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Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Vertiefungswissen) 08:08 min

13 Kommentare
  1. Könntet ihr ein Video über die Gleichungen machen

    Von Lhcityline, vor 7 Monaten
  2. Das war gut es hat mir weiter geholfen

    Von Teufelevi, vor fast 2 Jahren
  3. danke war sehr hilfreich besser als mein lehrer erklärrt und dargestelt

    Von Abbaskazemi80 1, vor mehr als 2 Jahren
  4. Das Video hat mir sehr geholfen DANKE!!!!!!

    Von Utaniendorf, vor mehr als 2 Jahren
  5. sehr gut

    Von salih han b., vor mehr als 2 Jahren
  1. Großes Lob an alle Tutoren:-)
    Alles soooooo viel besser erklärt!
    Tolles Video!<3

    Von Annika Dietmar, vor mehr als 2 Jahren
  2. Sehr gut.... Danke

    Von Yasemin0803, vor fast 3 Jahren
  3. danke hat sehr geholfen
    L: weiter so !!!!!!!!!! ^-^

    Von Christopher S., vor mehr als 3 Jahren
  4. Supe4

    Von Dibag, vor mehr als 3 Jahren
  5. geil :D

    Von A Basel, vor mehr als 3 Jahren
  6. kommt rüber als ob man richtig gelangeilt matheunterricht macht :/ aber besser als mein lehrer der nichts erklären kann :)

    Von Dajkaramba, vor mehr als 3 Jahren
  7. cool

    Von N Knaepper, vor mehr als 5 Jahren
  8. tolles video!!!!! hat mir sehr weitergeholfen :) Tausend mal besser als mein strenger lehrer :D DANKE!!!

    Von Bertram Namo, vor mehr als 5 Jahren
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Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Vertiefungswissen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Vertiefungswissen) kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne einige Eigenschaften von antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Wenn sich die Zahl der Vereine verdoppelt, wie viele Karten kriegt dann jeder Verein? Was ist, wenn sich die Zahl sogar verdreifacht? Und wie kannst du das allgemeiner ausdrücken?

    Trage die gegebenen Wertepaare in ein Koordinatensystem ein, um herauszufinden, auf welcher Art von Graph sie liegen.

    Lösung

    Bei dieser Zuordnung Vereine $\rightarrow$ Karten ist der k-fachen Zahl Vereine der k-te Teil Karten zugeordnet. Bei dieser Zuordnung gilt also: je mehr - desto weniger. So ist zum Beispiel der doppelten Zahl Vereine die halbe Zahl Karten zugeordnet. Der dreifachen Zahl Vereine hingegen ist ein Drittel der Karten zugeordnet. Bei zwei Vereinen bekommt also jeder 60 Freikarten. Werden die Freikarten unter doppelt so vielen, also vier, Vereinen aufgeteilt, bekommt jeder nur halb so viele, nämlich 30. Bei sechs Vereinen, also der dreifachen Zahl, bekommt jeder nur 20. Das ist ein Drittel von 60.

    Diese Art der Zuordnung nennt man antiproportionale Zuordnung oder Antiproportionalität. Die Wertepaare einer solchen Zuordnung liegen auf einer Hyperbel. Die Wertepaare einer antiproportionalen Zuordnung sind produktgleich. Das bedeutet, für jedes Wertepaar $(x~|~y)$ gilt: $y \cdot x = k$. Den konstanten Wert k nennt man Produktgröße. Nach y umgestellt ergibt sich also: $y = \frac{k}{x}$. Diese Funktion ist eine Hyperbel.

  • Berechne, wieviel jeder bekommt, wenn $500~€$ auf 8 Personen aufgeteilt werden.

    Tipps

    Bei einer proportionale Zuordnung liegt Quotientengleichheit vor.

    Die Anzahl der Personen multipliziert mit dem Betrag jedes Einzelnen ergibt jeweils den gleichen Wert. Das ist also die Produktgröße.

    Gilt bei einer antiproportionalen Zuordnung $y = \frac{k}{x}$ oder $y = k \cdot x$?

    Lösung

    Wenn man $500~€$ auf zwei Personen aufteilt, bekommt jeder $250~€$. Werden sie auf 4 Personen verteilt, kriegt jeder $125~€$. Bei 5 Personen sind es jeweils $100~€$.

    Die Wertepaare sind produktgleich, da $500 € = 2 \cdot 250 € = 4 \cdot 125 € = 5 \cdot 100 €$ gilt.

    Es liegt eine antiproportionale Zuordnung mit der Produktgröße $k = 500$ vor.

    Die zugehörige Gleichung lautet $y = \frac{500}{x}$.

    Wird das Geld auf 8 Personen aufgeteilt, so gilt $y = \frac{500}{8} = 62,5$.

    Jede der 8 Personen bekommt also $62,5~€$.

  • Berechne die Produktgrößen der antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Überprüfe zunächst jeweils, ob es sich um eine Antiproportionalität handelt. Dafür kannst du zum Beispiel je eine Wertetabelle aufstellen und die Wertepaare dann auf Produktgleichheit testen.

