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Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung

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Martin Wabnik
Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung
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Grundlagen zum Thema Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung

Inhalt

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Definition

Du kennst schon die Wahrscheinlichkeit von Ereignissen eines Zufallsexperiments. In diesem Video erklären wir dir die bedingte Wahrscheinlichkeit. Wir betrachten dazu die Ereignisse $A$ und $B$ eines Zufallsexperiments. $P(A)$ bezeichnet die Wahrscheinlichkeit dafür, dass das Ereignis $A$ eintritt, und $P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $B$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ ist die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $A$ unter der Bedingung, dass das Ereignis $B$ bereits eingetreten ist.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Formel

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ hängt von der Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $B$ und von der Wahrscheinlichkeit des gemeinsamen Eintretens von $A$ und $B$ ab. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist durch folgende Formel definiert:

$P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}$

In Worten besagt die Formel: Die Wahrscheinlichkeit des Eintretens von $A$ unter der Bedingung des Eintretens von $B$ ist der Anteil der Wahrscheinlichkeit von $A \cap B$ an der Wahrscheinlichkeit von $B$.

Bedingte Wahrscheinlichkeit – Beispiel

Ein Zufallsexperiment heißt Laplace-Experiment, wenn jedes Ergebnis dieselbe Wahrscheinlichkeit hat. Wir betrachten hier ein Experiment, bei dem einer von $20$ möglichen Bauklötzen zufällig gewählt oder gezogen wird. Als Ereignisse $A$ und $B$ wählen wir die Mengen von Klötzen in den beiden farbig markierten Feldern aus.

Bedingte Wahrscheinlichkeit Laplace

Die Wahrscheinlichkeit, einen Klotz aus $A$ zu ziehen, ist $P(A) = \frac{6}{20} = 0,3$. Die Wahrscheinlichkeit für einen Klotz aus $B$ ist $P(B) = \frac{8}{20} = 0,4$. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gezogener Klotz sowohl zu $A$ als auch zu $B$ gehört, ist $P(A \cap B) = \frac{4}{20} = 0,2$.

Die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein aus $B$ gezogener Klotz auch zu $A$ gehört. Diese Wahrscheinlichkeit können wir mit der Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit ausrechnen:

$P(A|B) = \frac{0,2}{0,4} = 0,5$

Da wir hier von einem Laplace-Experiment ausgegangen sind, können wir auch direkt den Anteil von $A \cap B$ an $B$ ausrechnen und erhalten dasselbe Ergebnis.

Die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit gilt aber für alle Zufallsexperimente, nicht nur für Laplace-Experimente. Das erläutern wir an einem ähnlichen Beispiel mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten für die einzelnen Ergebnisse:

Bedingte Wahrscheinlichkeit

In dem Bild bezeichnen die Zahlen auf den Klötzen jeweils die Wahrscheinlichkeit in $\%$ für das Ergebnis. Die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten des Ereignisses $A$ ist die Summe der Wahrscheinlichkeiten seiner Ergebnisse:

$P(A) = 6\% + 10\% + 4\% + 10\% + 10\% + 8\% = 48\% = 0,48$

Analog erhalten wir die Wahrscheinlichkeit für das Eintreten von $B$:

$3 \cdot 4\% + 2 \cdot 8\% + 2 \cdot 10\% + 16\% = 64\% = 0,64$

Das Ereignis $A \cap B$ hat die Wahrscheinlichkeit:

$P(A \cap B) = 4\% + 8\% + 2 \cdot 10\% = 32\% = 0,32$

Daher ist die bedingte Wahrscheinlichkeit für $A$ unter der Bedingung $B$:

$P(A|B) = \frac{0,32}{0,64} = \frac{1}{2} = 0,5$

Wir können auch die Wahrscheinlichkeit für $B$ unter der Bedingung $A$ ausrechnen:

$P(B|A) = \frac{P(A\cap B)}{P(A)} = \frac{0,32}{0,48} = \frac{2}{3} = 0,\overline{6}$

Bedingte Wahrscheinlichkeit - Zusammenfassung

In diesem Video wird dir die bedingte Wahrscheinlichkeit verständlich erklärt. Du erfährst an Beispielen, wie du die bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen kannst. Die Beispiele behandeln sowohl Laplace-Experimente als auch allgemeine Zufallsexperimente.

