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Bedingte Wahrscheinlichkeit - einfache Erklärung 06:19 min

1 Kommentar
  1. Sehr gut erklärt, hab es schnell verstanden. Danke!

    Von Andrea F., vor 7 Monaten

Bedingte Wahrscheinlichkeit - einfache Erklärung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Bedingte Wahrscheinlichkeit - einfache Erklärung kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Bedeutung der Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten wieder.

    Tipps

    Die Vereinigungsmenge $A\cup B$ enthält alle Elemente, die entweder in einer der beiden Mengen oder in beiden Mengen gleichzeitig liegen.

    Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses $X$ unter der Bedingung $Y$ wird mit folgender Formel berechnet:

    $P(X|Y)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(Y)}$

    Lösung

    Den Lückentext vervollständigst du folgendermaßen:

    „Eine bedingte Wahrscheinlichkeit beschreibt, wie wahrscheinlich ein Ereignis $A$ ist unter der Voraussetzung, dass außerdem ein weiteres Ereignis $B$ eintritt.“

    • Wenn wir eine bedingte Wahrscheinlichkeit berechnen, dann wollen wir ermitteln, wie wahrscheinlich ein bestimmtes Ereignis ist, wenn wir schon wissen, dass auch ein anderes Ereignis eintritt bzw. bereits eingetreten ist.
    „Diese Wahrscheinlichkeit ist gegeben durch den Quotienten aus der Gesamtwahrscheinlichkeit der Ereignisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, und der Ereignisse, die in $B$ liegen.“

    • Um diese bedingte Wahrscheinlichkeit auszurechnen, wollen wir gewissermaßen den Anteil am vorausgesetzten Ereignis $B$ bestimmen, den das Ereignis $A$ einnimmt. Ein solcher Anteil wird in der Mathematik durch einen Quotienten ausgedrückt.

    „Die Ereignisse, die sowohl in $A$ als auch in $B$ liegen, bilden die Schnittmenge $A\cap B$. Die bedingte Wahrscheinlichkeit ist dann also durch die folgende Formel gegeben:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$“

  • Bestimme die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses $A|B$.

    Tipps

    Hier wird jeder Bauklotz mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt. Daher ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein gewählter Bauklotz in $B$ liegt, gleich dem Quotienten aus der Anzahl der Elemente (Bauklötze) in $B$ und der Anzahl der insgesamt vorhandenen Elemente:

    $P(B)=\dfrac{|B|}{|M|}$

    In der Schnittmenge von $A$ und $B$ liegen alle Elemente (Bauklötze), die gleichzeitig in $A$ und in $B$ liegen.

    Die Formel für die Wahrscheinlichkeit von $A$ unter der Bedingung $B$ lautet:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

    Lösung

    Die Elemente der jeweiligen Mengen sind hier die Bauklötze, die sich in den einzelnen Mengen befinden. Die Grundgesamtheit (also die Gesamtheit aller Bauklötze) bezeichnen wir hier als $M$. Durch schlichtes Durchzählen sehen wir, dass es insgesamt $20$ Bauklötze gibt, also gilt:

    $|M|=20$.

    Schreiben wir Betragsstriche um eine Menge, so meinen wir damit immer die Anzahl an Elementen in dieser Menge (die sogenannte Mächtigkeit der Menge). Ebenfalls durch Nachzählen erhalten wir $|B|=8$, da $8$ Bauklötze in $B$ liegen. Mit $|A\cap B|$ ist die Mächtigkeit der Schnittmenge von $A$ und $B$ gemeint, also die Anzahl an Elementen, die gleichzeitig in $A$ und $B$ liegen. Hier kommen wir auf $|A\cap B|=4$.

    Da hier alle Bauklötze mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Bauklotz in einer bestimmten Menge liegt, gegeben durch die Mächtigkeit dieser Menge geteilt durch die Mächtigkeit der Grundgesamtheit. Sprich, je mehr Bauklötze eine Menge umfasst, desto wahrscheinlicher ist es, dass ein zufällig gewählter Bauklotz auch in dieser Menge liegt. Die Mächtigkeiten $|M|$, $|B|$ und $|A\cap B|$ kennen wir, also können wir berechnen:

    $P(B)=\dfrac{|B|}{|M|}=\dfrac{8}{20}=0,4$

    $P(A\cap B)=\dfrac{|A\cap B|}{|M|}=\dfrac{4}{20}=0,2$

    Nun kennen wir alle Wahrscheinlichkeiten, die wir benötigen, um die bedingte Wahrscheinlichkeit $P(A|B)$ zu berechnen. Das ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewählter Bauklotz, von dem wir bereits wissen, dass er in $B$ liegt, auch in $A$ liegt (dass er also in der Schnittmenge $|A\cap B|$ liegt). Dafür nutzen wir die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten und erhalten:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{0,2}{0,4}=0,5$

  • Berechne die bedingten Wahrscheinlichkeiten für die folgenden Situationen.

