Geradengleichungen in der Ebene – Überblick 09:55 min
Transkript Geradengleichungen in der Ebene – Überblick
Hallo, ich bin Giuliano. Und ich möchte mit Dir heute die Darstellungsformen von Geraden in der Ebene, beziehungsweise R2 üben. Dazu betrachten wir erst mal die Parametergleichung. Die lautet g, Gerade g: Vektor x = p + t × v. p ist der sogenannte „Stützvektor“, v ist der „Richtungsvektor“ und t ist der „Parameter“. Dann gibt es noch die Normalengleichung. x – Stützvektor p im Skalarprodukt mit n, wobei n der „Normalenvektor“ ist, gleich 0. Und als Letztes haben wir noch die Koordinatengleichung. y = ax + b, wobei a die „Steigung“ und b der „y-Achsenabschnitt“ ist. Jetzt möchte ich einmal mit Dir von der Parametergleichung in die Normalengleichung umwandeln und von der Normalengleichung in die Koordinatengleichung. Und dann möchte ich Dir gerne eine Formel zeigen, wie man von der Parametergleichung direkt in die Koordinatengleichung kommt, ohne über den Umweg der Normalengleichung. Dazu nehmen wir jetzt folgendes Beispiel: Und zwar ist es ganz üblich, dass man meistens am Anfang nur Punkte kennt und nicht direkt die Koordinaten, beziehungsweise die Parametergleichung. Das heißt, wir haben den Punkt A(1|-2), und den Punkt B(2|-6). Jetzt ist also die Aufgabe, wir sollen die Koordinatengleichung herausfinden, von der Gerade, die durch die Punkte A und B geht. Das erste, was wir machen werden, ist die Parametergleichung aufstellen. Vektor x gleich, dazu brauchen wir einen Stützvektor, wir nehmen jetzt einfach den Vektor OA, also den „Ortsvektor“ von dem Punkt A. Plus t mal den Vektor zwischen A und B, das ist der „Verbindungsvektor“ AB, den wir hier als „Richtungsvektor“ verwenden. Das heißt, die Gerade g hat von der Parameterform (1, -2) + t ×(1, -4), Koordinaten von B – A, 2 – 1 = 1, -2 – (-2) = +2, -6 + 2 = -4. Jetzt wollen wir von dieser Parametergleichung, beziehungsweise Parameterform, in die Normalengleichung. Das heißt, wir brauchen den Normalenvektor n, der orthogonal zu der Geraden ist und das bedeutet, dass dieser Normalenvektor n, den ich jetzt n1, ja, mit den Koordinaten (n1, n2) versehe, dass der als Skalarprodukt mit dem Richtungsvektor (1, -4) gleich 0 ist. Das heißt n × (1, -4) = 0. Das führt uns zu folgender Gleichung: n1 – 4n2 = 0. Dann wählen wir uns den Normalenvektor mit den Koordinaten n1 wählen wir 4, dann steht hier 4 – n1 = 0, also wählen wir n2 = 1, dann steht da 4 – 4 = 0. Das heißt, der Normalenvektor ist (4|1). Das bringt uns jetzt zu folgender Normalengleichung: x minus, wir nehmen den Stützvektor von hier oben, (1, -2), eckige Klammer zu, mal (4, 1), den Normalenvektor, gleich 0. Jetzt wollen wir von der Normalengleichung in die Koordinatengleichung übergehen. Und das machen wir, indem wir einfach diese Klammer hier, diese eckige Klammer, mit dem Normalenvektor ausmultiplizieren. Und das geht mithilfe des Distributivgesetzes, also x × (4, 1) gleich, jetzt müsste man eigentlich schreiben minus, ja, (1, -2) × (4, 1). Ich hole das direkt auf die andere Seite, also plus (1|-2) × (4|1), wenn ich von „mal“ die ganze Zeit spreche rede ich vom Skalarprodukt. Und wenn wir das eben auflösen, x ist, ja, also der Vektor x, der beliebige Punkt dieser Gerade, werde ich jetzt mit den Koordinaten x, y