    Wie viele Vögel hat Kamilla, nachdem sie zum Geburtstag zwei geschenkt bekommt?

    Wie lange hat Kim zu ihrer Oma gebraucht, als ihr Vater im Schnitt mit $80~km/h$ gefahren ist?

    Je mehr Wasser in den Pool gefüllt wird, desto mehr Zeit dauert das Füllen. Um welche Art Zuordnung handelt es sich also?

    Lösung

    Zu jeder Aufgabe wird eine Wertetabelle erstellt. Dort werden die beiden Wertepaare eingetragen. Darunter wird jeweils das Produkt aus beiden Werten eingetragen. Ist das Produkt für beide Wertepaare gleich, handelt es sich um eine antiproportionale Zuordnung, da die Wertepaare einer Antiproportionalität produktgleich sind. Dieses Produkt ist dann die Produktgröße der Zuordnung, nach der sortiert werden soll. Sind die Produkte nicht gleich, liegt keine Antiproportionalität vor. Dieses Beispiel sollte nach ganz unten sortiert werden. Hier die Lösung in richtiger Reihenfolge:

    Anzahl Personen $\rightarrow$ Platz in m$^2$:

    $\begin{array}{l|c|c} \text{x: Anzahl Personen} & 20 & 60\\ \hline \text{y: Platz in}~m^2 & 3 & 1\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 60 & 60\\ \end{array}$

    Beide Produkte ergeben 60. Es liegt also eine antiproportionale Zuordnung mit $k = 60$ vor.

    Anzahl Vögel $\rightarrow$ Tage: Kamilla hat 8 Vögel, nachdem sie zwei zum Geburtstag bekommt.

    $\begin{array}{l|c|c} \text{x: Anzahl Vögel} & 6 & 8\\ \hline \text{y: Tage} & 20 & 15\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 120 & 120\\ \end{array}$

    Beide Produkte ergeben 120. Es liegt also eine antiproportionale Zuordnung mit $k = 120$ vor.

    Geschwindigkeit in km/h $\rightarrow$ Fahrzeit in h: Wichtig ist hier, dass sie bei einer Durchschnittsgeschwindigkeit von $80~km/h$ zu Kims Oma 2,5 Stunden brauchen.

    $\begin{array}{l|c|c} \text{x: Geschwindigkeit in km/h} & 100 & 80\\ \hline \text{y: Fahrzeit in h} & 2 & 2,5\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 200 & 200\\ \end{array}$

    Beide Produkte ergeben 200. Es liegt also eine antiproportionale Zuordnung mit $k = 200$ vor.

    Wasserhöhe $\rightarrow$ Füllzeit: Die Schmitts füllen ihren Pool normalerweise bis zu einer Wasserhöhe von einem 80 cm. Das dauert insgesamt 12 Stunden. Dieses Jahr haben sie ihn 120 cm hoch gefüllt. Nach 18 Stunden war der Pool gefüllt.

    $\begin{array}{l|c|c} \text{x: Wasserhöhe in cm} & 80 & 120\\ \hline \text{y: Füllzeit in h} & 12 & 18\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 960 & 2160\\ \text{Quotient}~ \frac{x}{y} & \frac{20}{3} & \frac{20}{3}\\ \end{array}$

    Die beiden Wertepaare sind nicht produktgleich. Es liegt keine antiproportionale Zuordnung vor. Allerdings sind die Wertepaare quotientengleich, also liegt eine proportionale Zuordnung vor.

  • Berechne, wie viele Freikarten jeder Fußballverein bekommt.

    Tipps

    Um die Produktgröße k zu erhalten, multiplizierst du die Werte des Wertepaares miteinander.

    Hast du k berechnet, kannst du die Gleichung $y \cdot x = k$ nach y umstellen, in dem du auf beiden Seiten durch x dividierst.

    Setzt du für x die Zahl der Vereine ein, ist y die Anzahl der Karten, die jeder Verein bekommt.

    Lösung

    Da die hier betrachtete Zuordnung schon als antiproportionale Zuordnung vorausgesetzt wird, muss die Antiproportionalität hier eigentlich nicht mehr überprüft werden. Da dies aber beim Lösen von Sachaufgaben zur Antiproportionalität stets der erste Schritt ist, wird dies hier der Form halber gemacht. Dazu wird die Tabelle um eine Zeile erweitern, in der das Produkt der beiden Größen notiert wird:

    $\begin{array}{l|c|c|c|c} \text{x: Vereine} & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline \text{y: Karten} & 60 & 40 & 30 & 24 \\ \hline x \cdot y & 120 & 120 & 120 & 120 \end{array}$.

    Es ist ersichtlich, dass alle Wertepaare produktgleich sind. Somit handelt es sich um eine Antiproportionalität. Da die Wertepaare produktgleich sind, kann zur Berechnung der Produktgröße k ein beliebiges Wertepaar herangezogen werden. Hier wurde das Paar $(2~|~60)$ gewählt

    $k = y \cdot x = 60 \cdot 2 = 120$ .