    Tipps

    Wenn alle Elemente mit gleicher Wahrscheinlichkeit ausgewählt werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewähltes Element in einer Menge $Z$ liegt, gleich der Anzahl der Elemente in dieser Menge geteilt durch die Anzahl an Elementen insgesamt.

    Wenn einzelne Elemente mit verschiedenen Wahrscheinlichkeiten ausgewählt werden, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein zufällig gewähltes Element in einer Menge $Z$ liegt, gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten aller Elemente in dieser Menge.

    Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten lautet:

    $P(M_1|M_2)=\dfrac{P(M_1\cap M_2)}{P(M_2)}$

    Lösung

    Erstes Bild:

    Hier wird bei einer zufälligen Auswahl jedes Element (jeder Kreis) mit gleicher Wahrscheinlichkeit gewählt. Das bedeutet, dass die Wahrscheinlichkeit, dass ein zufällig gewähltes Element beispielsweise in der Menge $A$ liegt, gegeben ist als die Anzahl der Elemente in $A$ geteilt durch die Anzahl der Elemente in der Grundgesamtheit, die wir $M$ nennen:

    $P(B)=\dfrac{|B|}{|M|}$

    Analog erhalten wir auch die Wahrscheinlichkeiten $P(A)$ und $P(A\cap B)$, wobei $A\cap B$ die Schnittmenge von $A$ und $B$ ist, also die Elemente enthält, die in beiden Mengen gleichzeitig liegen.

    Um diese Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, zählen wir also einfach durch und erhalten:

    $|M|=30, \quad |A|=6, \quad |B|=15, \quad |A\cap B|=3$

    Damit berechnen wir die Wahrscheinlichkeiten:

    $P(A)=\dfrac{|A|}{|M|}=0,2$,

    und analog erhalten wir $P(B)=0,5$ bzw. $P(A\cap B)=0,1$. Diese Wahrscheinlichkeiten können wir jetzt in die Formel für die bedingten Wahrscheinlichkeiten einsetzen und erhalten:

    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=0,2 \qquad P(B|A)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}=0,5$

    Zweites Bild:

    Diesmal sind nicht alle Elemente gleich wahrscheinlich. Deshalb müssen wir, um die Wahrscheinlichkeit dafür zu berechnen, dass ein zufällig gewähltes Element in einer Menge liegt, die Wahrscheinlichkeiten aller Elemente in dieser Menge summieren.

    Für die Grundgesamtheit $M$ erhalten wir dabei eine Wahrscheinlichkeit von $100\%=1$. Addieren wir alle Zahlen in den Kugeln, die in $X$ liegen, erhalten wir $P(X)=0,4$, und für $B$ analog $P(Y)=0,5$. Für die Schnittmenge $X\cap Y$ erhalten wir $P(X\cap Y)=0,2$.

    Diese Werte können wir nun wieder wie gewohnt in die Formel für die bedingte Wahrscheinlichkeit einsetzen. Wir erhalten:

    $P(X|Y)=\dfrac{P(X\cap Y)}{P(Y)}=0,4 \qquad P(Y|X)=\dfrac{P(Y\cap X)}{P(X)}=0,5$

  • Erschließe dir aus den folgenden Beispielen jeweils die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

    Tipps

    Die Formel für bedingte Wahrscheinlichkeiten lautet:

    $P(M_1|M_2)=\dfrac{P(M_1\cap M_2)}{P(M_2)}$

    Falls es dir schwerfällt, den Überblick über die Gruppen mit verschiedenen Eigenschaften in einer Grundgesamtheit zu behalten, kann eine Vierfeldertafel hilfreich sein.

