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Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren

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Team Digital
Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren
lernst du in der 10. Klasse - 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Grundlagen zum Thema Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren

Nach dem Schauen dieses Videos wirst du in der Lage sein, selbst Vektoren mit Skalaren multiplizieren zu können.

skalare Multiplikation berechnen

Zunächst lernst du, was die skalare Multiplikation geometrisch bedeutet. Anschließend klären wir die Frage, warum wir diese Rechenoperation ausgerechnet “skalare Multiplikation” nennen. Abschließend erfährst du, wie die skalare Multiplikation im dreidimensionalen Raum ausgeführt wird.

skalare Multiplikation im dreidimensionalen Koordinatensystem

Das Video beinhaltet Schlüsselbegriffe, Bezeichnungen und Fachbegriffe wie der Skalar, skalare Multiplikation, reelle Zahl, Vektor, Vektorkoordinaten, kollinear.

skalare Multiplikation

Bevor du dieses Video schaust, solltest du bereits Grundlagenwissen zu Vektoren haben.

Nach diesem Video wirst du darauf vorbereitet sein, dich dem Thema “Linearkombination” zu widmen und Weiteres über die analytische Geometrie zu lernen.

Transkript Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren

„Die skalare Multiplikation.“ Da geht es natürlich um die Vermehrung von Skalaren. Diese tropischen Amazonasfische multiplizieren sich echt wie die Karnickel. uralte, fast vergessene Rechenkunst aus Island? „Vielfache von Vektoren“ zu bilden. Das wollen wir uns doch mal genauer anschauen. Vektoren: Die elegante Darstellung einer Verschiebung von Punkten, die durch ihre Länge und ihre Richtung eindeutig bestimmt sind. Wir werden nun live sehen können, wie ein Vektor vervielfacht wird. Dieser stattliche Bursche wird nun verdoppelt! Und dieser Superstar kann sogar verdreifacht werden!! wir sehen nun die Weltpremiere einer Halbierung. Spaß beiseite. Wie funktioniert jetzt das Ganze? Beim Verdoppeln eines Vektors, ist der neue Vektor am Ende zweimal so lang. Schauen wir uns das Ganze mal im Koordinatensystem an. Das ist der Vektor „drei, eins“. Wenn wir diesen mit zwei multiplizieren, strecken wir ihn. Multiplizieren wir ihn dagegen mit einer Zahl kleiner als eins, zum Beispiel ein Drittel, stauchen wir ihn. So weit, so gut, oder? Und dann gibt es ja auch noch die negativen Zahlen. Multiplizieren wir also einen Vektor mit „minus zwei“, wird der Vektorpfeil durch das Minus umgekehrt. Das heißt, er verläuft in die entgegengesetzte Richtung und verlängert sich. Ob verkürzen, verlängern oder umkehren - durch die Multiplikation mit einem Zahlenwert können wir den Vektor skalieren. Deshalb werden diese Zahlenwerte auch skalare genannt. Wenn wir also bei der „skalaren Multiplikation“ Vektoren mit einer reellen Zahl multiplizieren, bilden wir das Vielfache eines Vektors. Dabei bedeutet „Vielfache“ natürlich nicht nur die Vergrößerung, also Streckung, des Vektors. Wir haben eben auch gesehen, dass wir mit der skalaren Multiplikation den Vektor auch stauchen oder sogar umkehren können. Wir verändern dabei also die Länge des Vektorpfeils, aber nicht seine Richtung, es sei denn wir multiplizieren mit einer negativen Zahl. Bei der ganzen Aktion müssen wir an einer Stelle besonders aufpassen: wenn wir einen Vektor mit Null multiplizieren, erhalten wir den Nullvektor. Durch diese Multiplikation ändern wir nicht nur die Länge des Vektorpfeils, sondern machen auch seine Richtung komplett zunichte. Jetzt müssen wir nur noch kurz klären, wie man die skalare Multiplikation ausrechnet. Unser Vektor „drei, eins“ verläuft ja drei Einheiten nach rechts und eine nach oben. Verdoppeln wir ihn, verdoppelt sich auch die Anzahl der Einheiten nach rechts und nach oben. Das heißt, jede einzelne Komponente des Vektors verdoppelt sich. Bei der skalaren Multiplikation müssen wir also jede einzelne Vektorkoordinate mit dem gleichen Faktor multiplizieren. Das schauen wir uns am besten auch noch im dreidimensionalen Koordinatensystem an mit dem Vektor „zwei, drei, zwei“. Hier gilt das gleiche Prinzip. Wenn wir Vektoren vervielfachen, ändern sich alle Vektorkoordinaten um den gleichen Faktor. Egal ob wir ihn strecken, stauchen, oder umkehren. Übrigens sind Vektoren ja gar nicht ortsgebunden, sondern können überall platziert werden. Dann sind natürlich alle Vektoren, die parallel zueinander sind, auch automatisch Vielfache voneinander. Man nennt parallele Vektoren dann übrigens kollinear. Bei diesen beiden Vektoren kann man das verkürzt so schreiben. Oder so, wenn sie parallel zueinander sind, aber in unterschiedliche Richtungen zeigen. Gut, dann fassen wir das Ganze nochmal schnell zusammen. Bei der skalaren Multiplikation wird ein Vektor mit einer reellen Zahl multipliziert. Sie wird auch Skalar genannt. Dabei werden alle Vektorkoordinaten komponentenweise mit dem Skalar multipliziert. Das Ergebnis ist also wieder ein Vektor. Dieser resultierende Vektor heißt dann „skalares Vielfaches“. Ist der Skalar betragsmäßig größer als eins, wird der Vektorpfeil länger. Ist der Betrag des Skalars kleiner als eins, wird er kürzer. Bei einem negativen Skalar kehrt sich außerdem die Pfeilrichtung um. Bei der Multiplikation mit Null erhalten wir den Nullvektor. Alle Vielfachen von Vektoren sind zueinander parallel. Das nennt man auch kollinear. Dafür gibt es eine spezielle Schreibweise. Gut, dass wir das Rätsel um die Skalare nun gelöst haben. In diesem Sinne, alles skalar?

