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Normalengleichung in der Ebene 12:36 min

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Transkript Normalengleichung in der Ebene

Hallo, ich bin Giuliano und ich möchte dir heute zwei Darstellungsformen von Geraden im R2 beziehungsweise in der Ebene zeigen. Als erstes möchte ich dir die Parametergleichung einer Geraden zeigen. Dazu nehmen wir einen Stützvektor p und addieren t-mal einen Richtungsvektor, den ich hier als v bezeichne. Durch dieses t, also p + t * v gelange ich an einen Punkt auf einer Geraden, die ist dort auch wieder eingezeichnet. Und dann lautet insgesamt die Parametergleichung g: x Vektor, wobei x ein beliebiger Punkt der Geraden ist beziehungsweise ein Ortsvektor, das heißt also, x steht dann da für die beiden Koordinaten x und y, gleich p, also Stützvektor, plus t-mal, also eine bestimmte Zahl, die nennt man Parameter, mal den Richtungsvektor v. Hier unten seht ihr jetzt auch einmal die Formel eingeblendet. Die zweite Darstellungsform, die ich dir zeigen möchte, ist die sogenannte Normalenform beziehungsweise am Ende die Normalengleichung. Ihr seht hier wieder auch die Ebene oder in dem Fall die x-y-Ebene. Wir nehmen wieder einen Stützvektor p und diesmal einen beliebigen Vektor x, also ein beliebiger Ortsvektor x eines Punktes, der auf dieser Geraden liegen soll. Dann werden wir den Verbindungsvektor zwischen diesem Punkt P, also dem Stützvektor, also dem Ortsvektor zu dem Punkt P, das ist der Stützvektor, und dem beliebigen Punkt x auf der Geraden berechnen. Das ist dann x - p. Und dann sieht man eben, dass entlang dieser Richtung x - p die Gerade g entsteht. Bei der Normalengleichung wird jetzt, wie der Name schon sagt, ein Normalenvektor gesucht, den habe ich jetzt hier eingezeichnet, der eine besondere Eigenschaft hat. Und zwar ist dieser Normalenvektor, der soll jetzt orthogonal zu der Geraden g sein. Das seht ihr jetzt hier auch einmal eingeblendet. Und dann gilt aufgrund der Definition des Skalarprodukts, dass eben dieser Verbindungsvektor zwischen x und p, das heißt, Vektor x minus Vektor p mal, also im Skalarprodukt, mit diesem Vektor n gleich null ist, weil er eben orthogonal ist beziehungsweise einen Winkel von 90 Grad aufspannt. Diese beiden Formen sind zwei Darstellungsformen von Geraden in der Ebene. Und das möchte ich jetzt euch einmal zeigen, wie man von der Parametergleichung in die Normalengleichung kommt. Dazu nehmen wir ein Beispiel. So, das Beispiel ist: Wir haben einen Punkt A (3|4) und einen Punkt B (0|8). Und wir wollen jetzt eben erstmal eine Parametergleichung aufstellen, das heißt, x gleich, dazu nehmen wir als Stützvektor den Ortsvektor von A plus t-mal den Verbindungsvektor AB, den wir dann als Richtungsvektor der Geraden benutzen. Das ergibt dann also: OA ist einfach nur (3|4) + t * AB. 0 – 3 = -3, 8 – 4 = 4. Das ist der erste Schritt, den wir tun. Der zweite Schritt ist folgender: Wir müssen jetzt in der Normalengleichung, wie ihr das seht, einen Normalenvektor finden, der orthogonal zu dieser Geraden ist. Und dieser orthogonale Vektor n, der besitzt eben die Eigenschaft, n nenne ich jetzt mit den Koordinaten n1 und n2, der besitzt die Eigenschaft, dass n mal dem Richtungsvektor (-3|4), das eben null ergibt aufgrund der Definition des Skalarprodukts. Das bedeutet, man erhält eine Gleichung n1 * (-3) + 4 * n2, nach der Definition des