Exponentialfunktionen und Halbwertszeit – Übung

Exponentialfunktionen und Halbwertszeit – Übung Übung

• Stelle aus den Angaben eine Gleichung zur Bestimmung der Halbwertszeit auf.

  Tipps

  Allgemein sieht eine solche Funktion so aus:

  Die Funktionsvariable $t$ ist die Zeit in Jahren und der Funktionswert $f(t)$ die Masse des Isotops nach einer bestimmten Zeit $t$.

  Der Anfangswert $a$ und der Vorfaktor $k$ sind dabei ungleich Null.

  Rechts steht die halbe Anfangsmasse.

  Links steht $f(T)$ zur Halbwertszeit $T$.

  Lösung

  Aus den Angaben können wir für den Zerfall von Strontium-90 folgende Zerfallsfunktion aufstellen:

  Da der Anfangswert die Masse von $13~g$ ist, steht dieser Faktor in der Gleichung gewöhnlich zuerst.

  Danach kommt $e$, die Eulersche Zahl. Sie besitzt als Exponenten den Zerfallsfaktor $k$ und die Variable $t$ (die Zeit).

  Demnach sieht die Funktion so aus:

  $f(t)=13\cdot e^{-0,025\cdot t}$

  Wenn wir die Halbwertszeit berechnen (HWZ oder $T_\frac{1}{2}$), so ersetzen wir das $t$ in der Formel und Gleichung mit einem $T$. Da uns $f(t)$ die Masse zu einem bestimmten Zeitpunkt angibt, setzen wir die Formel beim Berechnen der HWZ mit der Hälfte des Anfangswertes gleich:

  $13\cdot e^{-0,025\cdot T}=13\cdot 0,5$

• Berechne die Halbwertszeit.

  Tipps

  Die Berechnung der HWZ ist unabhängig vom Ausgangswert.

  Diese Gleichung ist zu lösen:

  Verwende den natürlichen Logarithmus, um das $e$ aus der Gleichung zu eliminieren.

  Lösung

  Wir möchten die Halbwertszeit (HWZ) berechnen, also die Dauer, bis sich die Masse des Stoffes (der Ausgangswert) um die Hälfte reduziert hat. Dazu bilden wir eine Gleichung, die auf der linken Seite die Funktionsgleichung und auf der rechten Seite den halben Anfangswert aufweist. Diese lösen wir nach der HWZ $T$ auf:

  $\begin{align} 5\cdot e^{-0,346\cdot T} &= 5\cdot 0,5 &|& :5 \\ e^{-0,346\cdot T} &= 0,5 &|&~\ln (~) \\ -0,346 \cdot T &= ln(0,5) &|& :(-0,346) \\ T &= \frac{ln(0,5)}{-0,346} \\ T &= 2,0033 \\ T &\approx 2 \end{align}$

  Die Halbwertszeit von Caesium-134 beträgt also ca. zwei Jahre.

• Bestimme die Halbwertszeit des Stoffes.

  Tipps

  $f(t)$ gibt dir die Masse zu einem bestimmten Zeitpunkt $t$ an:

  Folgende Gleichung musst du lösen:

  Nutze das folgende Logarithmusgesetz:

  Lösung

  Stellen wir uns aus den Angaben zunächst eine Funktion auf.

  Die vom Stoff vorhandenen $240~g$ sind unser Anfangswert $a$.

  Auch der Wachstumsfaktor ist als $k=-0,00285$ gegeben. Damit können wir diese Funktion aufstellen:

  $f(t)=240\cdot e^{-0,00285\cdot t}$

  Im nächsten Schritt stellen wir eine Gleichung auf. Gesucht ist die Halbwertszeit, also ein $t$, zu dem sich die Masse $a$ halbiert hat:

  $\begin{align} 240\cdot e^{-0,00285\cdot T} &= 240\cdot 0,5 &|& :240 \\ e^{-0,00285 \cdot T} &= 0,5 &|& ~\ln (~) \\ -0,00285 \cdot T &= ln(0,5) &|& :(-0,00285) \\ T &= \frac{ln(0,5)}{-0,00285} \\ T &\approx 243 \end{align}$

  Die gesuchte Halbwertszeit beträgt demnach rund $243$ Jahre.

• Ermittle die Halbwertszeit des unbekannten Stoffes.

  Tipps

  Die Halbwertszeit ist unabhängig von der Ausgangsmenge.

