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Normalengleichung in der Ebene

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Die Autor*innen
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Giuliano Murgo
Normalengleichung in der Ebene
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Normalengleichung in der Ebene Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Normalengleichung in der Ebene kannst du es wiederholen und üben.
  • Schildere, wie man von einer Parametergleichung zu einer Normalengleichung kommt.

    Tipps

    Es gilt $\vec{AB}=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

    Der Ortsvektor eines Punktes $P(p_1|p_2)$ ist

    $\vec{OP}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$.

    Zwei Vektoren stehen senkrecht aufeinander, wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ ist. Umgekehrt gilt diese Aussage auch:

    $\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b=0$.

    Lösung

    Zunächst muss die Parametergleichung der Geraden aufgestellt werden:

    • der Stützvektor ist der Ortsvektor von einem der beiden Punkte:
    $\vec p=\vec{OA}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
    • der Richtungsvektor ist der Verbindungsvektor von $A$ und $B$:
    $\vec{AB}=\vec b - \vec a=\begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.
    • Die Parametergleichung der Geraden ist damit gegeben:
    $g:\vec x=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}$.

    Nun kann die Normalengleichung aufgestellt werden. Der Stützvektor $\vec p$ ist bereits bekannt, gesucht ist noch der Normalenvektor. Dieser steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden, also gilt

    $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}=0$.

    • Die Berechnung des Skalarproduktes führt zu der Gleichung $-3n_1+4n_2=0$. In dieser Gleichung sind zwei Unbekannte, das heißt, dass eine gewählt werden kann. Sei $n_1=4$, so ergibt sich mit $-3\cdot 4+4n_2=0$, dass $n_2=3$ ist.
    • Damit ist die Normalengleichung vollständig:
    $g:\left[ \vec x - \begin{pmatrix} 3 \\ 4 \end{pmatrix}\right] \cdot \begin{pmatrix} 4 \\ 3 \end{pmatrix}=0$.

  • Gib die Parametergleichung der Geraden $g$ an.

    Tipps

    Der Richtungsvektor der Geraden gibt die Richtung vor.

    Der Normalenvektor der Geraden steht senkrecht auf der Geraden.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Es gilt:

    $\vec a \perp \vec b\Leftrightarrow \vec a\cdot \vec b=0$.

    Lösung

    Die Gerade $g$ ist in Normalenform gegeben:

    $g:\left[ \vec x-\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=0 $.

    Dabei ist $\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}$ der Stützvektor, also der Ortsvektor eines Punktes der Geraden. Diesen benötigt man auch für die Parametergleichung.

    Der Vektor $\begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}$ ist der Normalenvektor der Geraden. Dieser steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden. Das heißt

    $\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 3 \\ 1 \end{pmatrix}=0$.

    Diese Gleichung lässt sich durch Berechnung des Skalarproduktes umformen zu $3v_1+v_2=0$. Da in dieser Gleichung zwei Unbekannte vorkommen, kann eine frei gewählt werden. Mit $v_1=-1$ ergibt sich $v_2=3$, also $\vec v=\begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}$ als Richtungsvektor der Geraden.

    Damit ist die Parametergleichung komplett:

    $g:\vec x=\begin{pmatrix} -2 \\ 1 \end{pmatrix}+ t \cdot \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}=0$.

  • Prüfe, welche Vektoren senkrecht aufeinander stehen.

    Tipps

    Die Orthogonalität zweier Vektoren ist wie folgt erklärt:

    $\vec v \perp \vec n\Leftrightarrow \vec v \cdot \vec n=0$.

    Steht ein Vektor $\vec n$ senkrecht auf dem Vektor $\vec v$, so steht auch jeder Vektor $k \cdot \vec n$ senkrecht auf dem Vektor $\vec v$.

    Lösung

    Um einen Vektor $\vec n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}$ zu bestimmen, der senkrecht auf einem vorgegeben Vektor steht, wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren berechnet. Dieses muss $0$ sein:

    $\vec v=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}$:

    $\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix}\Leftrightarrow n_1+2n_2=0$.

    In dieser Gleichung sind zwei Größen unbekannt, es kann also eine frei gewählt werden. Daran kann man bereits erkennen, dass es unendlich viele Lösungen gibt:

    • $n_1=2$, also $n_2=-1$. Das bedeutet, dass
    $\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec v$ steht.
    • $n_1=-1$, also $n_2=0,5$. Das bedeutet, dass
    $\begin{pmatrix} -1 \\ 0,5 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec v$ steht, allerdings nicht

    $\begin{pmatrix} 1 \\ 0,5 \end{pmatrix}$.