bezeichnen. Dann steht hier 4x + y gleich 1 × 4 = 4, minus 2 ist 2. Also schließlich y = -4x + 2. Und hier seht ihr jetzt eben alle drei Formen einmal an der Tafel. Hier ist eine Parametergleichung. Hier ist die Normalengleichung und hier ist die Koordinatengleichung. Jetzt möchte ich, ja, Dir einmal zeigen, dass diese Umformung sehr aufwändig ist. Ihr seht, wir müssen hier ganz schön viele Schritte machen, um von der Parametergleichung in die Koordinatengleichung zu kommen. Das wollen wir jetzt abkürzen. Und zwar möchte ich Dir gerne einmal eine Formel zeigen, wie man direkt von der Parametergleichung in die Koordinatengleichung übergeht. Ich kürze das jetzt mit PAG und KOG ab. Und zwar, zuerst haben wir also eine Parametergleichung, die ja relativ einfach aufzustellen ist, wie wir das gerade an den Punkten gesehen haben. Den Stützvektor werde ich jetzt mit den allgemeinen Koordinaten (p1, p2), ja, versehen. Plus t mal den allgemeinen Richtungsvektor (v1, v2). Und zwar machen wir jetzt folgenden Trick: Wir gehen nicht über die Normalengleichung, sondern wir gucken uns einmal den Richtungsvektor an. Und zwar male ich jetzt den Richtungsvektor hier einmal rein. Und dann gilt: Der Richtungsvektor hat ja zwei Angaben. Einmal v1, das ist in dem Falle die x-Richtung. Und einmal v2, die y-Richtung. Und das kann man hier einmal eintragen. Also einmal v1 in x-Richtung gehen, und einmal v2 in y-Richtung gehen. Und dann ergibt sich hier das sogenannte „Steigungsdreieck“. In der Ebene ist das sehr deutlich. Und wie der Name schon sagt, ergibt das Steigungsdreieck eben die Steigung, die wir bei der allgemeinen Koordinatengleichung ja hier a genannt haben. a = v2 / v1. Also der y-Wert geteilt durch den x-Wert ergibt eben genau die Steigung. Jetzt brauchen wir ja nur noch das b, um diese Koordinatengleichung zu erhalten. Und das erhalten wir, indem wir diese allgemeine Formel, ich schreibe die nochmal an, y = a × x + b, indem wir hier jetzt einen Punkt (x|y) angeben und dann diese Gleichung nach b umformen. Und das können wir machen, indem wir den Punkt p1 und p2 einsetzen. Also der Stützvektor hat ja eben, ist ja ein Ortsvektor eines Punktes auf der Geraden, den ich jetzt (p1|p2) nenne. Das heißt, wenn wir das einsetzen ergibt das eben p2, das ist die y-Koordinate des Punktes, gleich a, das ist v2 durch v1, mal x, das ist p1 plus b. Wenn wir jetzt noch diesen Ausdruck einfach minus nehmen ergibt sich für b p2 – p1 × (v2 / v1). Das heißt insgesamt haben wir also folgende Gleichung: y = (v2 / v1)×x + p2 - p1×(v2/v1). So, das heißt, wir haben hier eine allgemeine Gleichung, wo wir jetzt nur noch die Koordinaten von p und v eintragen müssen und dann erhalten wir die Gleichung. Und das möchte ich jetzt einmal mit Dir üben. Jetzt möchte ich mit Dir gemeinsam ein Beispiel durchrechnen, wo wir von der Parametergleichung durch die Formel direkt in die Koordinatengleichung gelangen. Dazu rechnen wir folgendes Beispiel: Wir haben eine Gerade g mit der Parameterform Vektor x = (2, -3) + t × (-5, 7). Wir wenden jetzt diese Formel direkt an. Das heißt, y = v2 durch v1, also 7/-5×x, plus p2, das ist -3, minus p1, also 2 mal, Klammer auf, 7 durch -5, Klammer zu und hier noch eine weitere Klammer zu: y = 7/-5×x + (-3 - 2×(7/-5)). 