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Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen 10:13 min

Textversion des Videos

Transkript Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen

Hallo, mein Name ist Frank. In diesem Video zeige ich dir, wie du bei einem Oktaeder im Raum den Oberflächeninhalt und auch das Volumen berechnen kannst. Und als Beispiel für einen Oktaeder betrachte ich einen Rubin. Ein Oktaeder ist eine Doppelpyramide mit quadratischer Grundfläche. Und du kannst hier mal einen Rubin sehen. Ich habe jetzt hier als Beispiel einen Rubin mit diesen Daten der Grundfläche. Der Rubin sei 2cm hoch. Und den tu ich jetzt mal hier rüber und vergrößere den mal. Jetzt kannst du diesen Rubin hier links sehen. Diesen Rubin lege ich ins Koordinatensystem, sodass die Eckpunkte der quadratischen Grundfläche gerade so gegeben sind, also A ist der Koordinatenursprung (0/0/0), das kannst du hier auch sehen. B ist der Punkt (1/0/0), C(1/1/0), D(0/1/0) und die Spitze S ist dann 0,5; 0,5 - das schreibe ich hier nochmal an - und da der Rubin ja zwei Zentimeter hoch ist, hat jede Pyramide natürlich die Höhe eins; also wäre die Spitze S(0,5/0,5/1). Und aus Symmetriegründen wäre der entsprechend unten liegende Punkt, ich habe den hier mit S’ bezeichnet, (0,5/0,5/-1). Für die folgende Betrachtung brauche ich das nicht, weil diese ganzen Berechnungen die Symmetrie mit einbeziehen. Zuerst nehmen wir uns mal der Oberfläche dieses Oktaeders an. Und wie du hier sehen kannst, besteht die Oberfläche aus acht gleich großen Dreiecken, also wäre es achtmal der Flächeninhalt eines Dreiecks. Und diese Dreiecke, die Flächeninhalte dieser Dreiecke kann man durch den Betrag des Vektorproduktes der Vektoren u und w berechnen. u ist dabei der Verbindungsvektor von A und B das kannst du in dem Bild auch sehen, und entsprechend wäre w der Verbindungsvektor von A und S. Und wenn ich nur dieses Vektorprodukt anschaue, dann gibt die Länge dieses entstehenden Vektors den Flächeninhalt des entsprechend aufgespannten Parallelogramms an und dann ist natürlich der Flächeninhalt des entsprechenden Dreiecks gerade die Hälfte dieses Flächeninhaltes. Der Vektor AB ist gerade der Ortsvektor zu B, also (1/0/0), da A ja der Ursprung ist, und entsprechend ist der Vektor AS gerade der Ortsvektor des Punktes S, also (0,5/0,5/1). Und zuerst einmal betrachte ich das Vektorprodukt u kreuz w. Also nochmal, du kannst die beiden Vektoren hier in der Skizze auch sehen. Und das Vektorprodukt ist gerade (0/-1/0,5). Und für diese Formel brauche ich die Länge diese Vektorproduktes, also mache ich hier Betragsstriche drum. Und da kommt gerade 1,25 raus. Und wenn ich mir diese Formel anschaue, wäre die Oberfläche des Oktaeders acht mal 1/2, also vier mal 1,25 und das ist ungefähr 4,47. Die Maßeinheiten sind cm, also habe ich hier als Flächeneinheit cm2. Damit hätte ich schonmal die Oberfläche dieses Oktaeders berechnet und werde mir im Folgenden die Volumenberechnung anschauen. Gut, nachdem ich den Oberflächeninhalt berechnet habe von diesem Rubin, diesem Oktaeder, schaue ich mir im Folgendem die Volumenberechnung an. Und da werde ich dann anschließend noch die Dichte und die Karatzahl dieses Rubins berechnen. Du kannst es hier noch mal im Koordinatensystem sehen. Zum Berechnen des Volumens brauche ich das sogenannte Spatprodukt. Und das Volumen eines Spats ist dann genau durch diese Formel