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Rechnen mit Vektoren

In der analytischen Geometrie lernst du Vektoren kennen. Du kannst mit Vektoren auch rechnen ... sogar so ähnlich wie du es von den reellen Zahlen kennst.

Überblick

Vektoren beschreiben Bewegungen oder Verschiebungen in der Ebene ($\mathbb{R}^{2}$) oder im Raum ($\mathbb{R}^{3}$). Du sprichst dann entsprechend von zweidimensionalen oder dreidimensionalen Vektoren.

Im Folgenden lernst du verschiedene Rechenoperationen für Vektoren kennen. Dabei kannst du immer wieder auf die entsprechenden Operationen im Eindimensionalen, also der Menge der reellen Zahlen $\mathbb{R}$, zurückgreifen.

Am Ende erhältst du noch einen Ausblick über weitere Rechenoperationen für Vektoren.

Vektoraddition und Vektorsubtraktion

Du kannst Vektoren addieren oder auch subtrahieren. Hierfür müssen sie allerdings aus dem gleichen Vektorraum kommen. Was bedeutet das konkret? Du kannst zum Beispiel einen zweidimensionalen Vektor nicht zu einem dreidimensionalen addieren. Umgekehrt heißt das, dass die Vektoren entweder alle zwei- oder dreidimensional sein müssen.

Die Addition von Vektoren

Du addierst zwei Vektoren, indem du die einzelnen Koordinaten der Vektoren addierst. So erhältst du wieder einen Vektor, den Summenvektor.

Schau dir ein Beispiel an:

$\begin{pmatrix} 1\\ -1\\3 \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 4 \\ 1\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1+4\\ -1+1\\3-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\\ 0\\1 \end{pmatrix}$

Die anschauliche Bedeutung der Vektoraddition kannst du hier im Bild sehen:

1155_Vektoraddition.jpg

Die Subtraktion von Vektoren

Bei der Subtraktion gehst du ähnlich vor: Du subtrahierst die Vektoren koordinatenweise. Du erhältst als Ergebnis den Differenzvektor.

Am besten verstehst du dies an einem Beispiel:

$\begin{pmatrix} 2\\ 1\\5 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 4 \\ 4\\-6 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 2-4\\ 1-4\\5-({-6}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} -2\\ -3\\11 \end{pmatrix}$

Die Vektorsubtraktion kannst du dir auch so vorstellen: $\vec a-\vec b=\vec a+\left(-\vec b\right)$. Du addierst also zu $\vec a$ den Gegenvektor $-\vec b$ von $\vec b$. Der Gegenvektor zeigt genau in die entgegengesetzte Richtung des Vektors.

Skalare Multiplikation

Du kannst einen Vektor auch mit einer Zahl multiplizieren. In der analytischen Geometrie werden Zahlen auch als Skalare bezeichnet. Daher kommt auch der Name skalare Multiplikation. Hierfür multiplizierst du jede Koordinate eines Vektors mit dem Skalar. Du erhältst dann ein Vielfaches eines Vektors.

Hierfür schauen wir uns ein Beispiel an:

$5\cdot\begin{pmatrix} 3\\ 1\\-2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 5\cdot 3 \\ 5\cdot 1\\5\cdot({-2}) \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 15\\ 5\\-10 \end{pmatrix}$

Übrigens, wenn ein Vektor sich als Vielfaches eines anderen Vektors darstellen lässt, heißen die beiden Vektoren kollinear.

Schließlich kannst du alle nun gelernten Operationen auch gemeinsam durchführen. Im Folgenden Bild sei $\vec a$ der blaue, $\vec b$ der gelbe und $\vec c$ der violette Pfeil. Dann erhältst du durch $2\cdot \vec a+6\cdot \vec b+3\cdot \vec c$ eine Linearkombination oder auch Vektorzug aus den Vektoren $\vec a$, $\vec b$ und $\vec c$.

1155_Vektorzug.jpg

Rechengesetze

Wir schauen uns nun noch Rechengesetze an:

Das Kommutativgesetz

Das Kommutativgesetz kennst du vielleicht auch als Vertauschungsgesetz: Bei der Vektoraddition darfst du die Reihenfolge vertauschen: $\vec a+\vec b=\vec b+\vec a$.

Das Assoziativgesetz

Das Assoziativgesetz bei der Vektoraddition besagt, dass du entscheiden kannst, welche Vektoren du zuerst addierst. Manchmal kannst du damit eine Rechnung vereinfachen: $\left(\vec a+\vec b\right)+\vec c=\vec a+\left(\vec b+\vec c\right)$.

Das Distributivgesetz

Hier gelten zwei Distributivgesetze, je nachdem ob du Vektoren oder Skalare addierst:

  • $r\cdot \left(\vec a+\vec b\right)=r\cdot \vec a+r\cdot \vec b$
  • $(r+s)\cdot \vec a=r\cdot \vec a+s\cdot \vec a$

Das Distributivgesetz gilt übrigens auch, wenn du jeweils das Plus- durch ein Minuszeichen ersetzt.

Ausblick

Es gibt noch zwei weitere Rechenoperationen für Vektoren, welche allerdings hier nicht weiter behandelt werden:

  • Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert als Ergebnis ein Skalar (eine Zahl). Daher kommt der Name.
  • Das Kreuzprodukt oder auch Vektorprodukt zweier Vektoren liefert einen Vektor. Dieser Vektor steht senkrecht auf den beiden miteinander multiplizierten Vektoren.

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