7/5 = 1,4. Durch das Minuszeichen steht hier -1,4x plus, Klammer auf, hier steht wieder eine -1,4. Mal -2, ergibt plus, 1,4 × 2 = +2,8. So, Klammer zu. Also haben wir insgesamt -1,4x. -3 + 2,8 = -0,2: y = -1,4x - 0,2 Und so kommen wir direkt, durch diese einfache Formel in die Koordinatengleichung. Jetzt möchte ich noch einmal wiederholen, was Du heute alles gelernt hast: Am Anfang haben wir uns die verschiedenen Darstellungsformen von Geraden in der Ebene, beziehungsweise im R2 angesehen, Parametergleichung, Normalengleichung und Koordinatengleichung. Dann haben wir einmal an einem Beispiel gezeigt, wie man von der Parametergleichung in die Normalengleichung gelangt und von der Normalengleichung in die Koordinatengleichung. Und dann habe ich Dir gezeigt, wie man eine allgemeine Formel, ja, kreieren kann, wie man von der Parametergleichung direkt, ohne Umweg der Normalengleichung in die Koordinatengleichung gelangt und diese als Letztes einmal angewandt. Ich hoffe, dass Du das alles verstanden hast und Spaß an dem Video hattest. Ciao und bis zum nächsten Mal. Dein Giuliano.
Videobeschreibung
Hallo! In diesem Video möchte ich mit dir die verschiedenen Darstellungsformen bzw. Gleichungen von Geraden in der Ebene (R²) üben. Ich zeige dir, wie man aus zwei gegeben Punkten eine Parametergleichung erstellt. Dann finden wir einen Normalenvektor zu der Geraden und stellen die Normalengleichung auf. Dann formen wir diese mit Hilfe des Skalarprodukts in die Koordinatengleichung um. Dieses Verfahren ist jedoch sehr lang und umständlich. Deshalb rechnen wir zusammen eine Formel aus, bei der man direkt die Parametergleichung in die Koordinatengeichung umwandeln kann. Abschließend üben wir diese Formel an einem Beispiel.Viel Spaß und Erfolg beim Lernen!
Der Tutor:
Geradengleichungen in der Ebene – Überblick
Geradengleichungen in der Ebene – Überblick Übung
Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Geradengleichungen in der Ebene – Überblick kannst du es wiederholen und üben.
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Beschreibe, wie man von der Parametergleichung zu der Normalengleichung kommt.
Tipps
Der Stützvektor kann bei der Parameter- sowie der Normalengleichung gleich gewählt werden.
Der Richtungsvektor der Parametergleichung ist daran zu erkennen, dass er mit dem Parameter multipliziert wird.
Es gilt: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$ Null ergibt.
Der Normalenvektor $\begin{pmatrix}n_1 \\n_2 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf den Richtungsvektor:
$n_1-4n_2=0$.
Lösung
In der Parametergleichung
$g:\vec x=\begin{pmatrix}1 \\-1 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}$
ist
- $\begin{pmatrix}1 \\-1 \end{pmatrix}$ der Stützvektor und
- $\begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}$ der Richtungsvektor.
$\begin{pmatrix}n_1\\n_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}1 \\-4\end{pmatrix}=0$.
Dies ist äquivalent zu $n_1-4n_2=0$. Da diese Gleichung 2 Unbekannte hat, kann eine frei gewählt werden. Sei $n_1=4$, so ist $n_2=1$. Damit ist der Normalenvektor
$\vec n=\begin{pmatrix}4 \\1 \end{pmatrix}$
gegeben. Die Normalengleichung lautet somit
$g:\left[\vec x-\begin{pmatrix}1 \\-1 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}4 \\1\end{pmatrix}=0$.