gegeben. Ein Spat ist ein räumliches Gebilde, welches von drei Vektoren aufgespannt wird. Also im Folgenden werde ich die Vektoren u, v und w betrachten, die du hier schon mal siehst, und im Koordinatensystem kannst du die blau markiert sehen. Und wenn wir uns ein spezielles Spat vorstellen, dann hieße das, wir hätten drei Vektoren, die immer senkrecht aufeinander stehen, also senkrecht, und das entsprechend aufgespannte Spat wäre ein Prisma. Und das Volumen einer Pyramide ist ja gerade ein Drittel des Prismas und genauso ist es auch beim Spat. Das Volumen der Pyramide ist ein Drittel des Volumens des Spates. Und da das Oktaeder eine Doppelpyramide ist, ist natürlich das Volumen des Oktaeders gerade 2/3 dieses VSpat. Das heißt, ich berechne jetzt erstmal VSpat. Und das ist ja nichts anderes als das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren also (1/0/0), (0/1/0). Und dieser Vektor wird skalar mit dem dritten Vektor, also in diesem Fall (0,5/0,5/1), multipliziert. Das Vektorprodukt dieser beiden Vektoren ist gerade der Vektor (0/0/1) und das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist dann gerade eins. Und das heißt, dass das Volumen des Oktaeders, das gesuchte Volumen, gerade 2/3 mal eins, also 2/3. Und da wir Volumen haben sind das cm3. Damit habe ich das Volumen des Oktaeders schonmal berechnet. Und werde mir folgend die Dichte und die Karatzahl des Oktaeders anschauen, also des Rubins. Ok, das Volumen habe ich ja gerade berechnet, da haben wir herausbekommen 2/3cm3. Und jetzt zeige ich dir noch, wie du mit diesem bekannten Volumen die Dichte, und schließlich und endlich auch die Karatzahl, dieses Rubins, mit dem wir angefangen haben, berechnen kannst. Die Dichte des Rubins, das habe ich hier schon mal angeschrieben, ist gegeben, ist gerade vier Gramm pro Kubikzentimeter. Und die Dichte ist gegeben als Masse pro Volumen. Und ähm die Masse kenne ich nicht, die brauche ich, aber ich kenne das Volumen, das habe ich ja gerade ausgerechnet. Das ist ja gerade 2/3cm3. Und die Maßeinheit für die Masse sind Gramm. Und wenn ich jetzt mal 2/3cm3 rechne, habe ich da stehen, dass die Masse gerade 4*2/3=8/3 – Kubikzentimeter kürzt sich raus - also 8/3g und das sind gerade 2 2/3g. So viel wiegt also dieser Rubin. Und mit der Masse kann ich die Karatzahl berechnen, weil alle 0,2g gerade einem Karat entsprechen. Das wiederum heißt, wenn ich das hier mit fünf multipliziere, bekomme ich die Karatzahl des Rubins und die ist gerade 13 1/3 Karat. Das heißt, der Rubin, mit dem ich angefangen habe, also der hier, ein Oktaeder im Raum, hat 13 1/3 Karat. Gut, ich fasse nochmal kurz zusammen, was ich in diesem Video gemacht habe. Ich habe mir am Beispiel eines Rubins Oktaeder im Raum angeschaut. Oktaeder sind Doppelpyramiden, in demm Beispiel mit einer quadratischen Grundfläche. Habe zuerst den Oberflächeninhalt berechnet mit dem Vektorprodukt und habe in dem Beispiel 4,47cm2 herausbekommen. Und die Volumenberechnung geht über das sogenannte Spatprodukt, das steht hier nochmal angeschrieben. Und wenn ich dann das Volumen kenne, in dem Fall 2/3cm3, kann ich damit über die Dichteformel die Masse ausrechnen und mit der Masse in dem Beispiel unsere Karatzahl, das war ja gerade 13 1/3. Nun hoffe ich, dass du alles gut verstehen konntest und danke dir für deine Aufmerksamkeit. Wie immer freue ich mich über Fragen und Anregungen. Bis zum nächsten Mal, dein Frank.