1 Kommentar
1 Kommentar
  1. Das skalarprodukt wurde noch nicht behandelt aber in der Aufgabe schon vorausgesetzt. Sonst war alles sehr schlüssig erklärt.

    Von Michael, vor etwa einem Jahr

Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Skalare Multiplikation – Vielfache von Vektoren kannst du es wiederholen und üben.
  • Berechne die skalaren Multiplikationsaufgaben.

    Tipps

    Bei der skalaren Multiplikation multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar $r$, indem wir jede Koordinate des Vektors mit dem Skalar multiplizieren:

    $r \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a \\ r \cdot b \end{pmatrix}$

    Achte auf die richtigen Vorzeichen.

    Lösung

    Durch die skalare Multiplikation wird die Länge des Vektors verändert. Beispielsweise ist beim Verdoppeln eines Vektors der neue Vektor zweimal so lang.

    Konkret multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit der Zahl multiplizieren:
    $r \cdot \begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r \cdot a \\ r \cdot b \end{pmatrix}$

    Somit ergibt sich für die gegebenen skalaren Multiplikationen:

    1) $\quad 0,\!5 \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,\!5 \cdot 2 \\ 0,\!5 \cdot (-4) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -2 \end{pmatrix}$

    2)$\quad 4 \cdot \begin{pmatrix} 0,\!25 \\ -1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 \cdot 0,\!25 \\ 4 \cdot (-1) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$

    3)$\quad -1\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -0,\!5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \cdot 2 \\ -1 \cdot (-0,\!5) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 0,\!5 \end{pmatrix}$

    4)$\quad -\dfrac{1}{4} \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\frac{1}{4} \cdot 4 \\ -\frac{1}{4} \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -1 \\ 0,\!5 \end{pmatrix}$

    5)$\quad 2\cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 0,\!5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \cdot (-1) \\ 2 \cdot 0,\!5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$

  • Beschreibe die skalare Multiplikation von Vektoren.

    Tipps

    Beispiel:

    $1,\!5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 \\ 9\\ -3 \end{pmatrix}$

    Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag größer als $1$ ist, so verlängert sich der Vektor.

    Lösung

    Ein Vektor wird durch einen Pfeil dargestellt, der durch seine Länge und Richtung eindeutig bestimmt ist.

    Durch die skalare Multiplikation wird die Länge des Vektors verändert. Beispielsweise ist beim Verdoppeln eines Vektors der neue Vektor zweimal so lang.

    Allgemein gilt:

    • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag größer als $1$ ist, so verlängert sich der Vektor (Streckung).
    • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag kleiner als $1$ ist, so verkürzt sich der Vektor (Stauchung).
    • Multiplizieren wir mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Richtung des Vektors um.
    Konkret multiplizieren wir einen Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit der Zahl multiplizieren.