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Gib die Koordinatengleichung an, die aus der Parametergleichung hergeleitet wird.
Tipps
Wenn du den Richtungsvektor in ein Koordinatensystem zeichnest, kannst du erkennen, dass du ein Steigungsdreieck erhältst, wobei die Katheten die Länge $v_1$ und $v_2$ haben.
Die Steigung ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im Steigungsdreieck.
Sei bei einer Koordinatengleichung die Steigung gegeben, so erhältst du den y-Achsenabschnitt, indem du einen Punkt der Geraden in der Koordinatengleichung einsetzt.
Der Punkt $P(p_1|p_2)$ liegt auf der Geraden.
Die Steigung ist $\frac{v_2}{v_1}$ und der y-Achsenabschnitt $p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$.
Lösung
Sei eine Gerade in Parametergleichung gegeben:
$g:\vec x=\begin{pmatrix}p_1 \\p_2 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}v_1 \\v_2\end{pmatrix}$.
Wenn man den Richtungsvektor in ein Koordinatensystem zeichnet, kann man sehen, dass dieser mit den beiden Katheten, die die Länge der $x$- sowie $y$-Koordinate des Richtungsvektors haben, ein Steigungsdreieck bildet. Die Steigung ist das Verhältnis von Gegenkathete zu Ankathete im Steigungsdreieck. Somit ist
$a=\frac{v_2}{v_1}$.
Gesucht ist noch der y-Achensabschnitt. Diesen erhält man, indem man einen bekannten Punkt in die Koordinatengleichung einsetzt. Ein solcher Punkt $P$ ist durch den Stützvektor gegeben: $P(p_1|p_2)$. Setzen wir diesen in die allgemeine Koordinatengleichung $y=a\cdot x+b$ mit $a=\frac{v_2}{v_1}$ ein, so erhalten wir:
$p_2=\frac{v_2}{v_1}\cdot p_1+b$.
Dies ist äquivalent zu
$b=p_2-\frac{v_2}{v_1}\cdot p_1$.
Damit ist die Formel vollständig:
$y=\frac {v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$.
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Charakterisiere den zu einem gegebenen Vektor $\vec{v}$ senkrechten Vektor $\vec{n}$.
Tipps
Es gilt: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$ Null ergibt.
Das Skalarprodukt zweier Vektoren ist definiert als
$\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}b_1\\b_2\end{pmatrix}=a_1\cdot b_1+a_2\cdot b_2$.
Es gilt $(k\cdot \vec a)\cdot \vec b=k\cdot (\vec a \cdot \vec b)$.
Sei $\vec a=\begin{pmatrix}a_1 \\a_2 \end{pmatrix}$ und $\vec b= \begin{pmatrix}-a_2 \\a_1\end{pmatrix}$. Berechne das Skalarprodukt der beiden Vektoren. Was kannst du feststellen?
Lösung
Es gilt $\vec v=\begin{pmatrix}2 \\-1 \end{pmatrix}$.
- Die Vertauschung der Koordinaten und der Wechsel eines Vorzeichens führt zu dem Vektor $\begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix}$. Das Skalarprodukt dieser beiden Vektoren ist $2\cdot 1-1\cdot 2=2-2=0$. Also steht der so erhaltene Vektor tatsächlich senkrecht auf $\vec v$.
- Da $\vec n=\begin{pmatrix}n_1 \\n_2 \end{pmatrix}$ senkrecht auf $\vec v$ steht, gilt, dass das Skalarprodukt der beiden Vektoren $0$ sein muss, also $2n_1-n_2=0$.
- $\begin{pmatrix}1 \\2\end{pmatrix}$ ist ein zu $\vec v$ senkrechter Vektor.
- Es gilt $\left( k\cdot \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \right) \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}= k\cdot \left(\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 2 \\ -1 \end{pmatrix}\right)=k\cdot 0=0$.