1 Kommentar
  1. Was ist ein wektor

    Von Vidusen S., vor 10 Monaten

Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Oktaeder im Raum – Oberflächeninhalt und Volumen kannst du es wiederholen und üben.

  • Berechne mithilfe des Vektorprodukts der beiden Vektoren den Flächeninhalt eines Seitendreiecks.

    Tipps

    Du erhältst den Verbindungsvektor zweier Punkte $P$ und $Q$, indem du die Ortsvektoren wie folgt subtrahierst

    $\vec{PQ}=\vec q-\vec p$.

    Hier siehst du ein Beispiel für die Berechnung des Vektorproduktes:

    • Schreibe bei beiden Vektoren die ersten beiden Koordinaten nochmals unter die Vektoren.
    • Multipliziere über Kreuz die Elemente der zweiten und dritten Zeile.
    • Subtrahiere von dem Produkt der Elemente von oben links nach unten rechts das Produkt der Elemente von unten links nach oben rechts.
    • Ebenso berechnest du, wie hier zu sehen, die übrigen Koordinaten.

    Der Betrag oder die Länge eines Vektors berechnest du, indem du

    • jede einzelne Koordinate quadrierst,
    • die Quadrate addierst und
    • die Wurzel aus der Summe ziehst.
    Lösung

    Eines der Seitendreiecke hat die Ecken $A$, $B$ und $S$.

    Um die Fläche dieses Dreiecks zu berechnen, muss das Vektorprodukt der beiden Vektoren

    $\vec u=\vec{AB}=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

    sowie

    $\vec W=\vec{AS}=\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$

    berechnet werden:

    $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0,5\\0,5\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 1-0\cdot 0,5\\0\cdot 0,5-1\cdot 1\\1\cdot 0,5-0\cdot 0,5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\-1\\0,5\end{pmatrix}$

    Die Hälfte des Betrages dieses Vektors ist der Flächeninhalt eines Seitendreiecks:

    $A=\frac12\cdot \sqrt{0^2+(-1)^2+0,5^2}=\frac12\cdot \sqrt{1,25}$.

    Damit kann die Gesamtoberfläche des Oktaeders berechnet werden:

    $O=8\cdot \frac12\cdot \sqrt{1,25}=4\cdot \sqrt{1,25}\approx 4,47$.

    Die Oberfläche beträgt $4,47~cm^2$.

  • Gib die Masse des Oktaeders an.

    Tipps

    Die Maßeinheit für ein Volumen ist zum Beispiel $cm^3$ oder $m^3$ ...

    Das Volumen steht in der Dichte-Formel im Nenner. Du musst also mit dem Volumen multiplizieren.

    Lösung

    Der Rubin hat ein Volumen von

    $V=\frac23 ~cm^3$

    sowie die Dichte

    $\rho=4~\frac{g}{cm^3}$.

    Diese bekannten Größen werden in der Formel für die Dichte

    $\rho=\frac mV$

    eingesetzt und man erhält

    $4~\frac{g}{cm^3}=\frac m{\frac23 ~cm^3}$.

    Nun multipliziert man mit dem bekannten Volumen und erhält

    $m=4~\frac{g}{cm^3}\cdot \frac23 ~cm^3=\frac83 g$.

    Dies ist die Masse des Rubins.

  • Bestimme das Volumen des Oktaeders.

    Tipps

    Beachte, dass der Ortsvektor des Punktes $A$ der Nullvektor ist.

    Damit ist der Verbindungsvektor von diesem Punkt zu einem anderen Punkt $P$ gerade der Ortsvektor des anderen Punktes

    $\vec{AP}=\vec{OP}=\vec p$.

    Das Vektorprodukt zweier Vektoren wird wie folgt berechnet:

    • Für die erste Koordinate: Multipliziere die zweite Koordinate des linken Vektors mit der dritten des rechten und ziehe davon das Produkt der dritten Koordinate des linken Vektors und der zweiten des rechten ab.
    • Für die zweite Koordinate: Multipliziere die dritte Koordinate des linken Vektors mit der ersten des rechten und ziehe davon das Produkt der ersten Koordinate des linken Vektors und der dritten des rechten ab.
    • Für die dritte Koordinate: Multipliziere die erste Koordinate des linken Vektors mit der zweiten des rechten und ziehe davon das Produkt der zweiten Koordinate des linken Vektors und der ersten des rechten ab.

