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Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen) 05:27 min

Textversion des Videos

Transkript Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen)

Hallo! Willkommen zum Thema "Zuordnungen Teil II" In diesem Video geht es um antiproportionale Zuordnungen und den dazugehörigen Dreisatz. Dieser Film zeigt dir, was indirekte Proportionalität bedeutet und wie du den Dreisatz dazu anwenden kannst. Das ist Annika. Annika hat 6 Äpfel. Weil Annika nicht alle Äpfel essen kann, gibt sie Tim die Hälfte. Die Zahl der Personen hat sich verdoppelt, aber die Anzahl der Äpfel, die jeder bekommt, hat sich halbiert von 6 auf 3. Nun kommt Nina dazu. Und weil die beiden gerne teilen, bekommt auch sie 2 Äpfel. Wie du siehst, hat sich die Anzahl der Personen verdreifacht. Jedoch hat sich die Anzahl der Äpfel, die jeder bekommt, gedrittelt. Dieser Sachverhalt wird in vielen Büchern auch als indirekte Proportionalität genannt. Bleiben wir beim vorherigen Beispiel. Ihr seht hier ein Koordinatensystem, der x- und der y-Achse. Auf der y-Achse ist die Anzahl der Personen abgetragen und auf der x-Achse die Anzahl der Äpfel pro Person. Zuerst war Annika alleine, sie hatte alle 6 Äpfel für sich gehabt. Mit Tim hat sich die Anzahl der Personen verdoppelt auf 2. Und die Anzahl der Äpfel hat sich halbiert von 6 auf 3. Jeder hat nur 3 Äpfel gehabt. Da kam Nina dazu. Die Anzahl der Personen hat sich verdreifacht. Die Anzahl der Äpfel, die jeder bekommen hat, hat sich jedoch gedrittelt von 6 auf 2. Wären noch 3 Personen dazu gekommen, dann hätten wir 6, hätte jeder von ihnen nur 1 Apfel erhalten. Verbindet man die Punkte miteinander, so erhält man eine Kurve, die man Hyperbel nennt. Antiproportionale Zuordnungen heißen auch je-mehr-desto-weniger-Zuordnungen. Verdoppelt oder verdreifacht man den Wert einer Größe, so halbiert oder drittelt sich der Wert der anderen Größe. Es geht auch umgekehrt: Halbiert oder drittelt man die erste Größe, so verdoppelt oder verdreifacht sich die zweite Größe. So, Punkt 1 ist erledigt, kommen wir zu Punkt 2. Wie sieht denn der dazugehörige Dreisatz aus? Stell dir mal vor, 3 Freunde haben ein Taxi bestellt. Und der Fahrer sagt, die Taxifahrt wird 15 Euro kosten. Weil wir ja 3 Personen haben, beträgt der Preis pro Person 5Euro. Die Frage lautet: Wie viel müsste jeder von ihnen bezahlen, wenn 5 Personen mitfahren? Will man den Dreisatz anwenden, muss man vorher prüfen, ob es sich um eine antiproportionale Zuordnung handelt. Uns ist bekannt, dass, wenn nur 1 Person mit dem Taxi fährt, muss sie den Vollen Preis i Höhe von 15Euro bezahlen. Die Anzahl der Personen drittelt sich von 3 auf 1. Der Preis für die Taxifahrt verdreifacht sich jedoch von 5 auf 15. Erhöht sich die Fahrgemeinschaft auf 5 Mitfahrer, von 1 auf 5, verringert sich der Anteil auf ein 1/5 der Gesamtkosten. In diesem Fall von 15 auf die 3. Jede Person würde für diese Taxifahrt dann nur 3Euro bezahlen. Hier ist noch ein Beispiel: Wenn Nina im Urlaub pro Tag 14Euro ausgibt, reicht ihr Geld für 10 Tage. Für wie viele Tage würde das Geld ausreichen, wenn sie täglich 20Euro ausgibt? Es gibt hierfür zwei Lösungswege. Hier ist der erste. Erstens: Ihr rechnet aus, wie viele Tage das Geld reichen würde, wenn ihr nur 1Euro pro Tag ausgebt. Es wären 140 Tage. Wie bin ich nun auf das Ergebnis gekommen? Um von 14 auf die 1 zu kommen, muss ich 14 durch 14 teilen. Wie du schon gelernt hast, verhält es sich bei antiproportionalen Zuordnungen so, dass, wenn es auf der einen Seite weniger wird, wird es auf der anderen Seite mehr. Und immer um dieselbe Zahl. Wie bekomme ich nun das x raus? Ganz einfach. 20Euro sind ja das 20-Fache von 1. also muss ich 1/20 der Tage ausrechnen. 140 geteilt durch 20. Die Antwort lautet: Wenn Nina 20Euro pro Tag ausgibt, reicht ihr das Geld für 7 Tage. Kommen wir nun zum zweiten Lösungsweg. Wir könnten ja ausrechnen, wie viel Geld wir insgesamt zur Verfügung haben. 10 Tage mal 14Euro pro Tag. Insgesamt wären es 140Euro. Wenn wir jedoch 20Euro täglich ausgeben, reicht das Geld fü 7 Tage. Du kannst dir folgende Regel merken: Die beiden Zahlen, die auf einer Zeile stehen, werden miteinander malgenommen und durch die dritte Zahl geteilt. Diese Regel gilt nur bei antiproportionalen Zuordnungen. Danke und bis zum nächsten Mal.