Skalarprodukts, erhalten wir dann also eine Gleichung mit zwei Variablen. Und nun können wir eben frei wählen, wie dieses n aussieht. Und ich nehme jetzt idealerweise für n1 = 4, dann steht hier minus zwölf. Plus wie viel ist null? Dann muss das hier plus zwölf sein, also nehme ich für n2 drei. Das heißt, der Normalenvektor wäre jetzt (4|3). Das heißt, mit Hilfe des Stützvektors, den wir hier oben schon gewählt haben, OA, können wir jetzt die Normalengleichung aufstellen. Das heißt, die Gerade g kann man auch alternativ schreiben: x - P, dafür nehmen wir dann eben den Ortsvektor von A, (3|4), eckige Klammer, damit man das deutlich unterscheiden kann, mal den Normalenvektor (4|3), das Mal entspricht natürlich dem Skalarprodukt, gleich null. Gleich möchte ich mit dir einmal den umgekehrten Weg gehen, wenn man die Normalengleichung hat, wie man dann auf die Parametergleichung kommt. Jetzt möchte ich mit dir zusammen die Normalengleichung in die Parametergleichung umformen. Dazu nehmen wir folgendes Beispiel: Und zwar die Gerade g mit der Normalengleichung x * (-2|1) mal den Normalenvektor (3|1) gleich null. Als erstes lesen wir einfach den Stützvektor (-2|1) ab, den wir jetzt P nennen. Und dann brauchen wir nur noch, um die Parametergleichung zu erhalten, den Richtungsvektor v, den ich jetzt mit den allgemeinen Koordinaten v1 und v2 bezeichne. Jetzt gilt aufgrund der Orthogonalität von n und der Gerade g, dass das Skalarprodukt zwischen v und dem Normalenvektor n, also in diesem Falle (3|1), eben null ist. Das ergibt ein Gleichungssystem mit zwei Variablen: 3 * v1 + v2 = 0. Und jetzt dadurch, dass wir eine Gleichung mit zwei Variablen haben, kann ich mir eine wählen und dann die Gleichung nach der anderen umformen. Das heißt, ich kann jetzt v wie folgt wählen: v1, sage ich jetzt, ist -1 , dann steht hier eine -3. Plus wie viel ist null? Dann muss v2 nämlich plus drei sein, also -3 + 3 = 0. Dadurch ist eben diese Gleichung erfüllt. Zum Schluss können wir jetzt ganz konkret die Parametergleichung angeben, also x gleich Stützvektor, (-2|1) plus t beziehungsweise plus Parameter mal Richtungsvektor,(-1|3). Als letztes möchte ich dir einmal zeigen, wie man die Normalengleichung im Raum anwenden kann. Momentan haben wir diese beiden Darstellungsformen in der Ebene und gleich gucken wir uns einmal an, was das für Auswirkungen auf den Raum hat. Jetzt möchte ich einmal mit dir zusammen die Parametergleichung einer Geraden im Raum in die Normalengleichung einer Geraden im Raum umwandeln. Dazu betrachten wir uns hier erstmal die Ebene. Diese Ebene hat drei Koordinaten, x1, x2 und x3. Ihr könnt alternativ x, y, z sagen. Dann nehmen wir einen Stützvektor p und einen Richtungsvektor v und erhalten so eine Gerade. Nun brauchen wir also einen Normalenvektor, der eben orthogonal zu der Geraden g ist. Dazu berechnen wir erstmal ein Beispiel. Also, wir nehmen ein Beispiel und zwar die Parametergleichung einer Geraden im Raum mit x = (-1|3|2) + t * (3|7|2). Jetzt müssen wir einen Normalenvektor n mit den allgemeinen Koordinaten n1, n2 und n3 finden, der folgende Eigenschaften hat: Und zwar ist n im Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor (3|7|2). gleich null, das gilt wegen der Orthogonalität. Das ist also, wenn man so will, die erste Bedingung. Das hier lässt eine Gleichung entstehen, 3n1 + 7n2 + 2n3 = 0. Wir haben hier eine Gleichung mit drei