    Das Skalarprodukt zweier Vektoren erhältst du so:

    1. Multipliziere die Koordinaten der beiden Vektoren miteinander und
    2. addiere die Produkte.
    Lösung

    Der Vektor $\vec w$ ist bereits zu sehen. Bleiben noch die beiden anderen Vektoren

    $\vec u=\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$

    sowie

    $\vec v=\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}$

    Das Vektorprodukt $\vec u\times \vec v$ lässt sich so berechnen

    $\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix}0\\1\\0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\cdot 0-0\cdot 1\\0\cdot 0-1\cdot 0\\1\cdot 1-0\cdot 0\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$

    Zuletzt muss noch das Skalarprodukt

    $\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}0,5\\0,5\\1\end{pmatrix}=1$

    berechnet werden.

    Damit ist das Volumen des Oktaeders $V=\frac23\cdot 1=\frac23$ [$cm^3$].

  • Wende die Formel mit dem Vektorprodukt an, um die Oberfläche der Rampe zu berechnen.

    Tipps

    Wenn du alle Flächeninhalte berechnet hast, erhältst du die Oberfläche der Rampe so:

    $O_R=A_1+A_2+A_3+2\cdot A_4$.

    Die Rechtecke sind Parallelogramme.

    Verwende die Formel $A=|\vec u\times \vec v|$,

    wobei $\vec v$ und $\vec v$ die Verbindungsvektoren von jeweils zwei Punkten ist. Die Vektoren dürfen nicht kollinear sein.

    Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist die Hälfte des Flächeninhaltes eines Parallelogramms.

    Lösung

    Die Oberfläche dieser Rampe besteht aus den Vierecken $ABCD$, $ABEF$ und $CDEF$ sowie den beiden kongruenten Dreiecken $BCE$ und $ADF$.

    Die Eckpunkte sind $A(0|0|0)$, $B(1|0|0)$, $C(2|1|1)$, $D(1|1|1)$, $E(2|2|0)$ sowie $F(1|2|0)$.

    Zunächst werden alle einzelnen Flächen berechnet:

    Berechnen wir zuerst den Flächeninhalt des Parallelogramms $ABCD$:

    $\begin{array}{rcl} A_1&=&|\vec{AB}\times\vec{AD}|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 0 \\ -1\\ 1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\sqrt{(-1)^2+1^2}\\ &=&\sqrt2\approx1,4 \end{array}$

    Also ist $A_1\approx140~m^2$.

    Schauen wir uns nun den Flächeninhalt von $CDEF$ an:

    $\begin{array}{rcl} A_2&=&|\vec{DC}\times\vec{DF}|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 0\\ 1\\-1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\sqrt{1^2+1^2}\\ &=&\sqrt2\approx1,4 \end{array}$

    Also ist $A_2\approx140~m^2$.

    Ebenso untersuchen wir das Parallelogramm $ABEF$:

    $\begin{array}{rcl} A_3&=&|\vec{AB}\times\vec{AF}|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1 \\ 2\\0 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\sqrt{4}\\ &=&2 \end{array}$

    Also ist $A_3=200~m^2$.

    Zuletzt betrachten wir das Dreieck $ADF$

    $\begin{array}{rcl} A_4&=&\frac12\cdot|\vec{AD}\times\vec{AF}|\\ &=&\frac12\cdot\left|\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\1 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\0 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\left|\begin{pmatrix} -2 \\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|\\ &=&\frac12\cdot\sqrt{(-2)^2+1^2+1^2}\\ &=&\frac12\cdot\sqrt6\approx1,2 \end{array}$

    Also ist $A_4\approx120~m^2$.

    Die jeweiligen Ergebnisse wurden mit einer FE, also $100~m^2$, multipliziert.

