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Determinanten – Lineare Gleichungssysteme lösen (1) 02:58 min

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Transkript Determinanten – Lineare Gleichungssysteme lösen (1)

Die Cramer'sche Regel zur Lösung von linearen Gleichungssystemen. Die Voraussetzungen zur Anwendung der Cramer'schen Regel sind: 1. Das Vorliegen eines quadratischen linearen Gleichungssystems, das heißt, genau so viele Gleichungen wie Unbekannte, außerdem braucht man 2. ein inhomogenes lineares Gleichungssystem mit regulärer Koeffizientenmatrix, das heißt, die Determinante von A darf nicht 0 sein. Ein inhomogenes lineares Gleichungssystem liegt dann vor, wenn die rechte Seite nicht der Nullvektor ist. Zur Theorie: Der eigentliche Trick bei der Anwendung der Cramer'schen Regel ist es, dass man direkt nach den Variablen x1, x2 etc. auflösen kann. Das funktioniert, indem man in den Zähler die Determinante der abgewandelten Koeffizientenmatrix einsetzt, wobei abgewandelt bedeutet, dass zur Berechnung von xk die k-te Spalte durch die rechte Seite ersetzt wird. Im Nenner wird die Determinante der Koeffizientenmatrix eingesetzt. Allgemein kann gesagt werden, dass sich xk aus dem Quotienten der Determinante der abgewandelten Matrix Ak und der Determinante der Koeffizientenmatrix ergibt, mit der Determinante ungleich 0. Dazu nun ein Zahlenbeispiel: Gleichung 1: 1x1+2x2=3 Gleichung 2: 4x1+5x2=6 x1 berechnet sich folgendermaßen: Im Nenner bleibt die Determinante A bestehen. Im Zähler wird die 1. Spalte durch die rechte Seite der Gleichung ersetzt. Dadurch kommen wir auf -1. Und x2 berechnet sich folgendermaßen: Wieder bleibt im Nenner die Koeffizientenmatrix bestehen und im Zähler wird diesmal die 2. Spalte durch die rechte Seite ersetzt, dadurch kommen wir auf das Ergebnis 2. Somit haben wir einen Lösungsvektor x* (-1, 2). Die Cramer'sche Regel ist natürlich auch anwendbar für 3 Kreuz 3 oder sogar größere Systeme.

1 Kommentar
  1. Default

    Danke, du hast mir richtig geholfen! Nun hab ich's!!!

    Von Green Spirit, vor etwa 6 Jahren

Determinanten – Lineare Gleichungssysteme lösen (1) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Determinanten – Lineare Gleichungssysteme lösen (1) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Voraussetzungen für die Cramer'sche Regel an.

    Tipps

    Ein homogenes Gleichungssystem liegt dann vor, wenn die rechte Seite der Nullvektor ist.

    Das Berechnen der Determinante einer Matrix setzt eine gewisse Struktur der Matrix voraus.

    Ist in einer quadratischen Matrix $A$ eine Zeile oder eine Spalte ausschließlich mit $0$ besetzt, so ist $det(A)=0$.

    Lösung

    Die Cramer'sche Regel gibt eine geschlossene Lösungsformel für lineare Gleichungssysteme an. Damit sie angewendet werden kann müssen 2 Voraussetzungen erfüllt sein:

    1. Das lineare Gleichungssystem muss quadratisch sein, also genau so viele Gleichungen wie Unbekannte haben. Damit ist die Koeffizientenmatrix auch quadratisch.
    2. Das lineare Gleichungssystem muss inhomogen sein, also mit rechter Seite ungleich dem Nullvektor. Die Koeffizientenmatrix $A$ muss regulär sein, also $det(A)\neq 0$. Ansonsten würde bei der Cramer'schen Regel durch 0 geteilt werden.

  • Beschreibe die Theorie bei der Anwendung der Cramer'schen Regel.