    Für die Zuordnung gilt also die Gleichung $y = 120 : x$.

    Mit dieser Gleichung kann berechnet werden, wie viele Freikarten jeder Verein bekommt, wenn x Vereine an Freikarten interessiert sind. Für 6 Vereine gilt also:

    $y = k : x = 120 : 6 = 20$.

    Antwortsatz: Jeder der 6 Vereine bekommt 20 Freikarten.

  • Ermittle, welche Wertepaare produktgleich sind.

    Tipps

    Wann sind zwei Wertepaare produktgleich?

    $(1~|~10)$ und $(5~|~2)$ sind produktgleich, da gilt:

    $1 \cdot 10 = 10$ und $5 \cdot 2 = 10$.

    $(1~|~5)$ und $(10~|~2)$ sind nicht produktgleich, da gilt:

    $1 \cdot 5 = 5$, aber $10 \cdot 2 = 20$.

    Lösung

    Zwei Wertepaare sind genau dann produktgleich, wenn das Produkt aus den zwei Werten des Paares bei beiden Wertepaaren übereinstimmt.

    • $(3~|~5)$ und $(4~|~4)$: Die Wertepaare sind nicht produktgleich:
    $3 \cdot 5 = 15$, aber $4 \cdot 4 = 16$.

    • $(12~|~4)$ und $(2~|~24)$: Die Wertepaare sind produktgleich:
    $12 \cdot 4 = 48 = 2 \cdot 24$.

    • $(13~|~2)$ und $(2~|~13)$: Die Wertepaare sind produktgleich:
    $13 \cdot 2 = 26 = 2 \cdot 13$.

    • $(4~|~7)$ und $(8~|~14)$: Die Wertepaare sind nicht produktgleich:
    $4 \cdot 7 = 28$, aber $8 \cdot 14 = 112$.

    • $(6~|~20)$ und $(10~|~12)$: Die Wertepaare sind produktgleich:
    $6 \cdot 20 = 120 = 10 \cdot 12$.

    • $(2~|~2)$ und $(8~|~0,5)$: Die Wertepaare sind produktgleich:
    $2 \cdot 2 = 4 = 8 \cdot 0,5$.

    • $(4~|~0,4)$ und $(7~|~0,7)$: Die Wertepaare sind nicht produktgleich:
    $4 \cdot 0,4 = 1,6$, aber $7 \cdot 0,7 = 4,9$.

  • Bestimme die Gleichungen zu den antiproportionalen Zuordnungen.

    Tipps

    Finde zunächst heraus, ob es sich bei der Tabelle überhaupt um eine Antiproportionalität handelt.

    Eine antiproportionale Zuordnung liegt vor, wenn das Produkt $x \cdot y$ für beide Spalten den gleichen Wert hat.

    Dieser Wert ist die Produktgröße k. Zu der Antiproportionalität gehört dann die Gleichung $y = \frac{k}{x}$.

    Gilt zum Beispiel $k = 30$, gehört zu dieser antiproportionalen Zuordnung die Gleichung $y = \frac{30}{x}$.

    Lösung

    Ob es sich bei einer Tabelle um eine antiproportionale Zuordnung handelt, erkennt man, wenn man unter jede Spalte das Produkt $x \cdot y$ schreibt. Ist das Produkt für alle Spalten gleich, so handelt es sich um eine Antiproportionalität. Zu dieser Tabelle gehört dann die Formel $y = \frac{k}{x}$, wobei für k das berechnete Produkt eingesetzt wird.

    $\begin{array}{r|c|c} \textbf{x} & 15 & 6\\ \hline \textbf{y} & 10 & 25\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 150 & 150\\ \end{array}$

    Das Produkt ist für beide Spalten gleich. Es handelt sich hier also um eine Antiproportionalität. Zu ihr gehört die Gleichung $y = \frac{150}{x}$.

    $\begin{array}{r|c|c} \textbf{x} & 7 & 8\\ \hline \textbf{y} & 16 & 14\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 112 & 112\\ \end{array}$

    Das Produkt ist für beide Spalten gleich. Es handelt sich hier also um eine Antiproportionalität. Zu ihr gehört die Gleichung $y = \frac{112}{x}$.

    $\begin{array}{r|c|c} \textbf{x} & 10 & 16\\ \hline \textbf{y} & 9 & 5\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 90 & 80\\ \end{array}$

    Das Produkt ist für beide Spalten verschieden. Es handelt sich hier also nicht um eine Antiproportionalität. Ihr muss also die Gleichung $y = ?$ zugeordnet werden.

    $\begin{array}{r|c|c} \textbf{x} & 12 & 3\\ \hline \textbf{y} & 5 & 20\\ \hline \text{Produkt}~x \cdot y & 60 & 60\\ \end{array}$

    Das Produkt ist für beide Spalten gleich. Es handelt sich hier also um eine Antiproportionalität. Zu ihr gehört die Gleichung $y = \frac{60}{x}$.