    Beispiel:

    Wir multiplizieren den Vektor $\begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix}$ mit der Zahl $0,\!5$. Wir rechnen:

    $0,\!5 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 6 \\ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0,\!5 \cdot4 \\ 0,\!5 \cdot6 \\ 0,\!5 \cdot (-2) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 3\\ -1 \end{pmatrix}$

    Der Vektor wurde dadurch verkürzt und seine Richtung wurde beibehalten.

  • Bestimme den Faktor der skalaren Multiplikation.

    Tipps

    Du kannst den Faktor bestimmen, indem du die eine Vektorkoordinate des Ergebnisses durch eine Vektorkoordinate des vorderen Vektors teilst.

    $5 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 4\\ 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 20\\ 15 \end{pmatrix}$, weil $5:1=5$ und $20:4=5$ und $15:3=5$

    Lösung

    Wir multiplizieren einen Vektor mit einem Skalar, also einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit der Zahl multiplizieren. Wir können also andersherum den Faktor bestimmen, indem wir die eine Vektorkoordinate des Ergebnisses durch eine Vektorkoordinate des vorderen Vektors teilen.

    Somit ergibt sich:

    • $2:1=2$ und $6:3=2$ und $-4:(-2)=2$
    $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{2} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 3\\ -2 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 2 \\ 6\\ -4 \end{pmatrix}$
    • $6:(-2)=-3$ und $-12:4=-3$ und $-1,\!5:0,\!5=-3$
    $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{-3} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} -2 \\ 4\\ 0,\!5 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 6 \\ -12\\ -1,\!5 \end{pmatrix}$
    • $1:5=0,\!2$ und $-2:(-10)=0,\!2$
    $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{0,\!2} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -10\\ 0 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 1 \\ -2\\ 0 \end{pmatrix}$
    • $-1:2=-0,\!5$ und $-2:4=-0,\!5$
    $\quad \Rightarrow \quad \color{#669900}{-0,\!5} \color{black}\cdot \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ 4\end{pmatrix} =\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ -2 \end{pmatrix}$
  • Entscheide, welche Vektoren parallel sind.

    Tipps

    Zwei Vektoren sind genau dann parallel, wenn sie skalare Vielfache voneinander sind.

    Beispiel:

    $\begin{pmatrix} 5 \\ 3\\ 1\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \begin{pmatrix} 15 \\ 9\\ 3\end{pmatrix} $, da $\begin{pmatrix} 5 \\ 3\\ 1\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} 15 \\ 9\\ 3\end{pmatrix}$.

    Lösung

    Vektoren sind durch ihre Länge und Richtung definiert. Vektoren sind nicht ortsgebunden. Zwei Vektoren sind genau dann parallel ($\uparrow \uparrow$ oder $\uparrow \downarrow$), wenn sie skalare Vielfache voneinander sind. Wir unterscheiden zwischen $\uparrow \uparrow$ und $\uparrow \downarrow$, je nach dem, ob die beiden Vektoren in die gleiche Richtung zeigen oder nicht.

    Wir müssen also für jeden Vektor prüfen, von welchem gegebenen Vektor er ein Vielfaches ist. Somit ergibt sich:

    $ \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -2\end{pmatrix}}$, da $ \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot 0,\!5 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0\\ -2\end{pmatrix}$.

    $ \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -6\end{pmatrix}}$, da $ \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot \frac{3}{2} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0\\ -6\end{pmatrix}$.

    $ \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{lightskyblue}{\begin{pmatrix} 0,\!5 \\ 0\\ -1\end{pmatrix}}$, da $ \begin{pmatrix} 2 \\ 0\\ -4\end{pmatrix} \cdot 0,\!25 = \begin{pmatrix} 0,\!5 \\ 0\\ -1\end{pmatrix}$.


    $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{violet}{\begin{pmatrix} -2 \\ 0\\ 6\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \cdot 2 = \begin{pmatrix} -2 \\ 0\\ 6\end{pmatrix}$.

    $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{violet}{\begin{pmatrix} -3 \\ 0\\ 9\end{pmatrix}} $, da $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 3\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} -3 \\ 0\\ 9\end{pmatrix}$.


