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Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum 13:43 min

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Transkript Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum

Hi. Heute wollen wir uns fragen, welche Beziehungen Geraden zueinander haben. Wer mit wem? Wie lange sie schon zusammen sind? Und, nein. Spaß beiseite. Es geht um die möglichen Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum. Wir werden sehen, dass vier verschiedene Situationen möglich sind, die man rechnerisch überprüfen kann. Zunächst wiederholen wir kurz das Wichtigste zu Geraden im Raum. Dann untersuchen wir, welche Lagebeziehungen Geraden zueinander haben können. Und stellen an Beispielen vor mit welchen Kriterien man die Lagebeziehungen zweier gegebener Geraden prüfen kann. Eine Gerade im Raum ist durch zwei Punkte definiert. Ein Punkt davon dient als Stützpunkt. Der Vektor zwischen den beiden Punkten dient als Richtungsvektor der Geraden. Er bildet sich aus der Differenz der Koordinaten der beiden Punkte. Bezeichnen wir die beiden Punkte mit A und B. Und ihre Ortsvektoren mit a und b. Dann gelange ich zu jedem Punkt x der Geraden mit Ortsvektor x, indem ich zu Ortsvektor a ein beliebiges Vielfaches des Richtungsvektors b-a addiere. Die Geradengleichung einer Geraden g lautet also: Vektor x = Vektor a + r * (Vektor b – Vektor a). Dabei ist der Parameter r eine beliebige reelle Zahl. Man nennt diese Darstellung Parameterdarstellung. Ein Beispiel. Gegeben sind die Punkte A mit den Koordinaten (2 3 -1) und B mit den Koordinaten (4 -2 2). Die Gerade g durch A und B, hat die Parameterdarstellung Vektor x = (2 3 -1) + r * [(4 -2 2) – (2 3 -1)] = (2 3 -1) + r * (2 -5 3). Jetzt wollen wir die verschiedenen möglichen Lagebeziehungen zwischen zwei Geraden g und h im Raum untersuchen. Die Gerade g wird dargestellt durch Vektor x = Vektor a + r * Vektor u. Die Gerade h wird dargestellt durch Vektor x = Vektor b + s * Vektor v. Der Punkt A mit Ortsvektor a ist Stützpunkt von g und u ihr Richtungsvektor. Der Punkt B mit Ortsvektor b ist Stützpunkt von h und v der Richtungsvektor von h. Wie ich schon eingangs erwähnt habe unterscheidet man vier verschiedene Lagebeziehung von Geraden. Identische Geraden, echte parallele Geraden, sich schneidende Geraden und windschiefe Geraden. Im Folgenden fasse ich dir die grundlegenden Charakteristika der vier Lagebeziehungen zusammen und rechne dir ein Beispiel vor. Erster Fall, die beiden Geraden sind identisch. Dann müssen zum einen, die Richtungsvektoren u und v der Geraden g und h parallel sein und außerdem muss der Stützpunkt der einen Geraden auch auf der anderen liegen. Also A auch auf h und B auch auf g. Wie kann man das rechnerisch nachweisen? Ein Beispiel. g ist gegeben durch Vektor x = (1 -1 2) + r * (2 1 0). h1 durch Vektor x = (5 1 2) + s * (-4 -2 0). Wir sehen sofort, dass der Richtungsvektor (-4 -2 0) durch den Vektor (2 1 0) darstellbar ist. Wenn man ihn mit -2 multipliziert. Daraus folgt, die Richtungsvektoren sind parallel. Nun müssen wir noch wissen, dass sich der Stützvektor der Geraden h1 (5 1 2) auf der Geraden g befindet. Wir müssen dafür ein r finden, sodass gilt (5 1 2) = (1 -1 2) + r * (2 1 0) = (1+2r -1+r 2). Daraus ergibt sich ein Gleichungssystem. Die erste Zeile dieses Gleichungssystems ist 5 = 1 + 2r. Die zweite Zeile 1 = -1 + r. Und die dritte 2 = 2. Die erste Gleichung liefert uns durch geschicktes Umformen r = 2. Mit r = 2 steht auch in der zweiten Zeile mit 1 = -1 + 2 = 1 eine wahre Aussage. Und die letzte Zeile 2 = 2 ist sowieso immer wahr. Wir wissen nun, dass die Richtungsvektoren (2 1 0) und (-4 -2 0) parallel sind. Und der Stützvektor (5 1 2) der Geraden h1 auf der Geraden g liegt. g und h1 sind deshalb identisch. Wir kommen nun zum zweiten Fall. Haben wir parallele Richtungsvektoren, aber die Stützpunkte liegen nicht auf der jeweils anderen Geraden, dann sind die Geraden echt parallel. Für den rechnerischen Nachweis, dass zwei Geraden echt parallel sind, gehst du genauso wie bei dem vorigen Beispiel vor. Zuerst