    Lösung

    Problem 1:

    Hier ist die gesuchte Wahrscheinlichkeit diejenige, dass wir eine Niete ziehen unter der Bedingung, dass die Kugel, die wir gezogen haben, rot ist. Da alle Kugeln mit gleicher Wahrscheinlichkeit gezogen werden, ist die Wahrscheinlichkeit für eine rote Kugel gegeben mit $P(\text{rot})=\frac{50}{90}=\frac{5}{9}$. Von den $50$ roten Kugeln enthalten $5$ Treffer, also $45$ Nieten; somit gibt es genau $45$ von $90$ Kugeln, die rot sind und eine Niete enthalten. Die Wahrscheinlichkeit dafür, dass eine zufällige Kugel rot ist und gleichzeitig eine Niete enthält, ist also $P(\text{rot}\cap\text{Niete})=\frac{45}{90}=\frac{1}{2}$.

    Die gesuchte Wahrscheinlichkeit ist nun $P(\text{Niete}|\text{rot})$. Für diese erhalten wir:

    $P(\text{Niete}|\text{rot})=\dfrac{P(\text{Niete}\cap\text{rot})}{P(\text{rot})}=\dfrac{\frac{1}{2}}{\frac{5}{9}}=\dfrac{9}{10}=0,9$

    Problem 2:

    Hier ist es wichtig, den Überblick über die verschiedenen Gruppen zu behalten. Dabei kann dir eine Vierfeldertafel, wie sie hier abgebildet ist, behilflich sein. Die schwarz abgebildeten Zahlen sind hier vorgegeben und aus ihnen kannst du auf die restlichen (hier grün) schließen.

    Hier wählen wir einen Menschen zufällig aus, und zwar so, dass jeder Mensch mit derselben Wahrscheinlichkeit ausgewählt wird. Wir können also, um die gesuchten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen, wieder die Anzahlen in den entsprechenden Menschengruppen durcheinander teilen. Gesucht ist hier die Wahrscheinlichkeit $P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50|\text{Brille})$. Dafür benötigen wir die Wahrscheinlichkeit $P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50\cap\text{Brille})$, die wir mit $\frac{10}{100}=\frac{1}{10}$ ablesen können. Außerdem brauchen wir die Wahrscheinlichkeit der Bedingung, also $P(\text{Brille})$, die wir mit $\frac{40}{100}=\frac{2}{5}$ ablesen. Daraus ergibt sich:

    $P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50|\text{Brille})=\dfrac{P(\ddot{\text{u}}\text{ber }50\cap\text{Brille})}{P(\text{Brille})}=\dfrac{0,1}{0,4}=\dfrac{5}{20}=0,25$

  • Bestimme, welche der Formeln für bedingte Wahrscheinlichkeiten korrekt sind.

    Tipps

    Die Formel der bedingten Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein Element, das in $M_2$ liegt, auch in $M_1$ liegt, lautet:

    $P(M_1|M_2)=\dfrac{M_1\cap M_2}{M_2}$

    Die Operation der Schnittmenge ist kommutativ:

    $M_1\cap M_2 = M_2 \cap M_1$

    Wenn wir die Bedingung stellen, dass ein bestimmtes Ereignis eintritt, und dann nach der Wahrscheinlichkeit dafür fragen, dass genau dieses Ereignis eintritt, so brauchen wir nichts zu berechnen: Wir wissen schließlich absolut sicher, dass das Ereignis eintritt, da wir die gestellte Bedingung erfüllen müssen.

    Lösung

    Die folgenden Wahrscheinlichkeiten wurden falsch berechnet:

    • $P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(A\cap B)}$: hier wurden zum einen Zähler und Nenner vertauscht, zum anderen muss die Wahrscheinlichkeit des als Bedingung gestellten Ereignisses (also hier $P(W)$ statt $P(V)$) im Nenner stehen.
    • $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(A)}$: auch hier steht nicht die Wahrscheinlichkeit des als Bedingung gestellten Ereignisses im Nenner. Ein solcher „Buchstabenverwechsler“ ist leicht zu übersehen, liefert aber in der Regel komplett falsche Ergebnisse; also ist Vorsicht geboten:
    • $P(A|B)=\dfrac{P(A)}{P(B)}$: Diese Formel sieht schön einfach aus, ergibt aber leider recht wenig Sinn. So könnten wir hier beispielsweise Wahrscheinlichkeiten erhalten, die größer als $1$ sind, falls die Menge $A$ eine größere Gesamtwahrscheinlichkeit enthält als die Menge $B$. Die richtige Formel lautet:
    $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$