  Der Zerfallsprozess wird durch die folgende Funktion beschrieben:

  Die folgende Gleichung ist zu lösen:

  Nutze das folgende Logarithmusgesetz:

  Lösung

  Man kann aus den gegebenen Größen eine Funktion aufstellen, die den Zerfallsprozess beschreibt (vgl. Bild).

  Wir kennen jedoch nicht die Masse, die halbiert werden soll. Du wirst aber sehen, dass sie bei der Berechnung der Halbwertszeit gar keine Rolle spielt, da der Faktor $a$ nach dem ersten Rechenschritt aus der Gleichung eliminiert wird.

  Die einzig relevante Größe in diesen Aufgabenbereichen ist das $k$, der Faktor, mit dem eine Masse wächst oder zerfällt. Nach der Halbwertszeit $T$ beträgt die verbleibende Masse $0,5\cdot a$. Wir müssen also die folgende Gleichung lösen:

  $\begin{align} a\cdot e^{-0,0174 \cdot T} &= a\cdot 0,5 &|& :a \\ e^{-0,0174 \cdot T} &= 0,5 &|&~\ln (~) \\ -0,0174 \cdot T &= ln(0,5) &|& :(-0,0174) \\ T &= \frac{ln(0,5)}{-0,0174} \\ T&\approx 40 \end{align}$

  Der Stoff mit unbekannter Ausgangsmenge hat also eine Halbwertszeit von ca. $40$ Jahren.

• Nenne das gesuchte Logarithmusgesetz.

  Tipps

  Der natürliche Logarithmus ist die Umkehrfunktion der e-Funktion.

  Das kennst du vielleicht schon von $x^2$ und $\sqrt{x}$. $x^2$ ist die Umkehrfunktion von $\sqrt{x}$.

  Wenn du eine positive Zahl zuerst quadrierst und dann die Wurzel ziehst, erhältst du wieder die Ausgangszahl.

  Das $e$ soll mit diesem Gesetz komplett aus der Gleichung eliminiert werden.

  Lösung

  Wir betrachten ein Beispiel, wie es dir in einer Gleichung begegnen kann.

  $e^x=6$

  Wenn man das $x$ herunterholen möchte, braucht man den natürlichen Logarithmus. Er ist die Umkehrfunktion der e-Funktion. Dazu wird der gesamte Ausdruck in den Logarithmus geschrieben:

  $ln(e^x)=ln(6)$

  Doch was passiert jetzt? Sehen wir es uns bei einer Wurzel und einem Quadrat für eine positive Zahl $x$ an:

  $\begin{align} x^2&=9 \\ \sqrt{x^2}&=\sqrt{9} \\ x &=3 \end{align}$

  Durch Anwendung der Umkehrfunktion ist der unerwünschte Exponent eliminiert worden. Dasselbe geschieht bei $e$ durch Anwendung des Logarithmus:

  $\begin{align} \ln (e^x)&=\ln (6) \\ x &= \ln (6) \\ x &\approx 1,79 \end{align}$

  Das richtige Gesetz ist somit:

  $\ln (e^n)=n$

• Ergänze den richtigen Faktor $k$.

  Tipps

  Die Halbwertszeit ist unabhängig von der Anfangsmenge des betrachteten Stoffes.

  Für den Funktionswert zum Zeitpunkt der Halbwertszeit $T$ gilt:

  Löse folgende Gleichung nach $k$ auf:

  Nutze das folgende Logarithmusgesetz:

  Lösung

  Für den Funktionswert zum Zeitpunkt der Halbwertszeit $T$ gilt: $f(T)=a\cdot e^{k\cdot 1300}$

  Betrachten wir die unten stehende Gleichung, so stellen wir fest, dass die Anfangsgröße bei der Halbwertszeit irrelevant ist. Der Rest der Rechnung verläuft analog zu dem Vorgehen beim Berechnen von $t$. Nur dass wir dieses Mal nach $k$ auflösen. Zum Zeitpunkt $T=1300$ ist nur noch $0,5\cdot a$ vom Stoff übrig:

  $\begin{align} a\cdot e^{k\cdot 1300} &= a\cdot 0,5 &|& :a \\ e^{k\cdot 1300} &= 0,5 &|& ~\ln (~) \\ k\cdot 1300 &= ln(0,5) &|& :1300 \\ k &= \frac{ln(0,5)}{1300} \\ k & \approx -0,00053319 \end{align}$

  Die gesuchten Ziffern sind also $53319$.