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Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe

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Die Autor/-innen
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Giuliano Murgo
Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe

Stell dir Folgendes vor: Du befindest dich auf einem Flughafen. Du befindest dich aber nicht irgendwo, sondern im Tower des Flughafens. Du hast gerade ein Flugzeug auf deinem Radarschirm entdeckt. Es befindet sich auf geradlinigem Kurs Richtung Boden mit konstanter Geschwindigkeit. In dieser Situation gibt es eine Menge Fragen, die man sich stellen kann. Wie schnell ist das Flugzeug? Wann wird es den Boden erreichen, wenn es nicht langsamer wird und den Kurs nicht ändert? Ich möchte mir dir zusammen mit den Methoden der analytischen Geometrie diesen Sachzusammenhang modellieren und dazu einige Aufgaben durchrechnen. Bis du bereit? Dann starten wir jetzt!

1 Kommentar

1 Kommentar
  1. Ich habe das Video 2x angeschaut und sehr davon profitiert, gerade die Erörterung der technischen Dimensionen war zielführend

    Von Mariarudolf, vor mehr als 3 Jahren

Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lagebeziehungen im Raum – Flugzeugaufgabe kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne den Auftreffpunkt des Flugzeugs.

    Tipps

    Da sich der Boden in der $xy$-Ebene befindet, gilt für alle Punkte dieser Ebene $z = 0$.

    Den Schnittpunkt dieser Ebene mit $f$ kannst du berechnen, indem du die Komponenten von $f$ in die Ebenengleichung einsetzt und nach t umstellst.

    Setzt du dann das ermittelte $t$ in die Gerade $f$ ein, erhältst du den Punkt, in dem das Flugzeug auf die Ebene trifft.

    Lösung

    Ein Flugzeug, dass sich im geradlinigen und gleichschnellen Sinkflug befindet, bewegt sich auf einer Geraden mit der Geradengleichung $f$.

    • Da sich der Boden in der $xy$-Ebene befindet, gilt für alle Punkte dieser Ebene $z = 0$. Dies ist gleichzeitig die Ebenengleichung in Koordinatenform. Den Schnittpunkt dieser Ebene mit $f$ kannst du berechnen, indem du die Komponenten von $f$ in die Ebenengleichung einsetzt und nach t umstellst.
    $\begin{align} 0 &= 2 - 0,1t &|&-0,1t \\ 0,1t &= 2 &|&:0,1 \\ t &= 20 \end{align}$

    Das Flugzeug landet also um $12:20$.

    • Setzt du dann $t = 20$ in die Gerade $f$ ein, erhältst du den Punkt, bei dem das Flugzeug auf die Ebene trifft.
    $\begin{align} t = 20~\text{in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 20 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -30 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

    Das Flugzeug landet also im Punkt $S(16|-30|0)$.

  • Bestimme die Geschwindigkeit und den Anflugwinkel des Flugzeugs.

    Tipps

    Die Länge eines Vektors wird folgendermaßen berechnet:

    Für Geschwindigkeiten gilt $\frac{km}{min} = 60\frac{km}{h}$.

    Sind $\vec n$ der Normalenvektor der $xy$-Ebene und $\vec u$ der Richtungsvektor der Geraden, so genügt der Anflugwinkel $\alpha$ folgender Gleichung:

    Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors.

    Ein Normalenvektor der Ebene $E:~z=0$ ist $\left( \matrix{ 0 \\ 0 \\ 1}\right)$.

    Lösung

    Ein Flugzeug, dass sich im geradlinigen und gleichschnellen Sinkflug befindet, bewegt sich auf einer Geraden mit der Geradengleichung $f$.

    • Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors. Du berechnest also
    $\begin{align} \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-0,1)^2} \approx 2,24 \end{align}$

    Da die Koordinaten in km und die Zeit in Minuten angegeben sind, erhältst du $v \approx 2,24 \frac{km}{min}$.