    Die folgenden Wahrscheinlichkeiten wurden richtig berechnet:

    • $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$
    • $P(A|B)=\dfrac{P(B\cap A)}{P(B)}$: Im Nenner muss immer die Wahrscheinlichkeit des als Bedingung gestellten Ereignisses, hier also $B$, stehen. Im Zähler können wir die Reihenfolge der beiden Ereignisse in der Formel allerdings vertauschen, da die Bildung der Schnittmenge eine kommutative Rechenoperation ist. Es gilt also: $A\cap B=B\cap A$
  • Nutze den Satz von Bayes, um bedingte Wahrscheinlichkeiten zu berechnen.

    Tipps

    Gegeben ist hier die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test tatsächlich positiv ausfällt, falls du infiziert bist. Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du tatsächlich infiziert bist, wenn der Test positiv ausfällt.

    Wenn sich im Schnitt eine von $100$ Personen mit einem Virus infiziert, dann ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du dich infiziert hast, anfangs $P(A)=1\%$.

    Die Wahrscheinlichkeit $P(B)$ dafür, dass der Test positiv ausfällt, ist die gewichtete Summe der Wahrscheinlichkeiten dafür, dass

    • der Test positiv ausfällt, falls tatsächlich eine Infektion vorliegt und
    • der Test positiv ausfällt, falls keine Infektion vorliegt.
    Also:

    $P(B)=P(\text{pos. falls inf.})\cdot P(\text{inf.})+P(\text{pos. falls nicht inf.})\cdot P(\text{nicht inf.})$

    Lösung

    Wir wollen uns erst einmal darüber klar werden, welches Ereignis hier eigentlich gesucht ist. Dafür führen wir folgende Bezeichnungen ein:

    • Ereignis $A$ = du bist infiziert
    • Ereignis $B$ = der Test zeigt an, dass du infiziert bist (positiv)
    Gesucht ist nun die Wahrscheinlichkeit dafür, dass du tatsächlich infiziert bist, falls der Test positiv ausfällt, also $P(A|B)$. Diese wollen wir mit dem Satz von Bayes

    $P(A|B)=\dfrac{P(B|A)\cdot P(A)}{P(B)}$

    berechnen. Die dafür benötigten Größen erhalten wir wie folgt:

    • $P(B|A)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt unter der Bedingung, dass du infiziert bist. Der Test liegt in $100\%$ aller Fälle richtig, falls der Patient tatsächlich infiziert ist; diese Wahrscheinlichkeit ist also gleich $1$.
    • $P(A)$ ist die ursprüngliche Wahrscheinlichkeit dafür, dass du dich mit der Krankheit infiziert hast. Da sich im Mittel eine von $100$ Personen mit der Krankheit infiziert, ist diese Wahrscheinlichkeit gleich $0,01$, oder einem Prozent.
    • $P(B)$ ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt. In dem einen Prozent der Fälle, in denen ein Patient tatsächlich angesteckt ist, fällt der Test auf jeden Fall positiv aus. Bei den nicht infizierten $99\%$ der Patienten liegt der Test aber in $1\%$ der Fälle falsch, meldet also trotzdem eine Infektion. Die Gesamtwahrscheinlichkeit dafür, dass der Test positiv ausfällt, ist dann die Summe dieser beiden Wahrscheinlichkeiten: $P(B)=1\cdot 0,01 + 0,01\cdot 0,99$
    Setzen wir diese Werte in die Formel ein, so ergibt sich die folgende Wahrscheinlichkeit:

    $P(A|B)=\dfrac{1\cdot 0,01}{1\cdot 0,01+0,01\cdot 0,99}\approx 0,5 = 50\%$

    Hier solltest du dir einen Moment nehmen und über die Bedeutung dieses Ergebnisses nachdenken. Der in diesem Beispiel erwähnte Test könnte beispielsweise damit beworben werden, dass er die gesuchte Krankheit „in $100\%$ aller Fälle erkennt“. Technisch gesehen wäre das keine Lüge, denn der Test erkennt ja tatsächlich auch jeden Infizierten als infiziert. Dadurch, dass der Test aber auch gesunde Menschen gelegentlich als infiziert meldet, beträgt die Wahrscheinlichkeit für eine Infektion nach positivem Test trotzdem „nur“ $50\%$. Bei solch kühnen Behauptungen ist also oft Vorsicht geboten!