Dass der Normalenvektor nicht eindeutig ist, ist auch bereits daran zu erkennen, dass die Gleichung $2n_1-n_2=0$ unendlich viele Lösungen besitzt.
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Ordne den jeweiligen Geraden die beiden anderen Geradengleichungen zu.
Tipps
Der Richtungsvektor $\vec v$ und der Normalenvektor $\vec n$ einer Geraden stehen senkrecht aufeinander. Das heißt: $\vec v \cdot \vec n=0$.
Die Koordinatenform lautet $g:y=ax+b$ mit Anstieg a und y-Achsenabschnitt b.
Die Parametergleichung mit Stützvektor $\vec p$ und Richtungsvektor $\vec v$ ist folgendermaßen gegeben:
$g:~\vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$
Die Normalgleichung mit Stützvektor $\vec p$ und Normalenvektor $\vec n$ ist folgendermaßen gegeben:
$g:~(\vec{x}-\vec{p})\cdot \vec{n} = 0$
Lösung
Die allgemeine Parametergleichung mit Stützvektor $\vec p$ und Richtungsvektor $\vec v$ ist folgendermaßen gegeben:
$g:~\vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$.
Sei die Gerade in Parametergleichung konkret gegeben:
$g:\vec x=\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}1 \\3 \end{pmatrix}$.
- Für die Normalengleichung $g:~(\vec{x}-\vec{p})\cdot \vec{n} = 0$ benötigt man einen Normalenvektor, welcher senkrecht auf den Richtungsvektor steht. Diesen kann man zum Beispiel erhalten, indem man die Koordinaten des Richtungsvektors tauscht und bei einer Koordinate das Vorzeichen wechselt.
Die Normalengleichung lautet:
$g:\left[\vec x-\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}-3 \\1 \end{pmatrix}=0$.
- Die Koordinatengleichung $g:y=ax+b$ kann mit der Formel
hergeleitet werden. $v_1=1$ und $v_2=-3$ sind die Koordinaten des Richtungsvektors und $p_1=3$ sowie $p_2=3$ die des Stützvektors:
$g: y=3x-6$.
Sei die Gerade in Normalengleichung gegeben:
$g:\left[\vec x-\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}\right]\cdot \begin{pmatrix}-3 \\2 \end{pmatrix}=0$.
- Für die Parametergleichung $g:~\vec{x} = \vec{p}+t\cdot \vec{v}$ benötigt man einen Richtungsvektor, welcher senkrecht auf den Normalenvektor steht. Also muss man bei dem Normalenvektor nur die Koordinaten vertauschen und bei einer das Vorzeichen ändern zu
Damit ist die Parametergleichung gegeben, da der Stützvektor der gleiche wie bei der Normalengleichung ist:
$g:\vec x=\begin{pmatrix}3 \\3 \end{pmatrix}+t\cdot \begin{pmatrix}2 \\3 \end{pmatrix}$.
- Wir formen die Normalengleichung um:
Wenn man die Skalarprodukte ausmultipliziert, erhält man
$\begin{align*} -3x+2y&=-3&|&+3x\\ 2y&=3x-3&|&:2\\ y&=1,5x-1,5. \end{align*}$
Dies ist die gesuchte Koordinatengleichung.
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Ergänze die Darstellungsformen von Geraden.
Tipps
Die Parametergleichung heißt Parametergleichung, da in ihr ein Parameter vorkommt.
Die Normalengleichung heißt Normalengleichung, da in ihr ein Normalenvektor vorkommt. Dieser steht senkrecht auf der Geraden.
Es gilt: Zwei Vektoren $\vec a$ und $\vec b$ sind orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt $\vec a\cdot \vec b$ Null ergibt.
Die Koordinatengleichung kennst du vielleicht bereits als lineare Funktionsgleichung. Die Bezeichnung sind vollkommen identisch.
