Gegenseitige Lage Gerade-Gerade
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Grundlagen zum Thema Gegenseitige Lage Gerade-Gerade
Parallel, Windschief, Schnittpunkt und Identisch. Das sind Begriffe, die du bestimmt schon aus dem Alltag kennst. Diese vier Begriffe sind exakt die vier Fälle, wie zwei Geraden im Raum, also im R³ zueinander liegen können. Ich zeige dir ein allgemeines Lösungsverfahren, wie du herausbekommst, wie zwei Geraden zueinander liegen. Dafür solltest du wissen, wann zwei Vektoren linear abhängig bzw. unabhängig sind und (wie bei vielen Rechnungen in der analytischen Geometrie) wie man lineare Gleichungssysteme löst. In nur zwei Schritten gelangst du dadurch schnell und zielsicher auf dein Ergebnis. Ich werde danach mit dir zusammen das Verfahren an einem Beispiel anwenden. Dann weißt du, ob die zwei vorgegebenen Geraden parallel, windschief oder identisch sind oder sich schneiden. Viel Spaß beim Schauen!
Transkript Gegenseitige Lage Gerade-Gerade
Hallo. Ich bin Guliano. Und ich möchte dir heute erklären, wie zwei Geraden zueinander liegen können. Zuerst werde ich dir eine Übersicht geben, wie man allgemein vorgeht, wenn man die gegenseitige Lage von zwei Geraden untersuchen möchte. Und als Zweites werde ich mir dir zusammen ein Beispiel durchrechnen, wo wir dieses Verfahren einmal üben werden. Wir nehmen zwei allgemeine Geraden der Form in Parameterform, die Gerade g: x = p + t×u und die allgemeine Gerade h: x = q + s×v. Als Allererstes schauen wir uns die Richtungsvektoren u und v an und untersuchen die beiden auf lineare Unabhängigkeit. Es gibt zwei Möglichkeiten. Also hier haben wir die erste Möglichkeit u und v sind linear unabhängig. Das schreibe ich einmal hierhin. Oder die beiden Vektoren sind linear abhängig. Das schreibe ich jetzt einmal hierhin h, u und v sind linearer abhängig. Nachdem ihr das herausgefunden habt, setzen wir diese beiden Parametergleichungen bzw. die beiden Geraden gleich. Das heißt g = h und es entsteht ein lineares Gleichungssystem. Das möchte ich jetzt hier einmal mit Lgs abkürzen. Und zwar p + t×u = q + s×v. Die beiden Unbekannten bei unserem Gleichungssystem sind die Parameter t und s. Und wenn wir zum Beispiel im Raum sind, das heißt im Dreidimensionalen, haben wir drei Gleichungen und zwei Variablen. Und das können wir eben lösen. Wenn man dieses Gleichungssystem, lineares Gleichungssystem, löst, gibt es, wenn die beiden Vektoren u und v linear unabhängig sind, zwei Möglichkeiten. Entweder gibt es keine Lösung für t und s oder es gibt eine Lösung genau für t und s; zum Beispiel s = 2 und t = 3. Das schreibe ich einmal hierhin, eine Lösung. So, wenn also u und v linear unabhängig sind und in diesem linearen Gleichungssystem keine Lösung existiert, dann sind diese beiden Geraden, du siehst das hier einmal im Schaubild, windschief. Das heißt, sie schneiden sich nicht. Wenn ich das einmal mit diesem Arm so vormachen kann. Meine beiden Arme schneiden sich eben nicht. Und die beiden Richtungsvektoren sind linear unabhängig. Wenn bei dem linearen Gleichungssystem eine Lösung rauskommt, erhalten wir einen Schnittpunkt. Das heißt, diese beiden Geraden g und h schneiden sich in einem Punkt, dem Schnittpunkt. Kommen wir jetzt zu dem Fall, wenn u und v linear abhängig sind. Dann machen wir genau dasselbe wie hier. Wir lösen