Variablen. Deswegen müssen wir zwei Variablen davon wählen, um auf die dritte zu kommen. Die Idee, die man hier hat, ist, dass man eine Variable null wählt. Dann hat man: Also, eine Koordinate beziehungsweise eine Variable wählt man null und formt dann die anderen beiden Variablen so um, dass die Gleichung erfüllt wird. Wir nehmen dafür einen Normalenvektor, den ich jetzt n0 nehme. Und zwar sagen wir, dass n3 null ist, dann haben wir eine Gleichung mit zwei Variablen. Das kennt ihr eben schon aus der Situation mit der Ebene. Wir nehmen dann für n1 minus sieben und für n2 drei. Dann haben wir eben hier -21 + 21 = 0, also ist die Gleichung erfüllt. Diesen Vektor n0 habe ich euch hier in der Zeichnung einmal eingezeichnet. Ihr seht die Gerade g und n0 ist orthogonal zu der Geraden g. Jetzt kann ich aber auch einen anderen Normalenvektor nehmen, n1. Und zwar mache ich jetzt nicht die dritte Koordinate, das heißt die dritte Variable in der Gleichung n3, gleich null, sondern die zweite, also n2 gleich null. Wieder derselbe Trick wie eben. Jetzt haben wir noch 3n1 + 2n2 = 0 da stehen. Wählen wir für n1 minus zwei und für n3 drei, dann haben wir einen zweiten Normalenvektor gefunden, den ihr hier in der Zeichnung noch einmal seht. Das heißt, wir haben jetzt zwei verschiedene Normalenvektoren mit zwei verschiedenen Richtungen, die beide orthogonal zu g sind. Das können wir natürlich jetzt mit weiteren Vektoren machen, mit weiteren Normalenvektoren, zum Beispiel n2, den wir dann als Gegenvektor von n0 nehmen, das heißt, da einfach das Vorzeichen wechseln, also (7|3|0). Und dann nehmen wir noch einen Vektor n3 mit den Koordinaten (2|0|-3). Und die sind hier auch einmal eingezeichnet. Alle vier Vektoren sind orthogonal zu g. Und jetzt möchte ich euch einmal nochmal anhand eines Modells klar machen, wie das im Raum eigentlich aussieht. Dazu nehme ich das hier. Hier seht ihr einen Stock, der wie dort im Bild die Gerade darstellt, und meine Pappröhrchen hier sind jetzt also die vier Normalvektoren, die wir gerade berechnet haben. Wenn ich jetzt diese Gerade drehe, dann seht ihr, dass annähernd ein Kreis entsteht mit dem Radius von diesen Pappröhrchen. Ja, und was jetzt eben passiert ist: Es gibt unendlich viele Normalvektoren von dieser Geraden g. Anhand dieser vier Vektoren seht ihr ja, dass alle Vektoren orthogonal zu der Geraden sind. Das bedeutet also, wir haben ein Problem, und zwar gibt es keinen einheitlichen Normalvektor für diese Gerade g, sondern eben unendlich. Das heißt aber gleichzeitig, dass es auch unendlich viele Normalengleichungen gibt, das heißt keine einheitliche Normalengleichung für eine Gerade im Raum. Deswegen ist diese Normalengleichung für Geraden im Raum eher unüblich beziehungsweise eher ungünstig. Jetzt möchte ich einmal nochmal wiederholen, was du heute alles gelernt hast: Am Anfang haben wir uns eine Parametergleichung der Geraden in der Ebene angesehen, danach die Normalengleichung in der Ebene angesehen und die Parametergleichung in die Normalengleichung umgeformt. Als zweites haben wir es dann anders herum gemacht, wir haben die Normalengleichung gehabt und in die Parametergleichung umgeformt. Und als letztes haben wir uns das Ganze einmal im Raum angesehen und erkannt, dass eben die Normalengleichung für Geraden im Raum eher ungünstig ist. Ich hoffe, dass du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal, dein Giuliano.