beweist du, dass die Richtungsvektoren parallel sind. Dann, dass der Stützvektor der einen Gerade nicht durch den anderen darstellbar ist. Wir nehmen wie im Fall zuvor unsere Gerade g: Vektor x = (1 -1 2) + r * (2 1 0). Ändere ich bei unserem vorangegangen Beispiel den Stützvektor der Geraden h1 von (5 1 2) zu (5 1 1) ab, erhalte ich die neue Geradengleichung h2 mit dem Vektor x = (5 1 1) + s * (-4 -2 0). Wir wissen dann bereits, dass die Richtungsvektoren der beiden Geraden g und h2 parallel sind. Allerdings können wir jetzt den Stützvektor der Geraden h2 mit den Koordinaten (5 1 1) nun nicht mehr durch die Gerade g darstellen. Wir erhalten entsprechend ein Gleichungssystem aus drei Gleichungen. Die erste Gleichung ist: 5 = 1 + 2 * r. Die zweite: 1 = -1 + r. Und die dritte: 1 = 2. An der letzten Zeile sieht man, dass das Gleichungssystem keine Lösung hat. Denn eins kann nicht zwei sein. Wir wissen nun, dass die Richtungsvektoren (2 1 0) und (-4 -2 0) parallel zueinander sind und, dass der Stützvektor (5 1 1) nicht auf der Geraden g liegt. Die Geraden g und h2 sind also parallel, aber nicht identisch. g und h2 sind echt parallel. Nun zum dritten Fall. Sich schneidende Geraden g und h, schneiden sich genau in einem Punkt s. Das setzt natürlich voraus, dass ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind. Wie kann man rechnerisch nachweisen, dass sich zwei Geraden schneiden? Dazu untersuchen wir die Lage der Geraden g mit dem Stützpunkt (1 -1 2) und dem Richtungsvektor (2 1 0) aus den vorangegangenen Beispielen. Mit der Geraden h3 mit Vektor x = (2 -1 1) + t * (1 1 1). Wie ein Blick auf die Richtungsvektoren verrät, lassen sich die Vektoren nicht gegenseitig darstellen. g und h3 sind deshalb nicht parallel zueinander. Haben sie aber einen gemeinsamen Punkt, also einen Schnittpunkt? Um das zu klären, setzen wir die Geradengleichungen gleich. Und erhalten das Gleichungssystem 1 + 2r = 2 + t, -1 + r = -1 + t, 2 = 1 + t. Welches äquivalent ist zu 2r – t = 1, r – t = 0 und -t = -1. Aus der letzten Zeile folgt, t = 1. Setzen wir t = 1 in das Gleichungssystem ein, dann liefern die erste und auch die zweite Zeile r = 1. Das Gleichungssystem hat also eine eindeutige Lösung. Das bedeutet g und h3 haben einen Schnittpunkt. Ich setze t = 1 in die Gleichung für h3 ein und ermittle seine Koordinaten. (2 -1 1) + 1 * (1 1 1) = (3 0 2). Das heißt der Schnittpunkt ist s = (3 0 2). Die Geraden g und h3 schneiden sich. Und schließlich der vierte Fall, windschiefe Geraden. Die beiden geraden haben nicht parallele Richtungsvektoren und auch keinen gemeinsamen Punkt. Dann bezeichnet man sie als windschief. Der rechnerische Nachweis, dass zwei Geraden windschief sind, läuft genauso wie im vorangegangen Beispiel ab. Dazu betrachten wir jetzt wieder die Gerade g mit dem Stützpunkt (1 -1 2) und dem Richtungsvektor (2 1 0). Und dazu die Gerade h4 mit Vektor x = (1 2 3) + u * (1 0 1). Auch hier sieht man wieder, dass die Geraden nicht parallel verlaufen. Denn die Richtungsvektoren lassen sich nicht gegenseitig darstellen. Haben die Geraden dann einen gemeinsamen Punkt? Wir setzen g und h4 gleich und erhalten das Gleichungssystem 1 + 2r = 1 + u, -1 + r = 2, 2 = 3 + u. Äquivalent zu 2r – u = 0, r = 3 und – u = 1. Setzen wir in die erste Gleichung für u = -1 und für r = 3 ein, dann erhalten wir 2 * 3 – (-1) = 7 0. Dieses Gleichungssystem hat demnach keine Lösung. Wir wissen, die Richtungsvektoren (2 1 0) und (1 0 1) sind nicht parallel zueinander. Und g und h4 haben keinen Schnittpunkt. Geraden g und h4 sind somit windschief. So, nun haben wir uns alle vier Lagebeziehungen angeschaut, die zwei Geraden zueinander haben können. Noch einmal zusammengefasst: Sind die Richtungsvektoren Vielfache voneinander, sind die Geraden parallel. Haben sie einen gemeinsamen Punkt und damit unendlich viele, sind sie identisch. Ansonsten echt parallel. Nicht parallel Geraden setzen wir gleich in ein lineares Gleichungssystem. Hat es eine Lösung, schneiden sich die Geraden. Haben sie keinen Schnittpunkt, sind sie windschief. Vielen Dank für deine Aufmerksamkeit.