das lineare Gleichungssystem. Das möchte ich hier mal schreiben, also g = h. Und wir lösen das lineare Gleichungssystem p + t×u = q + s×v. Und hier erhalten wir jetzt wieder zwei Möglichkeiten. Entweder dieses Gleichungssystem hat keine Lösung. Das schreibe ich auch einmal wieder hierhin, also entweder keine Lösung. Oder dieses Gleichungssystem hat unendlich viele Lösungen für s und t. Falls die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sind und in dem linearen Gleichungssystem keine Lösung existiert, dann sind diese beiden Geraden echt parallel zueinander. Hier einmal das passende Bild dazu. Falls u und v linear abhängig sind und in dem Gleichungssystem unendlich viele Lösungen existieren, dann sind diese beiden Geraden identisch. Das kann durchaus vorkommen, weil man ja quasi die Parameterform einer Geraden sehr unterschiedlich darstellen kann. Als Nächstes möchte ich mit dir einmal dieses Verfahren, was ich jetzt einmal hier erklärt habe, an einem Beispiel üben. Jetzt wollen wir ein Beispiel zusammen durchrechnen. Wir nehmen die beiden Geraden g mit folgender Parameterform. Vektor x = (-7, -3, 5) + t×(2, 1, -1). Und die Gerade h Vektor x = (6, -7, 11) + s×(-2,5, 4, -5). So, der erste Schritt, den wir machen, ist: wir gucken uns diese beiden Richtungsvektoren an und können dann schon verschiedene Fälle ausschließen. Hier siehst du jetzt einmal die vier Möglichkeiten. Einmal parallel, die beiden Geraden schneiden sich, identisch oder windschief. Also erster Schritt, den wir machen werden: wir gucken uns diese beiden Richtungsvektoren an und überprüfen sie auf lineare Unabhängigkeit. Das macht man ganz einfach so. Wir schreiben (2,1,-1) = r×(-2,5, 4, -5). Das ist ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen und lediglich einer Variable. Wenn in jeder Gleichung dasselbe r rauskommt, sind die beiden Vektoren linear abhängig. Wenn nicht, sind die beiden Vektoren linear unabhängig. Wenn wir das einmal auflösen, bekommen wir in der ersten Gleichung sozusagen 2 = -2,5 r. Das heißt, wir müssen 2 durch -2,5 teilen. Das ergibt -0,8. In der zweiten Gleichung ist r = 0,25. Und jetzt können wir schon aufhören, weil wir eben erkennen, dass hier zwei unterschiedliche r rauskommen. Das heißt, diese beiden Vektoren sind linear unabhängig. Also u und v sind linear unabhängig. Das heißt, wir können schon zwei Fälle automatisch rausstreichen. Das heißt, die beiden Geraden sind auf jeden Fall nicht parallel, das kann weg. Und die beiden Geraden sind auf jeden Fall nicht identisch. Das heißt, wir müssen jetzt nur noch überprüfen, ob die sich schneiden oder ob sie windschief sind. Das machen wir, indem wir die beiden Parametergleichungen gleichsetzen. Das heißt g = h. Und das geht dann wie folgt. Wir lösen ein Gleichungssystem mit drei Gleichungen. Die erste Gleichung lautet dann wie folgt -7 + 2t = 6 - 2,5s. Also ihr müsst einfach nur die oberste Zeile von g mit der obersten Zeile von h gleichsetzen. Das Gleiche machen wir jetzt für die zweite und dritte Gleichung bzw. zweite und dritte Zeile genauso. Das heißt -3 + t = -7 + 4s. Und die dritte Gleichung lautet 5 - t = 11 - 5s. So, wir müssen jetzt also dieses Gleichungssystem lösen. Und das könnt ihr auf unterschiedliche Weise machen. Ich addiere jetzt die zweite und dritte Gleichung. Wir wollen ja eben nach t und s diese Gleichung