Aufstellen von Gleichungen mit Variablen – Sachaufgaben (Übungsvideo) 11:09 min

Hi, in diesem Video wollen wir ein paar Matherätsel und Sachaufgaben lösen, die uns dabei helfen werden, einfache Gleichungen besser zu verstehen. 3 Apfelkisten, eine ist groß, eine mittel und eine klein, enthalten zusammen 45 Äpfel. In der großen Kiste haben wir 5 Äpfel mehr, als in der Mittleren und in der Mittleren haben wir 5 Äpfel mehr, als in der Kleinen. Also wie viele Äpfel haben wir in jeder Kiste? Wie gehen wir da am Besten ran? Wir können zum Beispiel jeder Kiste eine Variable zuordnen. Das hilft uns aber nicht wirklich weiter. Wenn wir die Kisten jedoch im Vergleich betrachten, dann läuft das ganz gut. In der kleinen Kiste sind 5 weniger, als in der Mittleren oder in der Mittleren 5 mehr, als in der Kleinen. y ist um 5 größer als x. Das bedeutet, wir können anstatt y auch x+5 schreiben. Und in unserer großen Kiste haben wir 5 mehr als in der Mittleren. Und somit 10 mehr, als in der Kleinen. Kleine Kiste, mittlere Kiste, große Kiste haben insgesamt 45 Äpfel. Und das können wir ja lösen. Wir haben 3x und 15. Dann rechnen wir jetzt -15 und teilen noch einmal durch 3. Das wars hier auch schon. Wir haben 10 Äpfel in der kleinen Kiste. Damit hätten wir 15 in der Mittleren und 20 in der Großen. Die 1. Aufgabe hätten wir, machen wir mit der nächsten weiter. -Hey, was ist los? -Ich hab total vergessen, wie viele Bohnen ich in den einzelnen Säcken hatte. Dabei hab ich alles vorher extra abgezählt. Ich weiß noch, dass ich im 2. Sack doppelt so viele Bohnen hatte, wie im 1.. Und im 3. wieder doppelt so viele, wie im 2.. -Weißt Du denn noch, wie viele es insgesamt waren? -Genau 840. Dann legen wir auch mal los. Der kleine Sack ist unser x. Der mittlere Sack ist doppelt so groß wie x. Und der große Sack ist doppelt so groß wie der Mittlere, also 4 mal so groß, wie der kleine Sack. Und wenn wir alle 3 Säcke zusammennehmen, also zusammen addieren, dann hätten wir ja insgesamt 840 Bohnen. Tja, da haben wir jetzt eine Gleichung und die können wir lösen. 7x insgesamt und um raus zu bekommen, was in dem kleinsten Sack ist, müssen wir 840 durch 7 teilen. Macht als 120. Unser kleinster Sack hat also 120 Bohnen, der Mittlere doppelt so viele, also 240. Und der große Sack hat doppelt so viele, wie der Mittlere, oder 4 mal so viele, wie der Kleine, also 480. Und das wars auch schon. So, dann mal ein kleines Matherätsel. Der Nenner eines Bruches ist doppelt so groß, wie der Zähler. Erhöht man den Zähler aber um 3, dann erhält man den Kehrwert dieses Bruches. Tja, wie gehen wir da vor? Also, wir haben einen Zähler und einen Nenner. Beide sind jetzt noch unbekannt, aber wir wissen, dass der Nenner doppelt so groß ist, wie der Zähler. Wenn man den Zähler jetzt um 3 erhöht, dann hätte man gleich den Kehrwert des Bruches. Bisschen komplizierter diese Gleichung, aber auch die können wir lösen. Zuerst einmal multiplizieren wir auf beiden Seiten x. Naja, da passiert nicht viel. Hier verschwindet das x und damit der ganze Nenner. Und hier verschwindet das x auch und die 2 bleibt im Nenner. Die 2 können wir jetzt auch loswerden, in dem wir beide Seiten mal 2 nehmen. Dann bleibt links der Zähler übrig und rechts verdoppelt sich das Ganze. Dann bringen wir x jetzt noch rüber und wenn 3=3x ist, dann ist x=1. Das bedeutet, unser Bruch lautet 1/2. Stimmt denn die Behauptung? Also wenn wir den Zähler bei 1/2 um 3 erhöhen, dann hätten wir 4/2 und wenn wir das kürzen, erhalten wir 2/1. Also den Kehrwert des Bruches. So, eine Aufgabe schaffen wir noch. -Kannst Du mir etwas Geld leihen? -6 Euro hab ich nur noch. -Hast du denn nicht gestern erst dein Taschengeld bekommen? -Ja, aber die Hälfte hab ich direkt im Kino ausgegeben. Und die Hälfte vom Rest hat sich Jens von mir geliehen. -Puh, wie viel hast du denn bekommen? -Wenn du es schafst, das auszurechnen, leihe ich dir die 6 Euro. Also, wir wollen wissen, wie viel Taschengeld überhaupt erhalten wurde. Das ist unser x. 6 Euro waren ja noch über und dann kommen noch ein Haufen Ausgaben hinzu. Zu allererst wurde die Hälfte des ganzen Taschengeldes im Kino ausgegeben. Und die Hälfte vom Rest, wenn die Hälfte ausgegeben wurde, ist der Rest die Hälfte, wurde an Jens verliehen. Also Jens hat sich die Hälfte von der Hälfte gekrallt. 1/4 somit. Und damit hätten wir wieder eine Gleichung, die wir lösen können. Bringen wir x zuerst mal auf eine Seite. Dann haben wir hier x-1/2x-1/4x. Finden wir mal einen Hauptnenner dafür, also 4. Ein Ganzes macht 4/4 und 1/2 ist ja das Gleiche wie 2/4. 4-2-1=1. Und das heißt, 1/4 des Taschengeldes ist noch übrig geblieben.  Wenn 1/4 des Taschengeldes 6 Euro entsprechen, dann haben wir es hierbei mit 24 Euro Taschengeld zu tun. Ok, ich hoffe, das hat euch weiter geholfen. Bis zum nächsten mal, tschau.