Transkript Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung

Hallo, was ist bedingte Wahrscheinlichkeit? Das wollen wir jetzt mal klären und dazu haben wir hier eine kleine Formel. Das ist quasi die Definition. Die schauen wir uns dann gleich erstmal in groß an. Und dann kommt noch ein Schaubild an dem wir die Idee der bedingten Wahrscheinlichkeit verstehen können. Wir schauen uns diese kleine Formel erstmal in groß an. Und da haben wir P von A unter Bedingung B ist gleich P von A geschnitten B geteilt durch P von B. Das bedeutet die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B ist gleich dem Quotienten aus der Wahrscheinlichkeit des Durchschnitts von A und B und der Wahrscheinlichkeit von B. Und da diese Formel grafisch optisch nicht so viel her macht, habe ich da mal was vorbereitet. Wir können uns hier einen Laplace Versuch vorstellen. Wir ziehen zufällig einen dieser Bauklötze aus dieser Grundmenge und wir haben hier das Ereignis A, also die Menge A und hier das Ereignis B, eben die Menge B. Wir haben vier Elemente im Durchschnitt von A und B. Wir haben in B acht Elemente und deshalb ist der Anteil von A geschnitten B an B gleich ein halb. Ja, und das ist schon die bedingte Wahrscheinlichkeit, nämlich die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Also, haben wir, der Anteil von A geschnitten B an B ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Wir können die bedingte Wahrscheinlichkeit auch hier mit unserer großen Formel ausrechnen. Wir haben die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B ist gleich vier zwanzigstel, weil vier Elemente in A geschnitten B sind und es 20 Elemente in der Grundmenge gibt. Also, vier zwanzigstel geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von B. In B gibt es acht Elemente. In der Grundgesamtheit gibt es weiter 20 Elemente. Also, ist die Wahrscheinlichkeit von B acht zwanzigstel und das ist gleich ein halb. Wir können unsere kleine Formel auch auf Zufallsversuche anwenden, die keine Laplace Versuche sind. Hier haben Ergebnisse zum Beispiel unterschiedliche Wahrscheinlichkeiten. Dieses Ergebnis soll eine Wahrscheinlichkeit von vier Prozent haben und dieses Ergebnis eine Wahrscheinlichkeit von zehn Prozent. Die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B ist gleich zehn plus zehn plus acht plus vier gleich 32 Prozent. Also, ist die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B gleich 0,32. Für die Wahrscheinlichkeit von B addieren wir hier auch alle Wahrscheinlichkeitsangaben und kommen auf 64 Prozent, also 0,64 und 0,32 geteilt durch 0,64 ist gleich ein halb. Das ist also die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B. Ja, und wenn wir das ernst nehmen was hier steht, haben wir hier den Wahrscheinlichkeitsanteil von A geschnitten B an der Wahrscheinlichkeit von B, ja so rechnet man Anteile aus. Das ist auch das Gleiche, was wir hier sehen, der Wahrscheinlichkeitsanteil von A geschnitten B an B ist die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung B und in dem Fall ist die Wahrscheinlichkeit ein halb. Rein zum Spaß können wir mit unserer großen Formel hier auch die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A ausrechnen. Das ist dann die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von A. In unserem Fall ist das dann 0,32, ja die Wahrscheinlichkeit kennen wir schon. Also, die Wahrscheinlichkeit von A geschnitten B geteilt durch die Wahrscheinlichkeit von A, die ist hier 48 Prozent, also 0,48 und das ist gleich zwei Drittel. Wir rechnen hier auch wieder einen Wahrscheinlichkeitsanteil aus, nämlich den Wahrscheinlichkeitsanteil von A geschnitten B an der Wahrscheinlichkeit von A und das ist halt die Wahrscheinlichkeit von B unter der Bedingung A. So dann sind wir fertig. Wir haben die Definition der bedingten Wahrscheinlichkeit gesehen und wir haben auch ein Schaubild gesehen und konnten der bedingten Wahrscheinlichkeit damit eine grafisch optische Bühne bieten. Und vielleicht denkst du dir jetzt: „Naja, so ein Schaubild mit Bauklötzen, das ist doch etwas banal.“ Aber so einfach dieses Schaubild ist so effektiv ist es auch. Wenn du dich mal ein bisschen umguckst, welche Erklärungen es zur bedingten Wahrscheinlichkeit gibt, wirst du vermutlich feststellen, dass es sehr viele unterschiedliche Ansätze gibt, aber allgemein ist dieses Schaubild. Vertrau mir, ich weiß was ich tue. Tschüss.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. @Masser Perrperil In dem Video wird der Satz von Bayes nicht deutlicher thematisiert, weil das Thema des Videos ein anderes ist, nämlich die Veranschaulichung der bedingten Wahrscheinlichkeit - wie das der Titel bereits andeutet. Dafür braucht es kein Rechen-Procedere, welches statt von einer vierfach-gemoppelten, allgemeinen, größtmöglichen und 100%igen Grundmenge von einer Teilmenge ausgeht.
    Dass in den Übungen etwas vorausgesetzt werde, was nicht im Video vorkommt, ist für mich nicht nachvollziehbar. Der Nachvollziehbarkeit solcher Behauptungen käme es sicherlich zugute, würde man expressis verbis wirklich auf den Punkt bringen, was genau je selber wenigstens selbst nicht vorgeführt wurde.