    • Um das vorige Ergebnis in die Einheit $\frac{km}{h}$ umzurechnen, kannst du wie folgt vorgehen. Da eine Stunde 60 Minuten entspricht, kannst du mit 60 erweitern und erhältst die Geschwindigkeit in $\frac{km}{h}$: $v \approx 2,24 \cdot 60 \frac{km}{h}\approx 134 \frac{km}{h}$. Als Merkregel gilt:
    $\begin{align} \frac{km}{min} \overset{\cdot 60}{\underset{: 60}{\rightleftharpoons}} \frac{km}{h} \end{align}$

    • Den Winkel zwischen einer Geraden und einer Ebene kannst du mit der Formel $\sin{(\alpha)} = \frac{\left| \vec u \cdot \vec n \right|}{\left| \vec u \right| \cdot \left| \vec n \right|}$ berechnen. $\vec u$ und $\vec n$ entsprechen dem Richtungsvektor der Geraden und dem Normalenvektor der Ebene, $\alpha$ beschreibt den Winkel zwischen der Geraden und Ebene. Für die $xy$-Ebene lautet der Normalenvektor einfach $\vec n = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$. Demnach erhältst du
    $\begin{align} \sin{(\alpha)} &= \frac{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} \right|}{\left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right| \cdot \left| \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} \right|} = \frac{0,1}{\sqrt{5,01}} &&|\sin^{-1} \\ \\ \Rightarrow \quad \alpha &= \sin^{-1}{\left( \frac {0,1}{\sqrt{5,01}} \right)} \approx 2,56^\circ \end{align}$

  • Ermittle die Geschwindigkeiten.

    Tipps

    Welche Komponente der Geradengleichung ist für die Geschwindigkeit relevant?

    Der Betrag eines Vektors ist folgendermaßen definiert.

    Die Geschwindigkeit wird durch den Betrag der Richtungsvektoren angegeben. Also musst du die Beträge miteinander vergleichen.

    Lösung

    Die Geschwindigkeit wird durch den Betrag der Richtungsvektoren angegeben. Also musst du die Beträge miteinander vergleichen. Die Berechnungen lauten wie folgt.

    $\begin{align} \left| \begin{pmatrix} 1,5 \\ 0,5 \\ 0 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{1,5^2 + 0,5^2 + 0^2} \approx 1,58 \\ \left| \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 2,3 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{0^2 + 0^2 + 2,3^2} = 2,3 \\ \left| \begin{pmatrix} -2,4 \\ 1,4 \\ -0,05 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{(-2,4)^2 + 1,4^2 + (-0,05)^2} \approx 2,78 \\ \left| \begin{pmatrix} 2 \\ 6 \\ 3 \end{pmatrix} \right| &= \sqrt{2^2 + 6^2 + 3^2} = 7 \end{align}$

    Und da $1,58 < 2,3 < 2,78 < 7$ gilt, lautet die Reihenfolge von oben nach unten: $j$, $h$, $f$ und $g$.

  • Bestimme den minimalen Abstand des Flugzeugs von der Turmspitze und den dazugehörigen Zeitpunkt.

    Tipps

    Bei dieser Aufgabe geht es um den Abstand von Punkt und Gerade. Bestimme also $d(f,T)$.

    Stelle eine Hilfsebene $H$ auf, welche durch den Punkt $T$ geht. Als Normalenvektor wählst du den Richtungsvektor der Geraden $f$. Damit geht die Gerade senkrecht durch die Ebene und die Distanz ist am kürzesten, wo sich $H$ und $f$ schneiden.

    Die Gleichung der Hilfsebene lautet:

    $\begin{align} H: \left[ \vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,25 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -0,2 \end{pmatrix} = 0 \end{align}$

    Die Koordinatenform der Hilfsebene lautet:

    $-2x + y - 0,2z + 0,05 = 0$

    Nun berechnest du den Schnittpunkt der Geraden $f$ mit der Hilfsebene $H$, indem du die Koordinaten von $f$ in $H$ einsetzt und nach $t$ umstellst.

    Setzt du dieses $t$ in die Geradengleichung ein, erhältst du den Schnittpunkt.