    Tipps

    Auch die Gleichung $2x=4$ ist ein lineares Gleichungssystem mit einer Gleichung und einer Unbekannten. Die Koeffizientenmatrix ist $A=2$, deren Determinante ist $det(A)=2$. Die abgewandelte Koeffizientenmatrix ist $A_1=4$ mit der Determinante $det(A_1)=4$. Somit ist $x=\frac{det(A)}{det(A_1)}=\frac42=2$.

    Die Cramer'sche Regel wird auch als Determinantenmethode bezeichnet. Sie ist nach Gabriel Cramer benannt, der sie im Jahr $1750$ veröffentlichte.

    Lösung

    Die Cramer'sche Regel zur Berechnung der $k-$ten Koordinate des Lösungsvektors lautet:

    $x_k=\frac{|\vec{a_1},...,\vec{a_{k-1}},\vec{b},\vec{a_{k+1}},...,\vec{a_n}|}{|\vec{a_1},...,\vec{a_n}|}$.

    Im Zähler steht die Determinante der abgewandelten Koeffizientenmatrix, in welcher die $k-$ Spalte der Koeffizientenmatrix durch die rechte Seite des linearen Gleichungssystems $b$ ersetzt wird. Im Nenner steht die Determinante der Koeffizientenmatrix.

    Die Cramer'sche Regel wird auch als Determinantenmethode bezeichnet. Sie ist nach Gabriel Cramer benannt, der sie im Jahr $1750$ veröffentlichte. Bei sehr großen linearen Gleichungssystemen ist sie jedoch im Allgemeinen nicht sehr praktikabel, da die Berechnung der Determinante sehr aufwändig ist. Lineare Gleichungssysteme werden dann zum Beispiel mit dem Gauß'schen Algorithmus gelöst.

  • Bestimme die Lösung des Gleichungssystems.

    Tipps

    Die Determinante einer $2x2$-Matrix

    $A={\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}}$

    ist $det(A)=ad-cb$.

    Die Cramer'sche Regel lautet:

    $\large{x_k=\frac{det(A_k)}{det(A)}}$.

    Lösung

    Zunächst berechnen wir alle Determinanten, welche benötigt werden:

    $A={\begin{pmatrix} 1&2 \\ 4&5 \end{pmatrix}};~A_1={\begin{pmatrix} 3&2 \\ 6&5 \end{pmatrix}};~A_2={\begin{pmatrix} 1&3 \\ 4&6 \end{pmatrix}}$

    • $det(A)=1\cdot 5-4\cdot2=-3$
    • $det(A_1)=3\cdot 5-6\cdot2=3$
    • $det(A_2)=1\cdot 6-4\cdot3=-6$
    Also ist
    • $x_1=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{3}{-3}=-1$ und
    • $x_2=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-6}{-3}=2$.

  • Wende die Cramer'sche Regel an, um das $3\times 3$- Gleichungssystem zu lösen.

    Tipps

    Die Determinante einer $3\times 3$-Matrix wird nach der Sarrus-Regel berechnet: Diese besagt, dass entlang der grünen Diagonalen die Matrixeinträge multipliziert und dann addiert werden:

    $a\cdot e \cdot i + b\cdot f \cdot g + c \cdot d \cdot h$.

    Entlang der roten Diagonalen werden die Matrixelemente multipliziert und dann subtrahiert:

    $-c\cdot e \cdot g - a\cdot f \cdot h - b \cdot d \cdot i$.

    Auch bei linearen Gleichungssystemen höherer Ordnung wird die Koeffizientenmatrix ($A$) bestimmt sowie die abgewandelten Koeffizientenmatrizen ($A_1$, $A_2$ und $A_3$).

    Die Berechnung der Determinanten erfolgt nach der Sarrus-Regel.

    Zum Beispiel ist $A_1={\begin{pmatrix} 2&1&1 \\ 7&-3&0\\ 7&-1&1 \end{pmatrix}}$.