lösen. Wenn ich die beiden addiere, fällt hier das t weg. Das heißt, ich addiere die zweite und die dritte Gleichung. Dann kommt folgendes heraus -3 + 5 = 2, t - t = 0, gleich -7 + 11 = 4, 4s - 5s = -s. Wenn wir das noch zuletzt äquivalent umformen, erhalten wir eben s = 2. Jetzt müssen wir dieses s in die zweite oder dritte Gleichung einsetzen. Ich setze das jetzt einfach in die zweite Gleichung ein. Das heißt, wir erhalten -3 + t = -7+ 8. Wenn wir das äquivalent umformen erhalten wir t = 1 + 3, wenn wir hier +3 rechnen auf beiden Seiten t = 4. Das heißt, wir haben hier einmal s = 2 herausbekommen und einmal t = 4. Jetzt müssen wir diese beiden noch in die erste Gleichung einsetzen, damit wir wirklich herausgefunden haben, dass das wirklich nur eine Lösung für t und s gibt. Das heißt t und s in die erste Gleichung einsetzen. Und dann erhalten wir -7 + 2×t, also +8 gleich 6 - 2,5×2 ist natürlich 5. Und wir erhalten schließlich 1 = 1. Und das ist eine wahre Aussage. Das heißt, diese beiden Geraden schneiden sich. Ja, das heißt, der Fall windschief können wir auch vernachlässigen. Das heißt, die beiden Geraden schneiden sich. Jetzt können wir zuletzt noch diesen Schnittpunkt ausrechnen, indem wir t in g einsetzen oder s in h. Ich mache jetzt einfach das Erste. Das heißt, ich setze t in g ein. Das heißt, wir erhalten den Schnittpunkt, also (-7, - 3, 5) + 4×(2,1, -1). So, wenn wir das ausrechnen. -7+ 8 = 1. -3 + 4 = 1. 5 - 4 = 1. Das heißt, wir haben als Schnittpunkt folgendes erhalten: Schnittpunkt ist jetzt mit den Koordinaten (1, 1, 1). Jetzt möchte ich einmal zusammenfassen, was du heute gelernt hast. Zu Beginn haben wir ein allgemeines Lösungsverfahren durchgesehen, wie man zwei Geraden auf ihre gegenseitige Lage untersuchen kann. Und es gibt insgesamt vier Möglichkeiten, entweder sie sind parallel, sie schneiden sich, sie sind identisch oder windschief. Als Erstes macht man dazu, ja, überprüft man, ob die beiden Richtungsvektoren linear unabhängig sind. Und dann löst man ein Gleichungssystem, indem man die beiden Geraden gleichsetzt. Als Zweites haben wir dann an einem Beispiel dieses Verfahren geübt und herausgefunden, dass sich diese beiden Geraden schneiden. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Guliano
Gegenseitige Lage Gerade-Gerade Übung
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Beschreibe ein allgemeines Verfahren zur Bestimmung der Lage zweier Geraden zueinander.
TippsÜberlege dir, welche möglichen Lagen zwei Geraden im Raum annehmen können.
Welche Eigenschaften zeichnen diese Lagen aus und wie kannst du diese Eigenschaften mathematisch überprüfen oder bestimmen?
Die Geraden haben einen Punkt gemeinsam, wenn es $s$ und $t$ gibt, so dass $ \vec p +t \cdot \vec u = \vec q +s \cdot \vec v$ gilt.
LösungUm die gegenseitige Lage zweier Geraden im Raum zu bestimmen, kannst du das folgende allgemeine Lösungsverfahren verwenden:
- Du untersuchst die beiden Richtungsvektoren auf ihre lineare Abhängigkeit. Sie können linear abhängig oder linear unabhängig voneinander sein.
- In jedem Fall setzt du nun die beiden Geradengleichungen miteinander gleich und erhältst daraus ein LGS, welches du im nächsten Schritt für s bzw. löst.
- Die Anzahl der Lösungen des LGS und die lineare (Un)abhängigkeit geben dir Aufschluss über die gegenseitige Lage der Geraden.