7 Kommentare
  1. sehr gut

    Von Zaafarany, vor 9 Monaten
  2. schönes Video .

    Von Gar Ga Jos, vor fast 4 Jahren
  3. sehr schöne Zusammenfassung. Gut gemacht. Danke

    Von Kreiters, vor etwa 4 Jahren
  4. @Abe Gabersek:
    Das ist eine gute Frage. Hier solltest du wissen, wie man lineare Gleichungssysteme mit drei Gleichungen und zwei Unbekannten lösen kannst. Wenn die Koordinaten der Richtungsvektoren nicht Null sind, dann erhältst du drei Gleichungen mit jeweils zwei Unbekannten. Hier kannst du dann die Lösungsverfahren bei linearen Gleichungssystemen anwenden (Gleichsetzungsverfahren, Additions- bzw. Subtraktionsverfahren, ...). Du nimmst hierbei zuerst zwei Gleichungen und berechnest mit den oben genannten Methoden die beiden Variablen (hier r und t). Dann überprüfst du in der dritten Gleichung, die du bei dem Lösungsverfahren nicht gebraucht hast, durch Einsetzen der Variablen, ob eine wahre Aussage herauskommt. Dann hast du auch zwei Möglichkeiten:
    (1) Eine Lösung: Wenn du genau eine Lösung für t und r herausbekommst, dann schneiden sich die beiden Geraden in einem Punkt.
    (2) Unendlich Lösungen: Wenn du unendlich Lösungen für r und t erhältst, dann sind die beiden Gerade identisch.
    (3) Keine Lösung: Wenn du durch Einsetzen eine falsche Aussage erhältst, dann schaust du dir die Richtungsvektoren an.
    (3.1) Wenn die Richtungsvektoren linear abhängig sind, dann sind die beiden Geraden parallel.
    (3.2) Wenn die Richtungsvektoren linear unabhängig sind, dann sind die beiden Geraden windschief.
    Ich hoffe, dass ich deine Frage beantworten konnte.

    Von Giuliano Murgo, vor etwa 4 Jahren
  5. Sehr geehrtes Mathe-Team,
    ich habe eine Frage an Sie. Bei den Beispielen, wo Sie zwei Geradengleichungen gleichsetzen, kommen sie am Ende des Gleichsetzens immer auf ein Ergenis, weil eine Koordinates eines Richtungsvektors = 0 ist.
    Wie kann man aber den letzten Schritt des Gleichsetzens durchführen, wenn eine Koordinate des Richtungsvektors nicht =0 ist?
    Wäre nett, wenn Sie mir da weiterhelfen könnten.
    LG

    Von Abe Gabersek, vor etwa 4 Jahren
  1. Super tolles Video ! :)

