stützvektor verwenden möchte, erhält man einen beliebigen weiteren Punkt auf der Geraden durch Einsetzen eines Werts für $r$ in der Geradengleichung.

Die Parameterdarstellung der Geraden ist nicht eindeutig. Es gibt unendlich viele verschiedene Darstellungen von derselben Geraden.

Mögliche Lösungen für $A(1 \vert 2\vert 3)$ und $B(-4 \vert 5\vert 6)$:

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\3 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -5\\ 3 \\ 3\end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

$g:\vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 5 \\6 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} -15\\ 9 \\ 9\end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

$g:\vec x = \begin{pmatrix} -9 \\ 8 \\9 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 5\\ -3 \\ -3\end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

Vertiefung: Identität von zwei Geraden prüfen

Da es unendlich viele Möglichkeiten zur Darstellung einer Geraden gibt, muss man bei zwei gegebenen Parameterformen prüfen können, ob diese dieselbe Gerade darstellen, also identisch sind.

Beispiel 1

Stellen

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

und

$h:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -4\end{pmatrix} $

dieselbe Gerade dar?

Die Richtungsvektoren sind kollinear, da der Richtungsvektor von $h$ das Doppelte des Richtungsvektors von $g$ ist (Multiplikation mit $2$). Damit sind die Geraden mindestens parallel. Außerdem liegt der Stützpunkt $(2\vert 3\vert 2)$ von $h$ auf $g$ (Punktprobe), denn die entsprechende Gleichung

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

ist erfüllt für $r=1$.

→ $g$ und $h$ sind identisch.

Beispiel 2

Stellen

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

und

$h:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\2 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} 6\\ 3 \\ -7\end{pmatrix} $

dieselbe Gerade dar?

Die Richtungsvektoren sind nicht kollinear, da die Richtungsvektoren nicht Vielfache voneinander sind. Die Vektorgleichung

$\begin{pmatrix} 6\\ 3 \\ -7\end{pmatrix} =r\cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

führt auf die Gleichungen:

$ \begin{array}{lrcl} \text{I}&6 &=& r\cdot 2\\ \text{II}& 3 &=& r \cdot 1\\ \text{III}& -7 & = & r\cdot (-2) \end{array}$

In den ersten beiden Gleichungen ist $r=3$ und in der dritten gilt $r=3,5$. Wenn die Richtungsvektoren nicht kollinear sind, sind die Geraden nicht parallel und können daher auch nicht identisch sein.

→ $g$ und $h$ stellen nicht dieselbe Gerade dar.

Beispiel 3

Stellen

$g:\vec x = \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

und

$h:\vec x = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\5 \end{pmatrix}+t \cdot \begin{pmatrix} -2\\ -1 \\ 2\end{pmatrix} $

dieselbe Gerade dar?

Die Richtungsvektoren sind kollinear, da der Richtungsvektor von $g$ der Gegenvektor des Richtungsvektors von $h$ ist. Die Geraden sind parallel. Allerdings liegt der Stützpunkt $(2\vert 3\vert 5)$ von $h$ nicht auf $g$, denn für die Gleichung

$\begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 0 \\ 2 \\4 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 2\\ 1 \\ -2\end{pmatrix}$

kann nicht ein $r$ für alle drei Gleichungen (bei komponentenweiser Betrachtung) gefunden werden. Damit sind die Geraden nicht identisch.

→ $g$ und $h$ stellen nicht dieselbe Gerade dar (sie sind echt parallel).

Neben identisch gibt es noch drei weitere Fälle für die gegenseitige Lage von Geraden. Wenn du mehr darüber erfahren möchtest, schau dir das Video zur Lagebeziehung von Geraden an.

Geradengleichungen in Parameterform im Raum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Lerntext Geradengleichungen in Parameterform im Raum kannst du es wiederholen und üben.
  • Benenne die Bestandteile einer Parameterform.

    Tipps

    Bei der skalaren Multiplikation $r\cdot \vec v$ ändert sich nur die Länge des Vektors $\vec v$. Die Richtung von $r\cdot \vec v$ ist parallel zu $\vec v$.

    Lösung

    Die Parameterdarstellung einer Gerade lautet:

    $g: \vec x= \vec u+r\cdot \vec v \text{ mit } r \in \mathbb{R}$

    $\vec v$ ist der Richtungsvektor der Geraden und kann bestimmt werden, in dem der Verbindungsvektor zwischen zwei Punkten berechnet wird.

    $\vec u$ ist der Stützvektor der Geraden und kann bestimmt werden, indem der Ortsvektor zu einem bekannten Punkt auf der Geraden gebildet wird.

  • Bestimme die Geradengleichung.

    Tipps

    Der Stützvektor ist hier der Ortsvektor von $A$.

    Der Richtungsvektor ist hier der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$.

    Lösung

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor von $A$, also

    $\vec u = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\-7 \end{pmatrix}.$

    Der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor $\overrightarrow{AB}$, also

    $\vec v = \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\-3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\-7 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ 3\\4 \end{pmatrix}.$

    Damit ergibt sich die Paramterform

    $g:\vec x = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\-7 \end{pmatrix}+r \cdot \begin{pmatrix} 1\\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} \text{ mit } r \in \mathbb{R}$.

  • Bestimme Punkte auf einer Geraden.