    Lösung

    Die Koeffizientenmatrix ist

    $A={\begin{pmatrix} 1&1&1 \\ 1&-3&0\\ 2&-1&1 \end{pmatrix}}$

    Die abgewandelten Matrizen lauten:

    $A_1={\begin{pmatrix} 2&1&1 \\ 7&-3&0\\ 7&-1&1 \end{pmatrix}};~A_2= {\begin{pmatrix} 1&2&1 \\ 1&7&0\\ 2&7&1 \end{pmatrix}};~A_3={\begin{pmatrix} 1&1&2 \\ 1&-3&7\\ 2&-1&7 \end{pmatrix}}$.

    Exemplarisch sei hier die Determinante von $A$ berechnet:

    $det(A)=-3+0-1+6-0-1=1$.

    Es gilt $det(A_1)=1$, $det(A_2)=-2$ und $det(A_3)=3$.

    Damit ist nach der Cramer'schen Regel

    $\begin{align*} x_1&=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac11=1\\ x_2&=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-2}1=-2\\ x_3&=\frac{det(A_3)}{det(A)}=\frac31=3.\\ \end{align*}$

  • Berechne die Determinante der Matrizen.

    Tipps

    Die Determinante einer $2\times 2$-Matrix

    $A={\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}}$

    ist $det(A)=ad-cb$.

    Diese Regel existiert auch für $3\times 3$-Matrizen. Dies ist die Sarrus-Regel.

    Wenn in einer Matrix eine Zeile (Spalte) das Vielfache einer anderen Zeile (Spalte) ist, so ist die Determinante dieser Matrix $0$.

    Lösung

    Die Berechnung der Determinante einer $2\times 2$-Matrix ist die Differenz des Produktes der Diagonalelemente und dem der Nebendiagonalelemente:

    $det {\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}} = ad-cb$.

    $det {\begin{pmatrix} 1&0 \\ 4&3 \end{pmatrix}} = 1\cdot 3-4 \cdot 0=3$

    $det {\begin{pmatrix} 1&2 \\ 3&4 \end{pmatrix}} = 1\cdot 4-3 \cdot 2=4-6=-2$

    $det {\begin{pmatrix} 1&2 \\ 2&1 \end{pmatrix}} = 1\cdot 1-2 \cdot 2=1-4=-3$

    $det {\begin{pmatrix} 3&5 \\ 6&10 \end{pmatrix}} = 3\cdot 10-6 \cdot 5=30-30=0$

  • Ermittle die Lösung des linearen Gleichungssystems.

    Tipps

    Die Koeffizientenmatrix ist die Matrix, in welcher die Faktoren vor den Unbekannten, die sogenannten Koeffizienten, des linearen Gleichungssystems stehen.

    Es gilt

    $det {\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}}=ad-cb$.

    Lösung

    Um die Cramer'sche Regel anwenden zu können, benötigen wir zunächst die Koeffizientenmatrix ($A$) und, in diesem Fall, die beiden abgewandelten Koeffizientenmatrizen ($A_1$ und $A_2$).

    $A={\begin{pmatrix} -2&3 \\ 3&-1 \end{pmatrix}}$

    Die abgewandelte Koeffizientenmatrix, zum Beispiel zur Berechnung von $x_1$, entsteht aus der Koeffizientenmatrix, indem die erste Spalte ersetzt wird durch die rechte Seite des linearen Gleichungssystems:

    $A_1={\begin{pmatrix} -3&3 \\ 8&-1 \end{pmatrix}};~A_2={\begin{pmatrix} -2&-3 \\ 3&8 \end{pmatrix}}$.

    Die Determinanten können mit der folgenden Regel berechnet werden: $det {\begin{pmatrix} a&b \\ c&d \end{pmatrix}}=ad-cb$.

    • $det(A)=-2\cdot(-1)-3\cdot3=2-9=-7$.
    • $det(A_1)=-3\cdot(-1)-8\cdot3=3-24=-21$.
    • $det(A_2)=-2\cdot8-3\cdot(-3)=-16+9=-7$.
    Nun kann die Cramer'sche Regel zur Berechnung der Lösung angewendet werden:

    $\begin{align*} x_1&=\frac{det(A_1)}{det(A)}=\frac{-21}{-7}=3\\ x_2&=\frac{det(A_2)}{det(A)}=\frac{-7}{-7}=1. \end{align*}$