    Zuletzt werden die Flächen addiert:

    $O_R=A_1+A_2+A_3+2\cdot A_4\approx140~m^2+140~m^2+200~m^2+2\cdot120~m^2=720~m^2$.

    Die gesamte Oberfläche beträgt also ungefähr $720~m^2$.

  • Leite den Flächeninhalt des Dreiecks mit den Punkten $P(3|2|1)$, $Q(1|-1|-3)$ sowie $R(-2|2|2)$ her.

    Tipps

    Der Verbindungsvektor zweier Punkte ist die Differenz des Ortsvektors des Endpunktes und des Ortsvektors des Anfangspunktes.

    Verwende diese Rechnung für das Vektorprodukt.

    Der Betrag (oder die Länge) eines Vektors ist die Wurzel aus der Summe aus den Koordinatenquadraten.

    Lösung

    Mit den Punkten $P(3|2|1)$, $Q(1|-1|-3)$ sowie $R(-2|2|2)$ erhält man

    $\vec a=\vec{PR}=\begin{pmatrix} -2 \\2\\2 \end{pmatrix}-\begin{pmatrix} 3 \\2\\ 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -5 \\\ 0\\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Ebenso kann der andere Vektor bestimmt werden:

    $\vec b=\vec{PQ}=\begin{pmatrix} -2 \\\ -3\\\ -4 \end{pmatrix}$.

    Mit diesen Vektoren und der Formel

    $A_{\text{Dreieck}}=\frac12\cdot\left|\vec a\times \vec b\right|$

    kann nun der Flächeninhalt berechnet werden:

    $\vec a\times \vec b=\begin{pmatrix} -5 \\\ 0 \\\ -1\end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} -2 \\\ -3\\\ -4 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0-3 \\\ 2-20\\\ 15-0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -3 \\\ -18\\\ 15 \end{pmatrix}$.

    Nun muss nur noch die Länge dieses Vektors berechnet werden:

    $\left|\begin{pmatrix} -3 \\\ -18\\\ 15 \end{pmatrix}\right|=\sqrt{(-3)^2+(-18)^2+15^2}=\sqrt{558}$.

    Dann ist

    $A_{\text{Dreieck}}=\frac12\cdot\sqrt{558}\approx 11,8$ [FE].

  • Gib an, wie groß das Volumen der Rampe ist.

    Tipps

    Beachte: $1$ LE entspricht $10~m$. Das bedeutet, das $1$ VE (Volumeneinheit) $(10~m)\cdot (10~m)\cdot(10~m)=1000~m^3$ entspricht.

    Zeichne dir den kompletten Spat auf. Dafür kannst du das Viereck $ABEF$ parallel verschieben, so dass die Seite $\overline{AB}$ auf $\overline{CD}$ liegt.

    Die Vektoren sind

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{AF}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Lösung

    Die Punkte sind: $A(0|0|0)$, $B(1|0|0)$, $C(2|1|1)$, $D(1|1|1)$, $E(2|2|0$ sowie $F(1|2|0)$.

    Diese Rampe ist die Hälfte eines Spats, auch Parallelepiped genannt. Dessen Volumen wird wie folgt berechnet:

    $V=|(\vec{AB}\times\vec{AF})\cdot \vec{AD}|$.

    Somit ist das Volumen der Rampe

    $V_R=\frac12\cdot|(\vec{AB}\times\vec{AF})\cdot \vec{AD}|$.

    Zunächst bestimmt man die benötigten Vektoren

    $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}$, $\vec{AF}=\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}$ und $\vec{AD}=\begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}$.

    Damit ist

    $V_R=\frac12\cdot \left|\left(\begin{pmatrix} 1\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}\times\begin{pmatrix} 1\\ 2\\ 0 \end{pmatrix}\right)\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|$.

    Nun wird das Vektorprodukt berechnet:

    $V_R=\frac12\cdot \left|\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1 \end{pmatrix}\right|=\frac12\cdot 2=1$

    Das Volumen der Rampe beträgt also $V=(10~m)\cdot(10~m)\cdot (10~m)=1000~m^3$.