    Tipps

    Setzte die Ortsvektoren der jeweiligen Punkte in die Geradengleichung für $\vec{x}$ ein, um zu überprüfen, ob es ein $t$ gibt, das die Gleichung für alle drei Vektorkoordinaten erfüllt.

    Drei von den gegebenen Punkten liegen auf der Geraden.

    Lösung

    Wir setzen die entsprechenden Ortsvektoren der Punkte für $\vec{x}$ in die Geradengleichung ein und prüfen, ob die Gleichung erfüllt ist (ein $t$ für alle drei Vektorkoordinaten).

    Für Punkt $A$ ergibt sich $\begin{pmatrix} 3\\ -1 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$

    Die Gleichung ist erfüllt für $t=1$. $A$ liegt auf $g$.

    Für Punkt $B$ ergibt sich $\begin{pmatrix} -1\\ -3 \\ 2 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$

    Es gibt kein $t$, welches die Vektorgleichung erfüllt. Für die ersten beiden Koordinaten ergibt sich $t=-1$, dieses gilt aber nicht für die dritte Koordinate, denn $3+(-1)\cdot(-1)=4$. Also liegt $B$ nicht auf $g$.

    Für Punkt $C$ ergibt sich $\begin{pmatrix} 1\\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$

    Die Gleichung ist erfüllt für $t=0$. $C$ liegt auf $g$.

    Für Punkt $D$ ergibt sich $\begin{pmatrix} 5\\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}.$

    Die Gleichung ist erfüllt für $t=2$. $D$ liegt auf $g$.

  • Berechne einen bestimmten Punkt auf der Geraden.

    Tipps

    Wenn ein Punkt in der $xz$-Ebene liegt, muss die $y$-Komponente $0$ sein.

    Aus $y=0$ kannst du die Gleichung $0=6+t\cdot (-3)$ bilden und daraus $t$ berechnen.

    Lösung

    Da der Punkt in der $xz$-Ebene liegt, gilt $y=0$ und damit $0=6+t\cdot (-3)$.

    Also ist $t=2$. Setze in die Geradengleichung ein, um die übrigen Komponenten zu berechnen:

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} + 2 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -3 \\ 5 \end{pmatrix}= \begin{pmatrix} 1 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 10 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 17 \end{pmatrix}$

    Also lautet der Punkt, der in der $xz$-Ebene und auf der Geraden $g$ liegt, $P(5\vert 0\vert 17)$.

  • Berechne einen Punkt auf der Geraden.

    Tipps

    Berechne für die erste Komponente $3+3\cdot (-2)=3+(-6)$.

    Lösung

    Setze $t=3$ in die Geradengleichung ein und rechne aus:

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + 3 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ 3 \\ 12 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ 11 \end{pmatrix}$

    Für $t=3$ ergibt sich der Punkt $P(-3\vert 3\vert 11)$ auf der Geraden.

  • Finde identische Geraden.

    Tipps

    Vergleiche zunächst die Richtungsvektoren, um zu prüfen, welche Geraden parallel sind. Das ist dann der Fall, wenn die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

    Betrachte dann die Stützvektoren, um zu schauen, welche Geraden identisch sind. Wenn die Richtungsvektoren zweier Geraden Vielfache voneinander sind, sind sie genau dann identisch, wenn der Stützvektor der einen Gerade die Gleichung der anderen Gerade mit einem geeigneten $t$ für alle Vektorkoordinaten erfüllt, wenn er in diese eingesetzt wird.

    Lösung

    1. Paar:

    $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ -2 \end{pmatrix}$ sind identisch, da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander (Faktor $2$) und die Stützvektoren identisch sind .

    2.Paar:

    $\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 5 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\vec{x} = \begin{pmatrix} 6 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -6 \\ -3 \\ 3 \end{pmatrix}$ sind identisch, da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (Faktor $3$) und der Punkt $P(6\vert 4\vert 4)$ auf der linken Geraden liegt (für $t=1$).

    $Hinweis:$ Die Richtungsvektoren sind auch Vielfache der Richtungsvektoren des 1. Paares, aber da $(4\vert 3\vert 5)$ bzw. $(6\vert 4\vert 4)$ nicht auf den Geraden des 1. Paares liegen, sind das 1. und 2. Paar nicht identisch, sondern echt parallel.

    3. Paar:

    $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 6 \\ -2 \\ 8 \end{pmatrix}$ und $\vec{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 4 \end{pmatrix}$ sind identisch, da die Richtungsvektoren Vielfache sind und die Stützvektoren identisch.

    $Hinweis$: Die Stützvektoren sind auch identisch zu denen des 1. Paares, aber da die Richtungsvektoren unterschiedlich sind, sind die Geraden des 1. und 3. Paares nicht identisch (und auch nicht parallel).

    4. Paar:

    $\vec{x} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} 4\\ 2 \\ -10 \end{pmatrix}$ und $\vec{x} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \\ 11 \end{pmatrix} + t \cdot \begin{pmatrix} -2\\ -1 \\ 5 \end{pmatrix}$ sind identisch, da die Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind (Faktor $-2$) und da $P(-4\vert -2\vert 11)$ auf der linken Geraden liegt (für $t=-1$)

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Geradengleichungen in Parameterform im Raum
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse