Brüche erweitern und kürzen (Beispielvideo)

Brüche erweitern und kürzen (Beispielvideo) Übung

• Beschreibe, was Erweitern und Kürzen von Brüchen bedeutet.

  Tipps

  Kürzen ist sozusagen die Umkehrung von Erweitern, und umgekehrt.

  Schau dir ein Beispiel für Erweitern an.

  $\frac14=\frac{1\cdot 5}{4\cdot 5}=\frac{5}{20}$

  Der Wert des Bruches ändert sich beim Erweitern nicht.

  Schau dir ein Beispiel für Kürzen an.

  $\frac{15}{25}=\frac{15:5}{25:5}=\frac35$

  Auch hier ändert sich der Wert des Bruches nicht.

  Lösung

  Merke dir: Wenn das Aufteilen bei Pizzen geht, dann kannst du das auch mathematisch formulieren. Mit Pizza macht das natürlich viel mehr Spaß. Die kannst du nämlich nach dem Üben aufessen.

  Anfangs ist die Pizza in fünf gleich große Teile aufgeteilt. Diese nennt man Fünftel. Mathematisch schreibst du das so: $\frac55$.

  Erweitern von Brüchen

  Wenn der freundliche Pizzabäcker jedes Stück noch einmal in zwei gleich große Teile aufteilt, erhältst du zehn gleich große Teile, nämlich Zehntel: $\frac{10}{10}$.

  Hier kannst du auch schon erkennen, warum das, was unter dem Bruchstrich steht „Nenner“ heißt: Er gibt dem Bruch einen Namen, also zum Beispiel „Fünftel“ oder „Zehntel“. Die Zahl über dem Bruchstrich zählt, wie viele Teile der Pizza es gibt. Darum wird diese Zahl „Zähler“ genannt.

  Nach dem Aufteilen der Pizza haben wir immer noch genau eine Pizza, sie ist nicht mehr oder weniger geworden(... das ist schade ...). Mathematisch können wir dank dieser Information ableiten, dass

  $\frac55=\frac{10}{10}=1$ gilt.

  Das Aufteilen eines Fünftels, also eines Pizzastückes, in zwei gleich große Teile, also Zehntel, führt zu $\frac15=\frac2{10}$.

  Fällt dir etwas auf? Sowohl der Zähler als auch der Nenner des linken Bruches werden mit $2$ multipliziert, also verdoppelt, und so erhältst du den rechten Bruch.

  Wenn du in einem Bruch den Zähler und den Nenner mit derselben Zahl multiplizierst, nennt man das Erweitern.

  Kürzen von Brüchen

  Du kannst, sofern dies möglich ist, auch in einem Bruch den Zähler und den Nenner durch dieselbe Zahl dividieren. Das nennt man Kürzen.

  Schau dir hierfür das obige Beispiel an: $\frac2{10}=\frac{2:2}{10:2}=\frac15$.

  Wichtig ist, dass sowohl beim Erweitern als auch beim Kürzen sich der Wert eines Bruches nicht ändert.

  Das kannst du dir wirklich gut am Beispiel der Pizza klarmachen. Wenn du die gegebenen Stücke jeweils wieder in gleich viele Stücke aufteilst, verändert sich doch sicher die Menge an Pizza nicht. Probier das doch einmal selbst aus. Und dann lass dir die Pizza schmecken!

• Gib den jeweils erweiterten oder gekürzten Bruch an.

  Tipps

  Erweitern eines Bruches bedeutet, dass du sowohl den Zähler als auch den Nenner mit derselben Zahl multiplizierst.

  Kürzen eines Bruches bedeutet, dass du sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl dividierst.

  Schau dir ein Beispiel für das Kürzen an.

  $\frac{32}{48}=\frac{32:16}{48:16}=\frac23$

  Lösung

  Im Folgenden kannst du an einigen Beispielen das Erweitern und Kürzen von Brüchen üben.

  Erweitern bedeutet das Multiplizieren des Nenner und Zählers eines Bruches mit derselben Zahl.

  Es soll jeweils der Bruch $\frac34$ erweitert werden ...

  • ... mit $2$. So erhältst du $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 2}{4\cdot 2}=\frac{6}{8}$.
  • ... mit $7$. Du rechnest dann $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 7}{4\cdot 7}=\frac{21}{28}$.
  • ... mit $234$. Hier multiplizierst du so $\frac{3}{4}=\frac{3\cdot 234}{4\cdot 234}=\frac{702}{936}$.