    Von HANS WURST, vor 8 Monaten
  2. Warum wird die Formel von Bayes nicht viel deutlicher thematisiert - im Video? Lediglich so etwas wie "bedingte Wahrscheinlichkei" wurde mit Farben und Formen und Bauklötzchen ganz niedlich augestellt: Ja klar, nicht dass ich etwas gegen plastische, zuweilen als simplifizierend erscheinende Darstellungen etwas hätte: Im Gegenteil! Für sich sehr gut gelungen sogar. Aber von der Feststellung - (welche im Übrigen auch wieder vom Beschauer selbst so herausgelesen werden muss) - weil nicht expressis verbis wirklich auf den Punkt gebracht - dass statt von allgemeiner größtmöglicher, ergo 100 % iger Grundmenge, eben von einer Teilmenge ausgegangen wird, unter derselben Bedingung das ganze Rechen- Procedere steht, bis zum Satz von Bayes, sind es allerdings wohl noch ein paar Meilen - findet Ihr nicht auch? Ihr setzt mit den Übungen sehr viel - zu viel - voraus. OHNE es je selber wenigstens EINMAL SELBST vorzuführen. Schade.

    Von Masser Perrperll, vor 8 Monaten
  3. Echt Klasse wie professionell und verständlich Sie ihre Videos machen. Danke !

    Von Sam Jansen-B, vor mehr als einem Jahr
  4. Sehr gut erklärt, hab es schnell verstanden. Danke!

    Von Andrea F., vor mehr als 2 Jahren

Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bedingte Wahrscheinlichkeit – einfache Erklärung kannst du es wiederholen und üben.
  • Gib die Bedeutung der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten wieder.

    Tipps

    Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ enthält alle Elemente, die entweder in einer der beiden Mengen oder in beiden Mengen gleichzeitig liegen.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $X$ unter der Bedingung $Y$ wird mit folgender Formel berechnet:

    $P(X|Y)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(Y)}$

    Lösung

    Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

    „Eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis $A$ ist unter der Voraussetzung, dass außerdem ein weiteres Ereignis $B$ eintritt.“

    • Wenn wir eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dann wollen wir ermitteln, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ereignis ist, wenn wir schon wissen, dass auch ein anderes Ereignis eintritt bzw. bereits eingetreten ist.
    „Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch den Quotienten aus der Gesamtwahrscheinlichkeit der Ereignisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, und der Ereignisse, die in $B$ liegen.“

    • Um diese bedingte Wahrscheinlichkeit auszurechnen, wollen wir gewissermaßen den Anteil am vorausgesetzten Ereignis $B$ bestimmen, den das Ereignis $A$ einnimmt. Ein solcher Anteil wird in der Mathematik durch einen Quotienten ausgedrückt.

    „Die Ereignisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, bilden die Schnittmenge $A\cap B$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann also durch die folgende Formel gegeben:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$“

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A|B$.

    Tipps

    Hier wird jeder Bauklotz mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein gewählter Bauklotz in $B$ liegt, gleich dem Quotienten aus der Anzahl der Elemente (Bauklötze) in $B$ und der Anzahl der insgesamt vorhandenen Elemente:

    $P(B)=\dfrac{|B|}{|M|}$

    In der Schnittmenge von $A$ und $B$ liegen alle Elemente (Bauklötze), die gleichzeitig in $A$ und in $B$ liegen.

    Die Formel für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ lautet:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

    Lösung

    Die Elemente der jeweiligen Mengen sind hier die Bauklötze, die sich in den einzelnen Mengen befinden. Die Grundgesamtheit (also die Gesamtheit aller Bauklötze) bezeichnen wir hier als $M$. Durch schlichtes Durchzählen sehen wir, dass es insgesamt $20$ Bauklötze gibt, also gilt:

    $|M|=20$.

    Schreiben wir Betragsstriche um eine Menge, so meinen wir damit immer die Anzahl an Elementen in dieser Menge (die sogenannte Mächtigkeit der Menge). Ebenfalls durch Nachzählen erhalten wir $|B|=8$, da $8$ Bauklötze in $B$ liegen. Mit $|A\cap B|$ ist die Mächtigkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$ gemeint, also die Anzahl an Elementen, die gleichzeitig in $A$ und $B$ liegen. Hier kommen wir auf $|A\cap B|=4$.

    Da hier alle Bauklötze mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauklotz in einer bestimmten Menge liegt, gegeben durch die Mächtigkeit dieser Menge geteilt durch die Mächtigkeit der Grundgesamtheit. Sprich, je mehr Bauklötze eine Menge umfasst, desto wahrscheinlicher ist es, dass ein zufällig gewählter Bauklotz auch in dieser Menge liegt. Die Mächtigkeiten $|M|$, $|B|$ und $|A\cap B|$ kennen wir, also können wir berechnen:

    $P(B)=\dfrac{|B|}{|M|}=\dfrac{8}{20}=0,4$

    $P(A\cap B)=\dfrac{|A\cap B|}{|M|}=\dfrac{4}{20}=0,2$

    Nun kennen wir alle Wahrscheinlichkeiten, die wir benötigen, um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ zu berechnen. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Bauklotz, von dem wir bereits wissen, dass er in $B$ liegt, auch in $A$ liegt (dass er also in der Schnittmenge $|A\cap B|$ liegt). Dafür nutzen wir die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten und erhalten:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,2}{0,4}=0,5$

  • Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Situationen.

    Tipps

    Wenn alle Elemente mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewähltes Element in einer Menge $Z$ liegt, gleich der Anzahl der Elemente in dieser Menge geteilt durch die Anzahl an Elementen insgesamt.

    Wenn einzelne Elemente mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten ausgewählt werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewähltes Element in einer Menge $Z$ liegt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elemente in dieser Menge.

    Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten lautet:

    $P(M_1|M_2)=\dfrac{P(M_1\cap M_2)}{P(M_2)}$

    Lösung

    Erstes Bild:

    Hier wird bei einer zufälligen Auswahl jedes Element (jeder Kreis) mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Element beispielsweise in der Menge $A$ liegt, gegeben ist als die Anzahl der Elemente in $A$ geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit, die wir $M$ nennen:

    $P(B)=\dfrac{|B|}{|M|}$

    Analog erhalten wir auch die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(A\cap B)$, wobei $A\cap B$ die Schnittmenge von $A$ und $B$ ist, also die Elemente enthält, die in beiden Mengen gleichzeitig liegen.

    Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, zählen wir also einfach durch und erhalten:

    $|M|=30, \quad |A|=6, \quad |B|=15, \quad |A\cap B|=3$

    Damit berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten:

    $P(A)=\dfrac{|A|}{|M|}=0,2$,

    und analog erhalten wir $P(B)=0,5$ bzw. $P(A\cap B)=0,1$. Diese Wahrscheinlichkeiten können wir jetzt in die Formel für die bedingten Wahrscheinlichkeiten einsetzen und erhalten:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=0,2 \qquad P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=0,5$

    Zweites Bild:

    Diesmal sind nicht alle Elemente gleich wahrscheinlich. Deshalb müssen wir, um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein zufällig gewähltes Element in einer Menge liegt, die Wahrscheinlichkeiten aller Elemente in dieser Menge summieren.

    Für die Grundgesamtheit $M$ erhalten wir dabei eine Wahrscheinlichkeit von $100\%=1$. Addieren wir alle Zahlen in den Kugeln, die in $X$ liegen, erhalten wir $P(X)=0,4$, und für $B$ analog $P(Y)=0,5$. Für die Schnittmenge $X\cap Y$ erhalten wir $P(X\cap Y)=0,2$.

    Diese Werte können wir nun wieder wie gewohnt in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen. Wir erhalten:

    $P(X|Y)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(Y)}=0,4 \qquad P(Y|X)=\dfrac{P(Y\cap X)}{P(X)}=0,5$

  • Erschließe dir aus den folgenden Beispielen jeweils die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten lautet:

    $P(M_1|M_2)=\dfrac{P(M_1\cap M_2)}{P(M_2)}$

    Falls es dir schwerfällt, den Überblick über die Gruppen mit verschiedenen Eigenschaften in einer Grundgesamtheit zu behalten, kann eine Vierfeldertafel hilfreich sein.

    Lösung

    Problem 1:

    Hier ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit diejenige, dass wir eine Niete ziehen unter der Bedingung, dass die Kugel, die wir gezogen haben, rot ist. Da alle Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel gegeben mit $P(\text{rot})=\frac{50}{90}=\frac{5}{9}$. Von den $50$ roten Kugeln enthalten $5$ Treffer, also $45$ Nieten; somit gibt es genau $45$ von $90$ Kugeln, die rot sind und eine Niete enthalten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällige Kugel rot ist und gleichzeitig eine Niete enthält, ist also $P(\text{rot}\cap\text{Niete})=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}$.

    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun $P(\text{Niete}|\text{rot})$. Für diese erhalten wir:

    $P(\text{Niete}|\text{rot})=\dfrac{P(\text{Niete}\cap\text{rot})}{P(\text{rot})}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{9}}=\dfrac{9}{10}=0,9$

    Problem 2:

    Hier ist es wichtig, den Überblick über die verschiedenen Gruppen zu behalten. Dabei kann dir eine Vierfeldertafel, wie sie hier abgebildet ist, behilflich sein. Die schwarz abgebildeten Zahlen sind hier vorgegeben und aus ihnen kannst du auf die restlichen (hier grün) schließen.

    Hier wählen wir einen Menschen zufällig aus, und zwar so, dass jeder Mensch mit derselben Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird. Wir können also, um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wieder die Anzahlen in den entsprechenden Menschengruppen durcheinander teilen. Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit $P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50|\text{Brille})$. Dafür benötigen wir die Wahrscheinlichkeit $P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50\cap\text{Brille})$, die wir mit $\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$ ablesen können. Außerdem brauchen wir die Wahrscheinlichkeit der Bedingung, also $P(\text{Brille})$, die wir mit $\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$ ablesen. Daraus ergibt sich:

    $P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50|\text{Brille})=\dfrac{P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50\cap\text{Brille})}{P(\text{Brille})}=\dfrac{0,1}{0,4}=\dfrac{5}{20}=0,25$

  • Bestimme, welche der Formeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten korrekt sind.

    Tipps

    Die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Element, das in $M_2$ liegt, auch in $M_1$ liegt, lautet:

    $P(M_1|M_2)=\dfrac{M_1\cap M_2}{M_2}$

    Die Operation der Schnittmenge ist kommutativ:

    $M_1\cap M_2 = M_2 \cap M_1$

    Wenn wir die Bedingung stellen, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, und dann nach der Wahrscheinlichkeit dafür fragen, dass genau dieses Ereignis eintritt, so brauchen wir nichts zu berechnen: Wir wissen schließlich absolut sicher, dass das Ereignis eintritt, da wir die gestellte Bedingung erfüllen müssen.

    Lösung

    Die folgenden Wahrscheinlichkeiten wurden falsch berechnet:

    • $P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(A\cap B)}$: hier wurden zum einen Zähler und Nenner vertauscht, zum anderen muss die Wahrscheinlichkeit des als Bedingung gestellten Ereignisses (also hier $P(W)$ statt $P(V)$) im Nenner stehen.
    • $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$: auch hier steht nicht die Wahrscheinlichkeit des als Bedingung gestellten Ereignisses im Nenner. Ein solcher „Buchstabenverwechsler“ ist leicht zu übersehen, liefert aber in der Regel komplett falsche Ergebnisse; also ist Vorsicht geboten:
    • $P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(B)}$: Diese Formel sieht schön einfach aus, ergibt aber leider recht wenig Sinn. So könnten wir hier beispielsweise Wahrscheinlichkeiten erhalten, die größer als $1$ sind, falls die Menge $A$ eine größere Gesamtwahrscheinlichkeit enthält als die Menge $B$. Die richtige Formel lautet:
    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

    Die folgenden Wahrscheinlichkeiten wurden richtig berechnet:

    • $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
    • $P(A|B)=\dfrac{P(B\cap A)}{P(B)}$: Im Nenner muss immer die Wahrscheinlichkeit des als Bedingung gestellten Ereignisses, hier also $B$, stehen. Im Zähler können wir die Reihenfolge der beiden Ereignisse in der Formel allerdings vertauschen, da die Bildung der Schnittmenge eine kommutative Rechenoperation ist. Es gilt also: $A\cap B=B\cap A$
  • Nutze den Satz von Bayes, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

    Tipps

    Gegeben ist hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test tatsächlich positiv ausfällt, falls du infiziert bist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du tatsächlich infiziert bist, wenn der Test positiv ausfällt.

    Wenn sich im Schnitt eine von $100$ Personen mit einem Virus infiziert, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du dich infiziert hast, anfangs $P(A)=1\%$.

    Die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ dafür, dass der Test positiv ausfällt, ist die gewichtete Summe der Wahrscheinlichkeiten dafür, dass

    • der Test positiv ausfällt, falls tatsächlich eine Infektion vorliegt und
    • der Test positiv ausfällt, falls keine Infektion vorliegt.
    Also:

    $P(B)=P(\text{pos. falls inf.})\cdot P(\text{inf.})+P(\text{pos. falls nicht inf.})\cdot P(\text{nicht inf.})$

    Lösung

    Wir wollen uns erst einmal darüber klar werden, welches Ereignis hier eigentlich gesucht ist. Dafür führen wir folgende Bezeichnungen ein:

    • Ereignis $A$ = du bist infiziert
    • Ereignis $B$ = der Test zeigt an, dass du infiziert bist (positiv)
    Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du tatsächlich infiziert bist, falls der Test positiv ausfällt, also $P(A|B)$. Diese wollen wir mit dem Satz von Bayes

    $P(A|B)=\dfrac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

    berechnen. Die dafür benötigten Größen erhalten wir wie folgt:

    • $P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt unter der Bedingung, dass du infiziert bist. Der Test liegt in $100\%$ aller Fälle richtig, falls der Patient tatsächlich infiziert ist; diese Wahrscheinlichkeit ist also gleich $1$.
    • $P(A)$ ist die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit dafür, dass du dich mit der Krankheit infiziert hast. Da sich im Mittel eine von $100$ Personen mit der Krankheit infiziert, ist diese Wahrscheinlichkeit gleich $0,01$, oder einem Prozent.
    • $P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt. In dem einen Prozent der Fälle, in denen ein Patient tatsächlich angesteckt ist, fällt der Test auf jeden Fall positiv aus. Bei den nicht infizierten $99\%$ der Patienten liegt der Test aber in $1\%$ der Fälle falsch, meldet also trotzdem eine Infektion. Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt, ist dann die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten: $P(B)=1\cdot 0,01 + 0,01\cdot 0,99$
    Setzen wir diese Werte in die Formel ein, so ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit:

    $P(A|B)=\dfrac{1\cdot 0,01}{1\cdot 0,01+0,01\cdot 0,99}\approx 0,5 = 50\%$

    Hier solltest du dir einen Moment nehmen und über die Bedeutung dieses Ergebnisses nachdenken. Der in diesem Beispiel erwähnte Test könnte beispielsweise damit beworben werden, dass er die gesuchte Krankheit „in $100\%$ aller Fälle erkennt“. Technisch gesehen wäre das keine Lüge, denn der Test erkennt ja tatsächlich auch jeden Infizierten als infiziert. Dadurch, dass der Test aber auch gesunde Menschen gelegentlich als infiziert meldet, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion nach positivem Test trotzdem „nur“ $50\%$. Bei solch kühnen Behauptungen ist also oft Vorsicht geboten!

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