    Bei $t \approx 5,08$ kommt das Flugzeug der Turmspitze am nächsten.

    Lösung

    Es handelt sich um eine Abstandsberechnung zwischen einem Punkt und einer Geraden. Mit Abstand ist die kürzeste Distanz gemeint. Den Punkt der Geraden, für den das gilt, kannst du wie folgt ermitteln.

    • Du stellst eine Hilfsebene $H$ auf, welche durch den Punkt $T$ geht. Als Normalenvektor wählst du den Richtungsvektor der Geraden $f$. Damit geht die Gerade senkrecht durch die Ebene und die Distanz ist am kürzesten, wo sich $H$ und $f$ schneiden. In Normalenform lautet die Ebenengleichung dann
    $\begin{align} H: ~~ \left[ \vec x - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,25 \end{pmatrix} \right] \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -0,2 \end{pmatrix} = 0 \end{align}$

    • Durch Ausmultiplizieren erhältst du die Koordinatenform
    $-2x + y - 0,2z + 0,05 = 0$

    • Nun berechnest du den Schnittpunkt der Geraden $f$ mit der Hilfsebene $H$, indem du die Koordinaten von $f$ in $H$ einsetzt und nach $t$ umstellst:
    $\begin{align} -2 \cdot (18-2t) + (11 + t) - 0,2 \cdot (3,25 - 0,2t) + 0,05 &= 0 \\ -25,6 + 5,04t & = 0 &&|+25,6 \\ 5,04t &= 25,6 &&|:5,04 \\ t &\approx 5,08 \end{align}$

    Das Flugzeug kommt der Turmspitze also ungefähr um $16:05$ Uhr am nächsten.

    • Setzt du dieses $t$ in die Geradengleichung ein, erhältst du den Schnittpunkt
    $\vec x = \begin{pmatrix} 18 \\ 11 \\ 3,25 \end{pmatrix} + 5,08 \cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \\ -0,2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7,84 \\ 16,08 \\ 2,234 \end{pmatrix}$

    Das Flugzeug kommt der Turmspitze also im Punkt $F(7,84|16,08|2,234)$ am nächsten.

    • Den Abstand der Punkte kannst du dann wie folgt berechnen
    $d(T,f) = \left| \begin{pmatrix} 7,84 \\ 16,08 \\ 2,234 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0,25 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{7,84^2 + 16,08^2 + 1,984^2} \approx 18$

    Das Flugzeug ist im Punkt $F$ also ca. $18~km$ von der Turmspitze entfernt.

  • Berechne die Aufenthaltsorte eines Flugzeuges zu unterschiedlichen Zeiten.

    Tipps

    Da t die Zeit in Minuten nach $10~Uhr$ angibt, gilt z.B. $t = 8$ um $10:08$.

    Setzt du nun für t die entsprechenden Werte ein, erhältst du die Koordinaten der Punkte.

    Lösung

    Um den Punkt zu berechnen, in dem sich das Flugzeug befindet, musst du den entsprechenden Wert für t in die Gleichung einsetzen. So erhältst du den Ortsvektor des Flugzeugs, welcher auch gleichzeitig die Koordinaten des Punktes angibt. Da t die Zeit in Minuten nach $10~Uhr$ angibt, gilt z.B. $t = 8$ um $10:08$. Setzt du nun für t die entsprechenden Werte ein, erhältst du die Koordinaten der Punkte.

    $\begin{align} t = 8 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 8 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \\ -6 \\ 1,2 \end{pmatrix} \end{align}$

    Also befindet sich das Flugzeug um $10:08$ im Punkt $P(4|-6|1,2)$.

    $\begin{align} t = 20 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 20 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 16 \\ -30 \\ 0 \end{pmatrix} \end{align}$

    Also befindet sich das Flugzeug um $10:20$ im Punkt $P(16|-30|0)$.

    $\begin{align} t = 0 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} \end{align}$

    Also befindet sich das Flugzeug um $10:00$ im Punkt $P(-4|10|2)$.