    Von Sarahleinjae 98, vor mehr als 5 Jahren
  2. Wie kann man das mit m=machen also mit der Gleichung warte ich schreibe alles auf --
    P(2/0)
    Q(0/3)
    y2-y1 3-0 3
    m=------ = --- = - =1,5 y=m mal x + t --> 3= 1,5 mal 0 +t
    x2-x1 0-2 2 3=t

    y=1,5x+3

    Mache bitte mal sowas in der art wenn es dir hilft ich hab das n mathe im lambacher schweizer ´S.50 gefunden Nr.2+3
    Wäre richtig toll wenn du soeine aufgabe oder mehrere :)
    machen könntest obwohl ich wenig verstanden habe
    GUURTTTEEESSS VVIIEEDDEEOO :D

    Von Stefan M., vor mehr als 5 Jahren
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Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Lagebeziehungen von zwei Geraden im Raum kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib jeweils die Lagebeziehung der Geraden an.

    Tipps

    Im Unterschied zu sich schneidenden Geraden berühren windschiefe Geraden einander nicht.

    Identische Geraden sind ebenfalls wie echt parallele Geraden parallel, jedoch haben identische Geraden ausschließlich gemeinsame Punkte und parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte.

    Lösung

    Identische Geraden haben wie auch echt parallele Geraden stets parallele, also linear abhängige Richtungsvektoren. Der Unterschied ist, dass identische Geraden alle Punkte gemeinsam haben und echt parallele Geraden keine gemeinsamen Punkte besitzen.

    Sich schneidende Geraden sind nicht parallel und besitzen stets einen Schnittpunkt. Windschiefe Geraden sind ebenfalls nicht parallel, besitzen aber keine gemeinsamen Punkte.

  • Stelle die Geradengleichung in Parameterform auf.

    Tipps

    Wie sieht eine Geradengleichung in Parameterdarstellung allgemein aus?

    Beachte, welche Differenz du zur Berechnung des Richtungsvektors bildest, da die Subtraktion nicht kommutativ ist: $\vec a - \vec b \neq \vec b - \vec a$.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden.

    Lösung

    Allgemein sieht eine Geradengleichung in Parameterdarstellung wie folgt aus:

    $\vec x = \vec a + r \cdot (\vec b - \vec a)$

    Wir setzen die Ortsvektoren der gegebenen Punkte ein und erhalten die Geradengleichung.

    $\vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) + r \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 4 \\ -2 \\ 2 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \\ -1 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ -5 \\ 3 \end{array}\right)$

  • Berechne, ob die Schüler sich auf dem Weg zur Schule treffen.

    Tipps

    Stelle als Erstes die beiden Wege als Geradengleichungen dar, um anschließend durch die Gleichsetzung beider Geraden den Schnittpunkt zu berechnen.

    Das lineare Gleichungssystem kannst du mit Hilfe des Additions-, Einsetzungs- oder Gleichsetzungsverfahren lösen.

    Setze einen der berechneten Parameter in die dazugehörige Geradengleichung ein, um den Ortsvektor und somit die Koordinaten des Schnittpunktes herauszufinden.

    Wir müssen herausfinden, um wie viel Uhr jeweils beide Schüler am Schnittpunkt sind. Aber wie weit ist der Schnittpunkt überhaupt von ihren Wohnungen entfernt?

    Stelle die Gleichung zur Berechnung von Geschwindigkeiten nach der gesuchten Größe um.

    $v = \frac{s}{t}$

    Lösung

    a) Wir stellen die Geradengleichung für Nimas Weg auf.

    Gegeben sind die Punkte $Z_N(2|3)$ und $B(12|13)$.

    Somit ist die Grade $g: \vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right)$.

    Nun die Geradengleichung durch $Z_L(2|9)$ und $U(22|19)$ für Lauras Weg: $h: \vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ 10 \end{array}\right)$.