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Bestimme die Lagebeziehung der Geraden $g$ und $h$.
TippsWodurch unterscheiden sich zwei identische bzw. echt parallele Geraden von windschiefen bzw. sich schneidenden?
Durch Gleichsetzen der Geradengleichungen in Form eines LGS erhält man genau eine Lösung. Was könnte das für die beiden Geraden bedeuten?
LösungÜberprüfst du zuerst die Richtungsvektoren auf lineare Unabhängigkeit, so kannst du schon mal zwei der vier Fälle ausschließen. Das Gleichungssystems aus den Richtungsvektoren lautet:
$\begin{align} 2 &= -2,5 \cdot r &|& :(-2,5) \\ 1 &= 4 \cdot r &|&:4 \\ -1 &= -5 \cdot r &|& :(-5) \end{align} $
Du erhältst also für jede Zeile ein anderes $r$. Nämlich $r=-0,8$ in der ersten, $r=0,25$ in der zweiten und $r=0,2$ in der dritten Zeile. Die Vektoren sind also linear unabhängig. Anschaulich bedeutet das, dass die Vektoren in verschiedene Richtungen zeigen. Die Geraden können also nur noch windschief sein oder sich schneiden.
Addierst du nun die Gleichungen $\mathord{\mathrm{II}}$ und $\mathord{\mathrm{III}}$, so erhältst du eine neue Gleichung, die du nach $t$ umstellst.
$\begin{align} 2&=4-t &|& +t \\ 2+t&=4 &|& -2 \\ t&=2 \end{align}$
Nun setzt du $t=2$ in Gleichung $\mathord{\mathrm{I}}$ ein und stellst nach $s$ um.
$\begin{align} -7+2s&=1 &|& +7 \\ 2s&=8 &|& :2 \\ s&=4 \end{align}$
Du erhältst also eine Lösung für $t$ und $s$. Folglich schneiden sich die Geraden in einem Punkt.
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Prüfe die Richtungsvektoren auf lineare Abhängigkeit.
TippsDie Richtungsvektoren entsprechen $\vec u$ und $\vec v$.
Linear abhängig bedeutet, dass du für $\vec u= r \cdot \vec v$ in jeder Zeile dasselbe $r$ erhältst. Solltest du nicht in jeder Zeile dasselbe $r$ erhalten, sind die Vektoren linear unabhängig.
LösungDie Richtungsvektoren entsprechen $\vec u$ und $\vec v$. Um sie auf lineare Abhängigkeit zu überprüfen, musst du sie in ein Gleichungssystem schreiben.
1.: Für die Vektoren $\begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -2,5 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix}$ sieht das Gleichungssystem wie folgt aus:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -2,5 \\ 4 \\ -5 \end{pmatrix} \end{align}$
Stellst du die erste Gleichung nach r um, so erhältst du $r=-0,8$. Aus der zweiten Gleichung folgt $r=0,25$. Da r verschiedene Werte annimmt, sind die Vektoren linear unabhängig.
2.: Das Gleichungssystem der Vektoren $\begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix}$ lautet:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 3 \\ 3 \\ -3 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ -1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align}$
Aus allen drei Gleichungen erhält man $r=-3$. Die Vektoren sind also linear abhängig.
3.: Mit den Vektoren $\begin{pmatrix} 6 \\ -10\\ 15 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 1,2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix}$ erhält man das Gleichungssystem:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 6 \\ -10 \\ 15 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 1,2 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{align}$
Auch hier erhält man aus allen drei Gleichungen denselben Wert, nämlich $r=5$. Diese Vektoren sind also linear abhängig.
4.: Für die Vektoren $\begin{pmatrix} 12 \\ 1 \\ 16 \end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 4 \end{pmatrix}$ erhält man das Gleichungssystem:
$\begin{align} \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \\ 16 \end{pmatrix} = r \cdot \begin{pmatrix} 12 \\ 1 \\ 16 \end{pmatrix} \end{align}$
Für die erste Gleichung erhält man $r=4$ und für die zweite Gleichung $r=0,25$. Es gibt verschiedene Werte für $r$. Die Vektoren sind also linear unabhängig.