Normalengleichung in der Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalengleichung in der Ebene kannst du es wiederholen und üben.

  • Beschrifte die beiden Darstellungsformen einer Geraden in der Ebene.

    Tipps

    Der Normalenvektor der Geraden steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Wenn zwei Punkte gegeben sind, so wird der Verbindungsvektor dieser beiden Punkte aus der Differenz der Ortsvektoren gebildet.

    Lösung

    Die 1. Gleichung ist die Parametergleichung einer Geraden:

    $g:\vec x=\vec p+t\cdot \vec v$.

    • $\vec x$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
    • $\vec p$ ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines bekannten Punktes der Geraden.
    • $t \in \mathbb{R}$ ist der Parameter. Daher kommt der Name der Gleichung.
    • $\vec v$ ist der Richtungsvektor der Geraden.
    Die 2. Gleichung ist die Normalengleichung einer Geraden:

    $g:[\vec x-\vec p]\cdot \vec n=0$.

    • $\vec x$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
    • $\vec p$ ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines bekannten Punktes der Geraden.
    • Die Differenz dieser beiden Vektoren ist der Verbindungsvektor der beiden zugehörigen Punkte.
    • $\vec n$ ist der Normalenvektor. Er steht senkrecht auf der Geraden. Daher kommt der Name der Gleichung.

  • Schildere, wie man von einer Parametergleichung zu einer Normalengleichung kommt.

    Tipps

    Es gilt $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

    Der Ortsvektor eines Punktes $P(p_1|p_2)$ ist

    $\vec{OP}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$.

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ist. Umgekehrt gilt diese Aussage auch:

    $\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b=0$.

    Lösung

    Zunächst muss die Parametergleichung der Geraden aufgestellt werden:

    • der Stützvektor ist der Ortsvektor von einem der beiden Punkte:
    $\vec p=\vec{OA}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
    • der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor von $A$ und $B$:
    $\vec{AB}=\vec b - \vec a=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
    • Die Parametergleichung der Geraden ist damit gegeben:
    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

    Nun kann die Normalengleichung aufgestellt werden. Der Stützvektor $\vec p$ ist bereits bekannt, gesucht ist noch der Normalenvektor. Dieser steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden, also gilt

    $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0$.

    • Die Berechnung des Skalarproduktes führt zu der Gleichung $-3n_1+4n_2=0$. In dieser Gleichung sind zwei Unbekannte, das heißt, dass eine gewählt werden kann. Sei $n_1=4$, so ergibt sich mit $-3\cdot 4+4n_2=0$, dass $n_2=3$ ist.
    • Damit ist die Normalengleichung vollständig:
    $g:\left[ \vec x - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=0$.

  • Bestimme die Normalengleichung.

    Tipps

    Die Darstellung einer Ebene mit der Normalengleichung ist nicht eindeutig, da

    • der Ortsvektor jedes Punktes der Geraden Stützvektor sein kann und
    • der Normalenvektor nicht eindeutig ist.

    Gilt $\vec v \perp \vec n$, so gilt auch $k\cdot \vec v \perp \vec n$.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Lösung

    Der Normalenvektor $\vec n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}$ soll senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden $g$ stehen. Dies führt zu der Gleichung $5n_1+4n_2=0$. Zu jedem $n_1 \neq 0$ gibt es ein $n_2$, sodass diese Gleichung gelöst ist:

    • Sei $n_1=-4$, damit ist $n_2=5$. Wir erhalten den Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix} -4 \\5 \end{pmatrix}$.
    • Sei $n_1=8$, so ist $n_2=-10$.Wir erhalten den Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix} 8 \\-10 \end{pmatrix}$. Es gilt insbesondere $-2\cdot \begin{pmatrix} -4 \\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\-10 \end{pmatrix}$. Diese beiden Vektoren sind kollinear bzw. linear abhängig.
    Der Stützvektor der Geraden ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden. Es gibt daher unendlich viele Punkte auf der Geraden. Die Punkte $(3|3)$ und $(8|7)$ liegen auf der Geraden. Deswegen können die beiden Ortsvektoren für die Normalengleichung verwendet werden.