    Wir untersuchen, ob die beiden Geraden sich schneiden, indem wir die Gleichungen gleichsetzen:

    $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right) =\left(\begin{array}{c} 2 \\ 9 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} 20 \\ 10 \end{array}\right)$

    $ \begin{align*} \text{I.} \qquad 2+ 10r &= 2+20s \\ \text{II.}\qquad 3+10r &= 9+10s \\ \\ \text{I.}+(-1)\cdot \text{II.}\qquad -1 &= -7 +10s \\ s&=0,6 \\ \\ \text{s in I.} \qquad 2+10r &= 2+20\cdot 0,6 \\ r&=1,2 \\ Probe:\qquad 3+12 &= 9 + 6\\ 15&=15 \end{align*} $

    Durch das Einsetzen eines Parameters in die zugehörige Geradengleichung erhalten wir den Ortsvektor und somit die Koordinaten des Schnittpunktes: $\vec x = \left(\begin{array}{c} 2 \\ 3 \end{array}\right) + 1,2 \cdot \left(\begin{array}{c} 10 \\ 10 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 14 \\ 15 \end{array}\right) \implies S(14|15)$.

    b) Um die Uhrzeit herauszufinden, wann die Schüler jeweils am Schnittpunkt sind, müssen wir erst wissen, wie weit ihr Weg von zu Hause bis zum Punkt $S(14|15)$ ist. Wir berechnen also die Länge der Vektoren $\overrightarrow{ Z_NS}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ 12 \end{array}\right)$ und $\overrightarrow{Z_LS}= \left(\begin{array}{c} 12 \\ 6 \end{array}\right)$:

    $|\overrightarrow{ Z_NS}| = \sqrt{12^2+12^2} = 12 \cdot \sqrt{2} \approx 16,97 = 169,7~m$

    $|\overrightarrow{Z_LS}| = \sqrt{12^2+ 6^2} = 6 \cdot \sqrt{5} \approx 13,42 = 134,2~m$

    Nun berechnen wir die jeweils benötigte Zeit mit $v = \frac{s}{t} \Leftrightarrow t = \frac{s}{v}$:

    $t_N=\frac{169,7~m}{300\frac{m}{min}} \approx 0,57~min = 34~s$

    $t_L=\frac{134,2~m}{60\frac{m}{min}} \approx 2,24~min = 2~min~14~s$

    Laura ist um $7:32:14$ Uhr und Nima ist um $7:35:34$ Uhr am Schnittpunkt, somit ist Laura früher daran vorbei gelaufen und sie treffen sich tatsächlich nicht auf dem Weg zur Schule.

  • Bestimme bei den Geraden jeweils die passende Bedingung und Lagebeziehung.

    Tipps

    Welche Bedingungen gehören zu welchen Lagebeziehungen? Ordne sie paarweise den gegebenen Geraden zu.

    Prüfe die Geraden erst auf Parallelität, bevor du sie gleichsetzt und einen möglichen Schnittpunkt berechnest.

    Parallel sind Geraden, deren Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind.

    Lösung

    Es gibt vier verschiedene Lagen, die zwei Geraden zueinander haben können.

    1. Bei windschiefe Geraden muss gelten, dass $\vec u \nparallel \vec v , g \cap h = \emptyset$. Ihre Richtungsvektoren sind nicht parallel und sie besitzen keinen Schnittpunkt.
    2. Für schneidende Geraden muss gelten, dass $\vec u \nparallel \vec v$. Zwei Geraden sind sich schneidende Geraden, wenn ihre Richtungsvektoren nicht parallel sind, sie jedoch einen Schnittpunkt besitzen.
    3. Echt parallele Geraden: $\vec u \parallel \vec v, A \notin h, B \notin g$. Es gilt, dass die Richtungsvekoren Vielfache voneinander sind, sie aber keine gemeinsamen Punkte besitzen.
    4. Bei identischen Geraden gilt, dass $\vec u || \vec v, A \in h, B \in g$. Zwei Geraden sind identische Geraden, wenn ihre Richtungsvektoren Vielfache voneinander sind und alle Punkte der einen Gerade jeweils auf der anderen Geraden liegen.
  • Untersuche die Lage der Geraden zueinander. 

    Tipps

    Prüfe immer als Erstes, ob die Richtungsvektoren parallel zueinander sind.

    Den Schnittpunkt zweier Geraden berechnet man, indem man sie gleichsetzt und ein lineares Gleichungssystem aufstellt.

    Können Geraden in einer Ebene windschief sein?

