Erste Variationsregel – Ziehen mit Zurücklegen und Reihenfolge

Hallo, um die Laplacewahrscheinlichkeit und die Formel dafür gewinnbringend anwenden zu können, brauchen wir noch ein Paar Zähltechniken. Die macht man in der elementaren Kombinatorik und da spielt diese Tafel hier eine entscheidende Rolle. Das ist jetzt tatsächlich eine Tafel und 4 Felder sind auf dieser Tafel. Das ist aber nicht die Vierfeldertafel. Die Vierfeldertafel ist ein feststehender Begriff und ist etwas völlig anderes. Hier stehen Rechenmöglichkeiten drauf, wie man die Anzahl der Ergebnisse von bestimmten Zufallsversuchen ausrechnen kann.Wir fangen einmal hier oben an. Das ist der einfachste Fall: n^k. Das ist die Anzahl der Variationen oder man kann auch sagen: "Ziehen mit Zurücklegen" bzw. "Verteilen auf Boxen", wobei die Boxen ein unbegrenztes Fassungsvermögen haben. Ich fange ganz einfach an, um die Sache zu erklären. Wir haben den dreifachen Münzwurf gehabt. Wir haben dazu Tripel als Ergebnisse gewählt. Es kann auf der ersten Position eines solchen Ergebnisses das Wappen oder die Zahl stehen. Zahl oder Wappen - habe ich jetzt so übereinander geschrieben. Auf der zweiten Position, wenn wir das zweite Mal die Münze werfen, dann kann sie wieder Zahl oder Wappen anzeigen. Und beim dritten Mal kann sie das auch machen. Das ist jetzt hier quasi ein stilisiertes Tripel - normalerweise stehen in Tripeln keine Zahlen übereinander - um das zu verdeutlichen.Wie kommt man jetzt auf die Anzahl der Möglichkeiten, auf die Anzahl der Ergebnisse? 2 Symbole können am Anfang auf der ersten Position sein. Für jedes Symbol, ob Zahl oder Wappen, gibt es hier auf der zweiten Position 2 weitere Möglichkeiten. Also müssen wir rechnen: 2×2 Möglichkeiten. Für jede dieser 4 Möglichkeiten, die sich hieraus ergeben, gibt es auf der dritten Position wieder 2 weitere Möglichkeiten. Das bedeutet, wir müssen die 4 noch einmal mit 2 multiplizieren. Wir haben also gerechnet: 2×2×2. Das ist die Anzahl aller Möglichkeiten, die sich beim dreifachen Münzwurf ergibt.Allgemein gesagt haben wir also einen Zufallsversuch, der n mögliche Ergebnisse hat, also hier 2, und der wird k-Mal ausgeführt, also in unserem Fall des dreifachen Münzwurfs dreimal. Und um die Anzahl der Ergebnisse herauszufinden, die dann möglich sind, rechnen wir n^k, Anzahl der Ergebnisse eines Versuchs und wenn der k-Mal ausgeführt wird, eben ^k.Das geht bei vielen anderen Versuchen auch. Bei dreimaligem Würfeln wäre es so, dass man dann 6×6×6 rechnen muss, um auf die Anzahl der möglichen Ergebnisse zu kommen, die sich bei dreimaligem Würfel ergibt. Das sind 216 Ergebnisse.Und ich habe schon gesagt: "Ziehen mit Zurücklegen", bzw. "Verteilen auf Boxen". Das kann man sich folgendermaßen vorstellen: Ich habe 20 Zahlen vorbereitet, die schmeiße ich hier rein. Jetzt kann ich eine Zahl ziehen - das ist die 20 - mir die Zahl notieren und sie wieder zurücklegen. Dann mische ich das alles durcheinander und noch einmal ziehen - das ist die 19. Dann haben wir hier die 19. Dann muss ich wieder mischen und ziehe eine weitere Zahl - das ist die 5. Dann mische ich noch einmal, ich möchte das jetzt viermal machen und dann habe ich hier die 3. Also 5 und 3 kommen noch dazu.Die Frage ist jetzt: Wie viele Ergebnisse gibt es? Die Ergebnisse sind hier jeweils Quadrupel und man stellt sich dieses Quadrupel so vor, dass wir einen Zufallsversuch haben, der viermal ausgeführt wird. Der Zufallsversuch besteht aus dem Ziehen eines Zettels aus dieser Box. Der Zettel wird jeweils zurückgelegt, das heißt, hier können Wiederholungen auftauchen. Ich hätte auch viermal die 20 ziehen können. Das ist der Zufallsversuch, die Frage ist: Wie viele Ergebnisse hat der? Es sind 20⁴, denn für jede Zahl, die auf der ersten Position steht, gibt es 20 weitere Möglichkeiten, auf der zweiten Position 20 weitere, auf der dritten Position usw. Also wieder Anzahl der Zettel hier drin - das ist n - hoch Anzahl der Versuche - das ist k - also: n^k ist die Rechnung, die man machen muss, um auf die Anzahl der Ergebnisse zu kommen.Es gibt noch ein Standardmodell, was man hier einflechten kann, und zwar: das Verteilen von Objekten auf Boxen, die unbegrenztes Fassungsvermögen haben - zumindest theoretisch. Ich kann mir jetzt überlegen: Ich möchte die ersten 5 Zahlen auf Boxen verteilen. Ich nehme die 1 und kann sie z. B. hier reinstecken. Dann nehme ich mir die 2 und die kann ich irgendwo hier reinstecken: in die Mitte. Die 3 auch, die kann ich z. B. wieder hier reinstecken, ist egal. Und die 4 kommt jetzt hier ans Ende. Ich habe bei diesen 5 Zetteln jeweils 5 Möglichkeiten gehabt, sie irgendwie zu verteilen. Ich hatte für die 1 5 Möglichkeiten, weil ich hier 5 Boxen habe. Ich hatte für die 2 wieder 5 Möglichkeiten, weil hier 5 Boxen stehen und weil eben auch mehrere Zettel in einer Box sein können. Deshalb gibt es hier 5⁵ Möglichkeiten, diese Zettel auf diese Boxen zu verteilen. Das ist wieder n^k. n und k sind in dem Fall gleich: jeweils 5.Warum zeige ich das so ausführlich und mit diesen Spielereien hier? Es sind Grundmodelle, wie man zählen kann. Es gibt viele Zufallsversuche, die praktisch nichts anderes sind, als das Verteilen von Zetteln auf Boxen bzw. das Ziehen von Objekten aus einem Behälter - hier mit Zurücklegen und mit Reihenfolge, sagt man so. Es sind Grundmodelle, wie man andere Zufallsversuche verstehen kann. Und wenn man einen Zufallsversuch aus der Praxis hat und den verstehen kann, wie so ein Grundmodell hier, dann ist man relativ schnell fertig, wenn man also die Anzahl der Ergebnisse zählen möchte. Denn wenn man einmal so ein Grundmodell wiederfindet, dann rechnet man einfach n^k und ist sofort mit dem Thema durch.Hier auf dieser Tafel unten - das siehst Du jetzt nicht alles - stehen noch 4 weitere Grundmodelle bzw. Arten von Grundmodellen. Die kommen dann später.Viel Spaß damit, tschüss.