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Funktionsgleichungen - implizite Funktion 08:01 min

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Transkript Funktionsgleichungen - implizite Funktion

Hallo. Wenn du weißt was eine Funktionsgleichung ist, dann können wir uns jetzt mal ansehen was eine implizite Funktionsgleichung ist. Naja und wer implizit sagt, muss auch explizit sagen. Denn wir verwenden den Begriff implizite Funktionsgleichung, um von einer gegebenen Funktionsgleichung zu sagen, dass sie keine explizite Funktionsgleichung ist. Also, wir schauen uns die beiden Begriffe an, rechnen zwei Beispiele dazu und dann war es das auch zu diesem Thema. So, fangen wir mal ganz geschmeidig an. Wir haben die Gleichung y+x=1. Und wir können auf beiden Seiten –x rechnen und erhalten dann die Gleichung y=-x+1. Das ist eine Gleichung, die nach y aufgelöst ist und wenn diese Gleichung eine Funktion beschreibt, dann ist das x die unabhängige Variable, denn wir können frei wählen was wir für x einsetzen. Innerhalb des Definitionsbereichs der Funktion natürlich. y hingegen ist die abhängige Variable, denn deren Wert hängt davon ab was wir für x eingesetzt haben. Das ganze hier ist eine explizite Funktionsgleichung, weil nämlich diese Gleichung zur abhängigen Variablen hin aufgelöst ist oder man kann auch sagen das y steht einzeln auf einer Seite. Und das hier ist eine implizite Funktionsgleichung und zwar deshalb, weil diese Gleichung hier nicht zur abhängigen Variablen hin aufgelöst ist. Und schriftlich sieht das so aus. “Eine implizite Funktionsgleichung ist eine Funktionsgleichung, die nicht nach y aufgelöst ist.”. So, nachdem wir nun wissen was eine implizite Funktionsgleichung ist, können wir noch zwei Beispiele dazu durchrechnen. Dabei geht es darum, eine implizite Funktionsgleichung in eine explizite Funktionsgleichung umzuformen oder wie man auch sagen kann, es geht darum, nach y aufzulösen. Wir haben folgende Funktionsgleichung: -1/2-3x+6y=0. Wir möchten nach y auflösen und bringen alle Summanden, die kein y enthalten auf die andere Seite. Also rechnen wir +1/2 und +3x. Dann haben wir auf der linken Seite nur noch 6y stehen und auf der rechten Seite steht dann, ja ich tausche das jetzt mal hier, 3x+1/2. Jetzt wollen wir nicht 6y da stehen haben sondern nur noch y und deshalb teilen wir durch 6. Dann steht auf der linken Seite y und auf der rechten Seite, naja 3x/6 = 1/2x und (1/2)/6 = 1/12. Und das ist nun die explizite Funktionsgleichung y=1/2x+1/12. Wir haben eine weitere Funktionsgleichung, nämlich (x-y)2=y2. Weil hier und hier ein y ist, ist diese Gleichung nicht nach y umgestellt oder nach y aufgelöst, das wollen wir jetzt erledigen. Und wir machen als erstes eine Termumformung, dann können wir nämlich diese Klammer hier auflösen. Das machen wir mit der zweiten binomischen Formel und wir erhalten x2-2xy+y2=y2. Dann rechnen wir minus y2 auf beiden Seiten und erhalten hier x2-2xy auf der linken Seite und 0 auf der rechten Seite. Dann geht es weiter mit minus x2, dieser Summand enthält kein y und deshalb möchten wir den auf der anderen Seite haben. Dann haben wir noch -2xy links stehen und -x2 haben wir rechts stehen. Wir möchten nun y einzeln auf der linken Seite stehen haben und deshalb rechnen wir geteilt durch -2x. Das geht aber nur, falls x ungleich 0 ist. Denn durch Null können wir ja nicht teilen. Also bleibt auf der linken Seite das y übrig und auf der rechten Seite haben wir 1/2x. Und damit haben wir die explizite Funktionsgleichung und die lautet y=1/2 x. Dann ist noch die Frage, was passiert denn wenn x=0? Wenn wir die implizite Funktionsgleichung betrachten, sehen wir, wenn x=0, steht hier einfach nur y2=y2. Und wir haben keine Zuordnung. Das heißt, die implizit gegebene Funktion hat an der Stelle x=0 eine Definitionslücke. Interessanterweise hat die “gleiche” Funktion in Anführungszeichen, die in expliziter Form gegeben sein könnte, an der Stelle x=0 keine Definitionslücke. Daher sind diese beiden Funktionen auch nicht gleich, denn die hat eine Definitionslücke und die hat keine. So da sind wir hier eigentlich fertig. Eigentlich deshalb, weil wir bisher gesagt haben was eine implizite Funktionsgleichung ist aber nicht gesagt haben was eine implizite Funktion ist. Nun eine implizite Funktion ist eine Funktion, die durch eine implizite Funktionsgleichung gegeben ist. Dann haben wir das auch geklärt. Es gibt noch vieles, was man zu impliziten Funktionen und Funktionsgleichungen sagen kann. Wenn du aber gerade kennengelernt hast, was Funktionsgleichungen sind und in diesem Zusammenhang das Thema implizite Funktionsgleichung machst, dann geht es in den Übungsaufgaben nur darum, Gleichungen nach y aufzulösen und deshalb sind wir an dieser Stelle hier auch fertig. Viel Spaß damit. Tschüss.

5 Kommentare
  1. 7590db5d4530f6abc9e3cf4ba5291443

    Dankeschön

    Von Tiktak Taktik, vor 12 Monaten
  2. Karsten

    @Tiktak Taktik,
    das Ziel ist, diese Gleichung nach y aufzulösen.
    Wenn du hier +y² rechnest bleibt 2y² auf beiden Seiten stehen:
    x² -2xy + y² = y² |+y²
    x² -2xy + 2y² = 2y²
    Diese Gleichung hat man damit jetzt nicht einfacher, sondern eher komplizierter gemacht.

    Wenn du aber -y² rechnest, kannst du ganz einfach nach y auflösen und kommst damit auf ein Ergebnis für deine explizite Form der Funktion!

    Von Karsten Schedemann, vor 12 Monaten
  3. 7590db5d4530f6abc9e3cf4ba5291443

    warum am Schluss y=1/2 ist Das weis ich ernst nicht :(

    Von Tiktak Taktik, vor etwa einem Jahr
  4. 7590db5d4530f6abc9e3cf4ba5291443

    Sorry jetzt weis ich es ungefähr

    Von Tiktak Taktik, vor etwa einem Jahr
  5. 7590db5d4530f6abc9e3cf4ba5291443

    Sehr gut erklärt aber warum beide Seite -y^2
    warum nicht +y^2 ?
    das ist ein mega wichtige info für mich
    Danke Martin

    Von Tiktak Taktik, vor etwa einem Jahr