  Kürzen bedeutet das Dividieren des Nenner und Zählers eines Bruches durch dieselbe Zahl.

  Es ist $\frac{10}{15}=\frac23$. Das weißt du vielleicht noch von dem Beispiel mit der Pizza. Nur wie kannst du das denn mathematisch zeigen? Da $10$ und $15$ den gemeinsamen Teiler $5$ haben, kannst du beide durch $5$ teilen. So erhältst du:

  $\frac{10}{15}=\frac{10:5}{15:5}=\frac23$.

• Erkläre, wie Paul sich entscheiden soll.

  Tipps

  Wenn du gleichnamige Brüche vergleichen möchtest, vergleichst du die Zähler: $\frac47\lt\frac67$, da $4\lt 6$ ist.

  Vorher musst du beide Brüche erweitern.

  Erweitern bedeutet, dass du Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl multiplizierst.

  Lösung

  Das ist eine sehr knifflige Aufgabe. Aber für Erdbeerkuchen macht Paul einfach alles. Er überlegt: Hier muss er zwei Brüche vergleichen. Gilt $\frac5{12}\lt \frac25$ oder umgekeht $\frac5{12}\gt \frac25$?

  Um das herauszufinden, muss er erst einmal die Brüche gleichnamig machen. Das bedeutet, dass er beide Brüche so erweitern muss, dass sie einen gemeinsamen Nenner haben.

  • Er erweitert $\frac5{12}$ mit $5$. Das ist der Nenner von $\frac25$. So erhält er $\frac5{12}=\frac{5\cdot 5}{12\cdot 5}=\frac{25}{60}$.
  • Nun schaut er sich den anderen Bruch an, $\frac25$. Den muss er mit $12$ erweitern zu $\frac25=\frac{2\cdot 12}{5\cdot 12}=\frac{24}{60}$.

  Jetzt sind beide Nenner gleich $60$. Paul muss schließlich die Zähler vergleichen. Es ist $25\gt 24$. Damit kann Paul folgern, dass auch $\frac{25}{60}\gt\frac{24}{60}$ ist, also $\frac{5}{12}\gt \frac25$.

  Er entscheidet sich also für $\frac{5}{12}$ des Kuchens und freut sich auf ein tolles Fest mit seinen Freunden und seinem geliebten Erdbeerkuchen.

• Ermittle jeweils den erweiterten oder gekürzten Bruch.

  Tipps

  Die ersten beiden Brüche werden erweitert und die letzten beiden gekürzt.

  • Erweitern bedeutet die Multiplikation von Zähler und Nenner eines Bruches mit derselben Zahl.
  • Kürzen bedeutet die Division von Zähler und Nenner eines Bruches durch dieselbe Zahl.

  Beachte, dass beim Erweitern und auch beim Kürzen der Wert eines Bruches nicht verändert wird.

  Lösung

  Die ersten beiden Brüche werden erweitert. Hier ist nicht vorgegeben, mit welcher Zahl die Brüche erweitert werden.

  • $\frac45$ wird mit $5$ erweitert zu $\frac{4}{5}=\frac{4\cdot 5}{5\cdot 5}=\frac{20}{25}$. Wie kommst du auf den Faktor? Rechne umgekehrt $20:4=5$ und $25:5=5$. Du siehst, du erhältst jeweils das gleiche Ergebnis. Dies ist der Faktor, mit welchem du erweiterst.
  • $\frac56$ wird mit $4$ erweitert zu $\frac{5}{6}=\frac{5\cdot 4}{6\cdot 4}=\frac{20}{24}$.

  Die beiden anderen Brüche werden gekürzt. Du musst dabei gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner finden.

  • Der größte gemeinsame Teiler von $12$ und $18$ ist $6$. Du kannst also kürzen $\frac{12}{18}=\frac{12:6}{18:6}=\frac{2}{3}$.
  • Der größte gemeinsame Teiler von $24$ und $42$ ist ebenfalls $6$. Auch hier kannst du nun kürzen: $\frac{24}{42}=\frac{24:6}{42:6}=\frac{4}{7}$.

• Benenne die Besonderheiten beim Erweitern und Kürzen.

  Tipps

  Merke dir: Der Nenner benennt den Bruch. Er ist sozusagen die Maßeinheit des Bruches.