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Erläutere die Vorgehensweise beim Bestimmen der Lage zweier Geraden im Raum.
TippsSind zwei Vektoren linear abhängig, bedeutet das im Prinzip auch, dass sie in dieselbe Richtung zeigen.
Um das LGS zu lösen, musst du zwei der Gleichungen so geschickt miteinander kombinieren, dass $s$ oder $t$ wegfällt.
Was bedeutet es, wenn du zwei Geraden gleichsetzt und aus dem LGS eine Lösung erhältst?
Lösung- Bei windschiefen oder sich schneidenden Geraden zeigen die Richtungsvektoren in verschiedene Richtungen. Sie sind also linear unabhängig. Rechnerisch kannst du dies mit dem Gleichungssystem
prüfen. Für die ersten beiden Zeilen erhältst du $r=2$, in der dritten jedoch $r=-3$.
- Durch Gleichsetzen der Geraden, kannst du überprüfen, ob die Geraden einen gemeinsamen Punkt haben. Das ist dann der Fall, wenn das LGS
eine Lösung hat.
- Kombinierst du die zweite und dritte Gleichung wie folgt
erhältst du als Lösung $s=0$. Diese Lösung setzt du in die erste Gleichung ein:
$\begin{align} 1&=1+0,5t &|& -1 \\ 0&=0,5t &|& :0,5 \\ t&=0 \end{align}$
und erhältst $t=0$.
- Das LGS ist also gelöst, wenn $s=0$ und gleichzeitig $t=0$ gilt. Das LGS hat damit eine Lösung und folglich gibt es einen Schnittpunkt. Die Geraden schneiden sich also.
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Bestimme die Lagebeziehung der Geraden im Raum.
TippsWindschiefe und parallele Geraden schneiden sich nie.
S steht für Schnittpunkt.
LösungEs gibt genau vier Möglichkeiten für die Lage zweier Geraden im Raum:
- Im erstem Bild ist ein Schnittpunkt S eingezeichnet. Ein eindeutiges Zeichen dafür, dass sich die Geraden schneiden.
- Die Geraden im zweiten Bild sind parallel ausgerichtet und sind auch in keinem Punkt gleich. Sie sind also echt parallel.
- Diese Gerade zeigen in verschiedene Richtungen, sind also linear unabhängig. Die gelbe, gestrichelte Gerade soll verdeutlichen, dass die Geraden sich in diesem Punkt nicht berührten. Sie sind windschief.
- Man erkennt quasi bloß eine Gerade, da beide Geraden in dieselbe Richtung zeigen und dieselben Punkte haben. Sie sind identisch.
-
Ermittle die gegenseitige Lage der Geraden $g$ und $h$.
TippsStelle dir zwei Geraden im Raum vor und wie sie zueinander liegen können.
Betrachte z.B. zwei sich schneidende Geraden. Wie stehen ihre Richtungsvektoren zueinander?
Was sagt die Anzahl der Lösungen des LGS über die Geraden aus?
LösungUm die Lagebeziehung der Geraden $g$ und $h$ zu bestimmen, überprüft man zum einen die Richtungsvektoren auf lineare (Un)abhängigkeit. Desweiteren setzt man die Geraden gleich und löst das LGS. Sind die Richtungsvektoren linear abhängig, können die Geraden nur echt parallel bzw. identisch sein. Das entspricht keiner bzw. unendlich vielen Lösungen des LGS. Sollten die Richtungsvektoren linear unabhängig sein, könne die Geraden nur windschief sein bzw. sich schneiden. Das entspricht dann keiner bzw. einer Lösung des LGS.
1.: Du stellst mit den Richtungsvektoren ein Gleichungssystem auf.