    $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \uparrow \downarrow \color{gold}{\begin{pmatrix} -1,\!5 \\ -1\\ -0,\!5\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \cdot (-0,\!5) = \begin{pmatrix} -1,\!5 \\ -1\\ -0,\!5\end{pmatrix}$.

    $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \uparrow \uparrow \color{gold}{\begin{pmatrix} 4,\!5 \\ 3\\ 1,\!5\end{pmatrix}}$, da $\begin{pmatrix} 3 \\ 2\\ 1\end{pmatrix} \cdot 1,\!5 = \begin{pmatrix} 4,\!5 \\ 3\\ 1,\!5\end{pmatrix}$.


    Die Vektoren $\begin{pmatrix} -1 \\ 0\\ 4\end{pmatrix}$ und $\begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 1\end{pmatrix}$ sind zu keinem der gegebenen Vektoren parallel.

  • Gib an, wie die Multiplikation mit einem Skalar den Vektor $\vec{v}$ verändert.

    Tipps

    Multiplizieren wir einen Vektor mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Richtung des Vektors um.

    Hier siehst du verschiedene skalare Multiplikationen des Vektors $\vec{v}$:

    Lösung

    Ein Vektor wird durch Länge und Richtung charakterisiert.

    Durch die skalare Multiplikation wird die Länge des Vektors verändert. Beispielsweise ist beim Verdoppeln eines Vektors der neue Vektor zweimal so lang.

    Allgemein gilt:

    • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag größer als $1$ ist, so verlängert sich der Vektor (Streckung).
    • Multiplizieren wir mit einer Zahl, deren Betrag kleiner als $1$ ist, so verkürzt sich der Vektor (Stauchung).
    • Multiplizieren wir mit einer negativen Zahl, so kehrt sich die Richtung des Vektors um.
    $\quad$

    Für die gegebenen Multiplikationen ergibt sich also:

    • $ 1,\!4 \cdot \vec{v}$
    Der Faktor ist positiv und größer als $1$.
    $\Rightarrow$ Streckung (Verlängerung) des Vektors ohne Änderung der Richtung

    • $ -\dfrac{2}{3} \cdot \vec{v}$
    Der Faktor ist negativ und sein Betrag ist kleiner als $1$.
    $\Rightarrow$ Umkehrung und Stauchung (Verkürzung) des Vektors

    • $ -2 \cdot \vec{v}$
    Der Faktor ist negativ und sein Betrag ist größer als $1$.
    $\Rightarrow$ Umkehrung und Streckung (Verlängerung) des Vektors

    • $ 0,\!2 \cdot \vec{v}$
    Der Faktor ist positiv und kleiner als $1$.
    $\Rightarrow$ Stauchung (Verkürzung) des Vektors ohne Änderung der Richtung

  • Überprüfe die Multiplikationsaufgaben mit Vektoren.

    Tipps

    Der Nullvektor lautet $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$.

    Überprüfe, ob alle Vektorkoordinaten richtig multipliziert wurden.

    Lösung

    Bei der skalaren Multiplikation multiplizieren wir einen Vektor mit einer Zahl, indem wir jede Vektorkoordinate mit dieser Zahl multiplizieren. Bei der Multiplikation mit Null entsteht der Nullvektor $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$.

    Wir überprüfen damit die Rechnungen:

    • $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$
    Falsch! – Wir müssen jede Vektorkoordinate mit der Zahl $-1$ multiplizieren und erhalten:
    $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} -1 \\ -1\\ -1\end{pmatrix} $


    • $0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \cdot (-1) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$
    Richtig! – Wir können die beiden Skalare zusammenfassen und erkennen:
    $0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} \cdot (-1) = 0 \cdot (-1) \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} = 0 \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \\ 2\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$


    • $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} $
    Falsch! – Bei der Multiplikation zweier Vektoren, dem sogenannten Skalarprodukt, ist das Ergebnis eine Zahl:
    $\begin{pmatrix} 1 \\ 1\\ 1\end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} = 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 + 1 \cdot 0 = 0$


    • $\begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix} \cdot 3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$
    Richtig! – Wenn wir jede Vektorkoordinate, also jeweils die $0$ mit $3$ multiplizieren, erhalten wir $0 \cdot 3=0$, insgesamt also wieder den Nullvektor.


    • $0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 2\\ 3\end{pmatrix}$
    Falsch! – Hier wurde nur die erste Vektorkoordinate multipliziert. Korrekt lautet die Rechnung:
    $0 \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0\\ 0\end{pmatrix}$

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