    Somit sind die Gleichung 2, 3, 4 und 6 Normalengleichungen der Geraden.

  • Gib die Parametergleichung der Geraden $g$ an.

    Tipps

    Der Richtungsvektor der Geraden gibt die Richtung vor.

    Der Normalenvektor der Geraden steht senkrecht auf der Geraden.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Es gilt:

    $\vec a \perp \vec b\Leftrightarrow \vec a\cdot \vec b=0$.

    Lösung

    Die Gerade $g$ ist in Normalenform gegeben:

    $g:\left[ \vec x-\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=0 $.

    Dabei ist $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ der Stützvektor, also der Ortsvektor eines Punktes der Geraden. Diesen benötigt man auch für die Parametergleichung.

    Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist der Normalenvektor der Geraden. Dieser steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das heißt

    $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=0$.

    Diese Gleichung lässt sich durch Berechnung des Skalarproduktes umformen zu $3v_1+v_2=0$. Da in dieser Gleichung zwei Unbekannte vorkommen, kann eine frei gewählt werden. Mit $v_1=-1$ ergibt sich $v_2=3$, also $\vec v=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ als Richtungsvektor der Geraden.

    Damit ist die Parametergleichung komplett:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}=0$.

  • Prüfe, welche Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

    Tipps

    Die Orthogonalität zweier Vektoren ist wie folgt erklärt:

    $\vec v \perp \vec n\Leftrightarrow \vec v \cdot \vec n=0$.

    Steht ein Vektor $\vec n$ senkrecht auf dem Vektor $\vec v$, so steht auch jeder Vektor $k \cdot \vec n$ senkrecht auf dem Vektor $\vec v$.

    Lösung

    Um einen Vektor $\vec n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}$ zu bestimmen, der senkrecht auf einem vorgegeben Vektor steht, wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnet. Dieses muss $0$ sein:

    $\vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$:

    $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\Leftrightarrow n_1+2n_2=0$.

    In dieser Gleichung sind zwei Größen unbekannt, es kann also eine frei gewählt werden. Daran kann man bereits erkennen, dass es unendlich viele Lösungen gibt:

    • $n_1=2$, also $n_2=-1$. Das bedeutet, dass
    $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec v$ steht.
    • $n_1=-1$, also $n_2=0,5$. Das bedeutet, dass
    $\begin{pmatrix} -1 \\ 0,5 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec v$ steht, allerdings nicht

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}$.

  • Leite eine Parametergleichung her.

    Tipps

    Du benötigst für die Parametergleichung einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Wenn der Normalenvektor gegeben ist, erhältst du den Richtungsvektor dadurch, dass du einen zu dem Normalenvektor senkrechten Vektor bestimmst.

    Mache die Probe auf Orthogonalität:

    $\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b =0$.

    Lösung

    Eine Parametergleichung ist gegeben durch: $g:\vec x =\vec p+t\cdot \vec v$. Dabei ist $\vec p$ der Stützvektor, der Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und $\vec v$ der Richtungsvektor.

    • Der Stützvektor
    $\vec p=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ ist hier bereits gegeben.
    • Gesucht ist also noch der Richtungsvektor. Dieser steht senkrecht auf dem Normalenvektor. Es muss also die Gleichung $3v_1+7v_2=0$ gelöst werden. Diese Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Sei $v_1=-7$, so ist $v_2=3$.
    • Die Geradengleichung lautet dann: $g:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \end{pmatrix}$.