  Bei gleichnamigen Brüchen reicht es, wenn du die Zähler vergleichst.

  Lösung

  Nun hast du schon das ein oder andere über das Erweitern oder Kürzen von Brüchen gelernt.

  Merke dir noch:

  • Das Erweitern oder Kürzen von Brüchen verändert den Wert dieser Brüche nicht.
  • Warum solltest du eigentlich Brüche erweitern? Wenn du zum Beispiel Brüche addieren möchtest, müssen diese gleichnamig sein. Was heißt das? Zwei Brüche heißen gleichnamig, wenn sie einen gemeinsamen Nenner haben. Gegebenenfalls musst du Brüche erweitern, um sie gleichnamig zu machen.
  • Ein weiteres Beispiel für das Erweitern oder Kürzen ist das Vergleichen von Brüchen. Du kannst gleichnamige Brüche vergleichen, indem du die Zähler vergleichst.

  Hier siehst du noch ein Beispiel für das Vergleichen von Brüchen: $\frac12 ???\frac35$. Welcher der beiden Brüche ist größer als der andere?

  • Bringe erst einmal durch Erweitern beide Brüche auf einen gemeinsamen Nenner:
  • Erweitere hierfür $\frac12$ mit dem Nenner $5$ des anderen Bruches zu $\frac12=\frac{1\cdot 5}{2\cdot 5}=\frac{5}{10}$.
  • Erweitere nun $\frac35$ mit dem Nenner $2$ des linken Bruches zu $\frac35=\frac{3\cdot 2}{5\cdot 2}=\frac{6}{10}$.

  Nun kannst du vergleichen $\frac{5}{10}\lt\frac{6}{10}$, da $5\lt 6$ ist.

• Wende das Erweitern und Kürzen von Brüchen an, um die Additionsaufgabe zu lösen.

  Tipps

  Schau dir ein Beispiel an: $\frac12+\frac34$.

  • Erweitere den linken Summanden mit $2$: $\frac12+\frac34=\frac24+\frac34$.
  • Nun kannst du die Zähler addieren und den Nenner beibehalten: $\frac24+\frac34=\frac{2+3}4=\frac54$.

  Hier siehst du jeweils ein Beispiel für das Erweitern oder Kürzen von Brüchen.

  • Erweitern: $\frac23=\frac{2\cdot 6}{3\cdot 6}=\frac{12}{18}$
  • Kürzen: $\frac{21}{35}=\frac{21:7}{35:7}=\frac35$

  Ein kleines Knobelspiel. Für das endgültige, also gekürzte, Ergebnis gilt:

  • Die Summe von Zähler und Nenner ist $11$.
  • Der Zähler ist um $1$ kleiner als der Nenner.

  Lösung

  Du weißt bereits, dass das Erweitern von Brüchen wichtig ist im Zusammenhang von Vergleichen von Brüchen. Du kannst gleichnamige Brüche vergleichen, indem du deren Zähler vergleichst.

  Wenn du Brüche addieren oder subtrahieren möchtest, musst du die Brüche gegebenenfalls gleichnamig machen. Das heißt, dass du einen oder beide Brüche so erweitern musst, dass beide Brüche einen gemeinsamen Nenner haben.

  Das üben wir nun gemeinsam mit Anna und Julian an dem Beispiel $\frac37+\frac{17}{42}$.

  Das hat Anna gut erkannt: $42=6\cdot 7$. Das bedeutet, dass sie nur den linken Bruch erweitern muss mit $6$. Dies führt zu

  $\frac37+\frac{17}{42}=\frac{3\cdot 6}{7\cdot 6}+\frac{17}{42}=\frac{18}{42}+\frac{17}{42}$.

  Diese Brüche sind gleichnamig. Sie haben den gemeinsamen Nenner $42$.

  Nun ist Julian an der Reihe. Er weißt, dass er bei gleichnamigen Brüchen die Zähler addieren muss:

  $\frac{18}{42}+\frac{17}{42}=\frac{18+17}{42}=\frac{35}{42}$.

  Schließlich fällt Anna auf, dass sowohl $35$ im Zähler als auch $42$ im Nenner den gemeinsamen Teiler $7$ haben. Sie kann also kürzen.

  $\frac{35}{42}=\frac{35:7}{42:7}=\frac56$

  Dieses Ergebnis kann nicht mehr weiter vereinfacht werden.