Lösung
Es gibt die 3 Darstellungsformen einer Geraden in der Ebene:
Parametergleichung
$g:\vec x=\vec p+t\cdot \vec v$, dabei ist
- $\vec p$ der Stützvektor
- $t$ der Parameter und
- $\vec v$ der Richtungsvektor der Geraden.
$g:[\vec x-\vec p]\cdot \vec n=0$, dabei ist
- $\vec p$ der Stützvektor und
- $\vec n$ der Normalenvektor der Geraden. Dieser steht senkrecht auf der Geraden, also orthogonal auf dem Richtungsvektor der Geraden.
$g:y=ax+b$, dabei ist
- $a$ die Steigung und
- $b$ der y-Achsenabschnitt der Geraden.
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Leite die Koordinatengleichung einer Geraden durch zwei vorgegebene Punkte her.
Tipps
Stelle zunächst die Parametergleichung $g:~\vec{x}=\vec{p}+t\cdot \vec{v}$ der Geraden auf.
Der Ortsvektor von einem der beiden Punkte ist der Stützvektor der Geraden.
Der Verbindungsvektor $\vec{AB}$ ist der Richtungsvektor der Geraden.
1. Methode: Man kann die Normalengleichung herleiten und damit die Koordinatengleichung.
Der Normalenvektor $\vec n=\begin{pmatrix} n_1 \\ n_2 \end{pmatrix}$ steht senkrecht auf den Richtungsvektor.
Ein möglicher Normalenvektor ist $\vec n=\begin{pmatrix} 1 \\ -4 \end{pmatrix}$.
2.Methode: Verwende die Formel $y=\frac{v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$, wobei $v_1$ und $v_2$ die Koordinaten des Richtungsvektors und $p_1$ sowie $p_2$ die Koordinaten des Stützvektors sind.
Lösung
Zunächst muss man eine Parametergleichung der Geraden aufstellen. Dafür benötigt man
- einen Stützvektor $\vec{p}=\begin{pmatrix} p_1 \\ p_2 \end{pmatrix}$: Dies ist zum Beispiel der Ortsvektor $\begin{pmatrix} 2 \\ 2 \end{pmatrix}$ des Punktes $A$.
- und einen Richtungsvektor $\vec{v}=\begin{pmatrix} v_1 \\ v_2 \end{pmatrix}$. Dies ist der Verbindungsvektor $\vec{AB}=\begin{pmatrix} 4 \\ 1 \end{pmatrix}$.
$y=\frac{v_2}{v_1}\cdot x+p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}$,
wobei $v_1=4$ und $v_2=1$ die Koordinaten des Richtungsvektors und $p_1=2$ sowie $p_2=2$ die Koordinaten des Stützvektors sind.
Unter Verwendung der Formel erhält man:
- $a=\frac{v_2}{v_1}=\frac14=0,25$ und
- $b=p_2-p_1\cdot \frac{v_2}{v_1}=2-2\cdot 0,25=2-0,5=1,5$.
5 Kommentare
@Abdulkleriym: Der Normalenvektor (n_1,n_2) erfüllt die Bedingung n_1-4*n_2=0. Das ist eine Gleichung mit zwei Unbekannten. Du kannst also eine Variable willkürlich wählen. Setzt du n_2=1, dann muss n_1=4 sein. Setzt du n_2=-1, dann muss n_1=-4 sein. Es gibt sogar unendlich viele Möglichkeiten. Für eine Variante musst du dich aber entscheiden.
Ich hoffe, dass ich dir helfen konnte.
Bei weiteren Fragen hilft dir auch gerne der Hausaufgaben-Chat, der Mo-Fr von 17-19 Uhr verfügbar ist.
ah ok du hast gesagt du wählst die 1 aus, also kann man das willkürlich wählen?
moin erklär mal wie du beim normalvektor n2 gleich 1 hast den gedankensprung kann ich nicht nachvollziehen
@Niklas S.:
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Kann Video nicht öffnen und sehen