    $\begin{align} t = 4,83 \text{ in f: } \vec x = \begin{pmatrix} -4 \\ 10 \\ 2 \end{pmatrix} + 4,83 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \\ -0,1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,83 \\ 0,34 \\ 1,517 \end{pmatrix} \end{align}$

    Also befindet sich das Flugzeug um $10~Uhr$ und $4,83~min$ im Punkt $P(0,83|0,34|1,517)$.

  • Ermittle die gesuchten Größen.

    Tipps

    Die Koordinaten sind in $km$ angegeben.

    Es ist der Schnittpunkt der Geraden mit Ebene $E: z = 0,2$ gesucht.

    Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors. Es gilt:

    $v = \left| \vec u \right|$

    Für geradlinig gleichförmige Bewegungen ist die Geschwindigkeit gleich der zurückgelegten Strecke pro Zeit, die dafür benötigt wird. Stellst du diese Gleichung also nach $s$ um, kannst du die Strecke berechnen.

    Lösung

    • Der Pilot landet in $200~m$ Höhe. Da die Koordinaten in km angegeben sind, lautet die Koordinatengleichung dieser Ebene $E: z = 0,2$. Den Schnittpunkt dieser Ebene mit $f$ kannst du berechnen, indem du die $z$-Komponente von $f$ in die Ebenengleichung einsetzt und nach $t$ umstellst.
    $\begin{align} 2,1 - 0,05t &= 0,2 &|& +0,05t \\ 2,1 &= 0,2 + 0,05t &|& -0,2 \\ 1,9 &=0,05t &|& :0,05 \\ t &= 38 \end{align}$

    Das Flugzeug trifft demnach $38$ Minuten nach $12$ Uhr auf die Ebene. Es landet also um $12:38$ Uhr.

    • Setzt du dann $t = 38$ in die Gerade $f$ ein, erhältst du den Punkt, in dem sie auf die Ebene trifft.
    $t = 38~\text{in f: } \vec x = \begin{pmatrix} 0,5 \\ 1 \\ 2,1 \end{pmatrix} + 38 \cdot \begin{pmatrix} 2,3 \\ 1,6 \\ -0,05 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 87,9 \\ 61,8 \\ 0,2 \end{pmatrix}$

    Das Flugzeug landet also im Punkt $L(87,9|61,8|0,2)$.

    • Die Geschwindigkeit ergibt sich aus dem Betrag des Richtungsvektors. Du berechnest also
    $v = \left| \begin{pmatrix} 2,3 \\ 1,6 \\ -0,05 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{2,3^2+1,6^2+(-0,05)^2} \approx 2,8~\frac{km}{min}$.

    Das Flugzeug fliegt also mit einer Geschwindigkeit von $v \approx 2,8~\frac{km}{min}$.

    • Um dieses Ergebnis in die Einheit $\frac{km}{h}$ umzurechnen, kannst du wie folgt vorgehen. Da eine Stunde $60$ Minuten entspricht, kannst du die Gleichung $1~h = 60~min$ aufstellen. Teilst du mit $60$ erhältst du $1~min = \frac{1}{60}~h$. Setzt du diese Beziehung in das vorige Ergebnis ein, erhältst du
    $v \approx 2,8~\frac{km}{\frac{1}{60}~h} = 2,8 \cdot 60 \frac{km}{h} = 168~\frac{km}{h}$.

    Als Merkregel gilt:

    $\frac{km}{min} \overset{\cdot 60}{\underset{: 60}{\rightleftharpoons}} \frac{km}{h}$

    Die Geschwindigkeit beträgt demnach auch $v \approx 168~\frac{km}{h}$.

    • Da das Flugzeug mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden fliegt, kannst du die aus der Physik bekannte Formel $v = \frac{s}{t}$ verwenden. Diese Gleichung gilt für alle geradlinig gleichförmigen Bewegungen. Nach Umstellen erhältst du für den Weg $s = v \cdot t$. Mit den zuvor berechneten Werten ergibt sich ein Weg von
    $s \approx 2,8~\frac{km}{min} \cdot 38~min \approx 106~km$.

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