$\begin{align} 1 &= -3 \cdot r &|& :(-3) \\ -1 &= 3 \cdot r &|& :3 \\ 2 &= -6 \cdot r &|& :(-6) \end{align}$
Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in jeder Zeile $r = -\frac{1}{3}$. Du erhältst also für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Setzt du nun g und h miteinander gleich, erhältst du das LGS
$\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = & 2 & -3t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & -1 & +3t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = && -6t \end{vmatrix}$
$\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} + \mathord{\mathrm{II}}): \quad 1 &= 1 \\ (2 \cdot \mathord{\mathrm{II}} + \mathord{\mathrm{III}}): \quad -2 & = -2 \end{align}$
Du erhältst also nur wahre Aussagen, das LGS hat demnach unendlich viele Lösungen. Die Geraden sind also identisch.
2.: In diesen Fall lautet das Gleichungssystem der Richtungsvektoren
$\begin{align} 1 &= 2,5 \cdot r &|& :2,5 \\ -1 &= -2,5 \cdot r &|& :(-2,5) \\ 2 &= 5 \cdot r &|& :5 \end{align}$
Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in jeder Zeile $r = 0,4$. Du erhältst also für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear abhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS
$\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = && 2,5t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & -2 & -2,5t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = & 1 & -5t \end{vmatrix}$
$\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} + \mathord{\mathrm{II}}): \quad 1 &= -2 \end{align}$
Du erhältst also eine falsche Aussage; das LGS hat demnach keine Lösungen. Die Geraden sind also echt parallel zueinander.
3.: Hier lautet das Gleichungssystem der Richtungsvektoren
$\begin{align} 1 &= -2 \cdot r &|& :(-2) \\ -1 &= 2 \cdot r &|& :2 \\ 2 &= -1 \cdot r &|& :(-1) \end{align}$
Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in den ersten beiden Zeilen $r = -\frac{1}{2}$. In der dritten jedoch $r = -2$. Du erhältst also nicht für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS
$\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = && -2t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & 1 & +2t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = & -4 & -t \end{vmatrix}$
$\begin{align} (2 \cdot \mathord{\mathrm{II}} + \mathord{\mathrm{III}}): \quad -2 &= -2 +3t &&|+2 \\ 0 &= 3t &|& :3 \\ t &=0 \end{align}$
$\begin{align} (t~in~\mathord{\mathrm{I}}): \quad 1 +s &= 0 &|& -1 \\ s &= -1 \end{align}$
Das LGS hat also eine Lösung, nämlich $t=0$ und $s=-1$ Die Geraden schneiden sich also.
4.: Hier lautet das Gleichungssystem der Richtungsvektoren
$\begin{align} 1 &= 2 \cdot r &|& :2 \\ -1 &= 2 \cdot r &|& :2 \\ 2 &= 4 \cdot r &|& :4 \end{align}$
Führst du die Rechenoperationen aus, so erhältst du in der ersten Zeile $r = \frac{1}{2}$. In der zweiten Gleichung jedoch $r = -\frac{1}{2}$. Du erhältst also nicht für jede Zeile dieselbe Lösung. Folglich sind die Richtungsvektoren linear unabhängig. Setzt du nun $g$ und $h$ miteinander gleich, erhältst du das LGS
$\begin{vmatrix} \mathord{\mathrm{I}} & 1 & +s & = && 2t \\ \mathord{\mathrm{II}} && -s & = & -2 & +2t \\ \mathord{\mathrm{III}} & -2 & +2s & = & 1 & -4t \end{vmatrix}$
$\begin{align} (\mathord{\mathrm{I}} + \mathord{\mathrm{II}}): \quad 1 &= -2 \end{align}$
Das ist eine Falschaussage. Folglich hat das LGS keine Lösung. Die Geraden sind also windschief.
Gegenseitige Lage Gerade-Gerade
Gegenseitige Lage Gerade-Gerade – Beispiele
Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum
Lagebeziehungen im Raum – Beispiel Flugbahnen
Lagebeziehungen im Raum – Beispiel Flugzeugkollision
Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe
Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen
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