    Lösung

    Zwei Geraden in einer Ebene können niemals windschief zueinander sein, da windschiefe Geraden stets in unterschiedlichen Ebenen liegen müssen, um sich nicht zu schneiden und nicht parallel zu sein. Somit können wir diese Lagebeziehung in allen Fällen ausschließen.

    Wir prüfen also als Erstes, ob die Geraden

    $g_1: \vec x = \left(\begin{array}{c} 8 \\ 2 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 23 \\ -23 \end{array}\right)$ und

    $h_1: \vec x = \left(\begin{array}{c} 5 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 5 \end{array}\right)$

    parallel sind.

    Es muss gelten, dass $\vec u = k \cdot \vec v, k\in \mathbb{R}$, doch

    $\left(\begin{array}{c} 23 \\ -23 \end{array}\right) \neq k \cdot \left(\begin{array}{c} -4 \\ 5 \end{array}\right)$

    Somit müssen die Geraden sich schneiden. Den Schnittpunkt kann man berechnen, indem man die Geraden gleichsetzt, das lineare Gleichungssystem löst und anschließend einen Parameter r oder s in die jeweilige Gleichung einsetzt. Man erhält den Ortsvektor des Schnittpunktes und somit seine Koordinaten.

    Die Geraden

    $g_2: \vec x = \left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right)$ und

    $h_2: \vec x = \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 4,5 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$

    sind echt parallel, da ihre Richtungvektoren kollinear sind:

    $\left(\begin{array}{c} 2 \\ 6 \\ -4 \end{array}\right) = -2 \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$,

    und weil der Stützvektor der einen Gerade nicht in der anderen Gerade liegt:

    $\left(\begin{array}{c} -2 \\ 3 \\5 \end{array}\right) \neq \left(\begin{array}{c} 0 \\ 6 \\ 4,5 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ -3 \\ 2 \end{array}\right)$

    Auf dieselbe Weise ermitteln wir die Lage der Gerade $g_3$ und $h_3$.

  • Bestimme die Geradengleichungen und die Lagebeziehungen.

    Tipps

    Wie berechnet man den Richtungsvektor einer Geraden, wenn zwei Punkte der Geraden gegeben sind?

    Allgemeine Geradengleichung in Parameterdarstellung: $\vec x = \vec a + r \cdot (\vec b - \vec a)$.

    Prüfe immer als Erstes, ob die Geraden parallel sind.

    Lösung

    Die allgemeine Geradengleichung in Parameterdarstellung sieht wie folgt aus:

    $\vec x = \vec a + r \cdot (\vec b - \vec a)$

    Wir setzen die Ortsvektoren der gegebenen Punkte ein und erhalten so nacheinander beide Geradengleichungen.

    $g: \vec x = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 10 \\ 0 \\ 13 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right)$

    $h: \vec x = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left[\left(\begin{array}{c} 0 \\ 8 \\ -4 \end{array}\right) - \left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right)\right] = \left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) + s \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)$

    Wir prüfen als Erstes, ob die Richtungsvektoren $u$ und $v$ parallel sind:

    Es muss gelten, dass $u = k \cdot v ~~~, k\in \mathbb{R}$

    $\left(\begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right) = k \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 1 \\ -4 \end{array}\right)$

    Für $k=-2$ ist dies erfüllt, also sind die Geraden parallel. Nun müssen wir herausfinden, ob sie identisch oder echt parallel sind, indem wir ein $r$ finden, für das gilt:

    $\left(\begin{array}{c} 3 \\ 7 \\ 0 \end{array}\right) = \left(\begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 5 \end{array}\right) + r \cdot \left(\begin{array}{c} 6 \\ -2 \\ 8 \end{array}\right)$

    Dafür stellen wir ein lineares Gleichungssystem auf und berechnen $r$:

    $ \begin{align*} \text{I.} \qquad 3 &= 4 + 6r \\ \text{II.}\qquad 7 &= 2 - 2r \\ \text{III.} \qquad 0 &= 5 + 8r \\ \\ \text{I.} \qquad r &= - \frac{1}{6} \\ \text{II.}\qquad r &= - 2,5 \\ \text{III.} \qquad r &= - \frac{5}{8} \\ \implies C \notin g \end{align*} $

    Die Geraden sind also echt parallel.