  • Leite eine Parametergleichung her.

    Tipps

    Du benötigst für die Parametergleichung einen Stützvektor und einen Richtungsvektor.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Wenn der Normalenvektor gegeben ist, erhältst du den Richtungsvektor dadurch, dass du einen zu dem Normalenvektor senkrechten Vektor bestimmst.

    Mache die Probe auf Orthogonalität:

    $\vec a \perp \vec b \Leftrightarrow \vec a \cdot \vec b =0$.

    Lösung

    Eine Parametergleichung ist gegeben durch: $g:\vec x =\vec p+t\cdot \vec v$. Dabei ist $\vec p$ der Stützvektor, der Ortsvektor eines Punktes der Geraden, und $\vec v$ der Richtungsvektor.

    • Der Stützvektor
    $\vec p=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}$ ist hier bereits gegeben.
    • Gesucht ist also noch der Richtungsvektor. Dieser steht senkrecht auf dem Normalenvektor. Es muss also die Gleichung $3v_1+7v_2=0$ gelöst werden. Diese Gleichung besitzt unendlich viele Lösungen. Sei $v_1=-7$, so ist $v_2=3$.
    • Die Geradengleichung lautet dann: $g:\vec x=\begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix} -7 \\ 3 \end{pmatrix}$.

  • Beschrifte die beiden Darstellungsformen einer Geraden in der Ebene.

    Tipps

    Der Normalenvektor der Geraden steht senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Wenn zwei Punkte gegeben sind, so wird der Verbindungsvektor dieser beiden Punkte aus der Differenz der Ortsvektoren gebildet.

    Lösung

    Die 1. Gleichung ist die Parametergleichung einer Geraden:

    $g:\vec x=\vec p+t\cdot \vec v$.

    • $\vec x$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
    • $\vec p$ ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines bekannten Punktes der Geraden.
    • $t \in \mathbb{R}$ ist der Parameter. Daher kommt der Name der Gleichung.
    • $\vec v$ ist der Richtungsvektor der Geraden.
    Die 2. Gleichung ist die Normalengleichung einer Geraden:

    $g:[\vec x-\vec p]\cdot \vec n=0$.

    • $\vec x$ ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes der Geraden.
    • $\vec p$ ist der Stützvektor, der Ortsvektor eines bekannten Punktes der Geraden.
    • Die Differenz dieser beiden Vektoren ist der Verbindungsvektor der beiden zugehörigen Punkte.
    • $\vec n$ ist der Normalenvektor. Er steht senkrecht auf der Geraden. Daher kommt der Name der Gleichung.

  • Bestimme die Normalengleichung.

    Tipps

    Die Darstellung einer Ebene mit der Normalengleichung ist nicht eindeutig, da

    • der Ortsvektor jedes Punktes der Geraden Stützvektor sein kann und
    • der Normalenvektor nicht eindeutig ist.

    Gilt $\vec v \perp \vec n$, so gilt auch $k\cdot \vec v \perp \vec n$.

    Der Stützvektor ist der Ortsvektor eines Punktes der Geraden.

    Lösung

    Der Normalenvektor $\vec n =\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}$ soll senkrecht auf dem Richtungsvektor der Geraden $g$ stehen. Dies führt zu der Gleichung $5n_1+4n_2=0$. Zu jedem $n_1 \neq 0$ gibt es ein $n_2$, sodass diese Gleichung gelöst ist:

    • Sei $n_1=-4$, damit ist $n_2=5$. Wir erhalten den Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix} -4 \\5 \end{pmatrix}$.
    • Sei $n_1=8$, so ist $n_2=-10$.Wir erhalten den Normalenvektor $\vec{n}=\begin{pmatrix} 8 \\-10 \end{pmatrix}$. Es gilt insbesondere $-2\cdot \begin{pmatrix} -4 \\5 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 8 \\-10 \end{pmatrix}$. Diese beiden Vektoren sind kollinear bzw. linear abhängig.
    Der Stützvektor der Geraden ist der Ortsvektor eines beliebigen Punktes auf der Geraden. Es gibt daher unendlich viele Punkte auf der Geraden. Die Punkte $(3|3)$ und $(8|7)$ liegen auf der Geraden. Deswegen können die beiden Ortsvektoren für die Normalengleichung verwendet werden.

    Somit sind die Gleichung 2, 3, 4 und 6 Normalengleichungen der Geraden.

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