81 Kommentare
  1. Images

    PERFEKT!
    Vielen Dank, für die Hilfe :)

    Von Myrna M., vor etwa 2 Monaten
  2. Default

    Die sagt überall die anzahl der Freunde!KEK!

    Von Cornelia Pep, vor 3 Monaten
  3. Default

    Wie soll diese Aufgabe funktionieren wen nicht die Anzahl der freunde da steht??

    Von Vanesa Huelva Ferreiro, vor 4 Monaten
  4. Jeanne

    Hallo Jan Lukas M.,
    danke für deinen Kommentar. Wir arbeiten stetig an der Verbesserung unserer Inhalte und freuen uns immer über Feedback.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 6 Monaten
  5. Download

    man kan es noch ein wenig spanender mache (mit betonung)

    Von Jan Lukas M., vor 6 Monaten
  1. Jeanne

    Hallo Gabs,
    ich kann deine Anmerkung gut verstehen. Jedoch ist die Antwort auch so korrekt, da es in diesem Fall keine weiteren Personen außer Annika gibt.
    Als Beispiel: Eine Lehrerin könnte verkünden: "Jeder Schüler, der eine 4, 5 oder 6 geschrieben hat, bekommt nun von mir Nachhilfe," auch wenn sie damit insgeheim nur eine einzelne Person damit meint.
    Bei weiteren Fragen kannst du dich auch an den Hausaufgaben-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jeanne O., vor 8 Monaten
  2. Default

    Vielleicht wäre "eine Person hat dann 6 Äpfel" hilfreicher?

    Von Gabs, vor 8 Monaten
  3. Default

    Hallo, das Video ist gut gemacht. Allerdings: die Antwort-Nummer 2 in Übung 1 ist, finde ich, unglücklich formuliert. Wenn Annika allein sechs Äpfel hat, kann nicht "jede Person 6 Äpfel haben" ……….

    Von Gabs, vor 8 Monaten
  4. Tropical island above underwater 27743573

    ??????

    Von Daria06, vor 8 Monaten
  5. Default

    Die Lösungen bei Aufgabe 5 mit den 6 Aufgaben ist falsch?

    Von Hanspeterscharlach, vor etwa einem Jahr
  6. Default

    Danke, hat mir sehr geholfen.

    Von Nimesayoezgoeren, vor etwa einem Jahr
  7. 20161001 190704 1

    Richtig gutes Video.Super erklärt und super verstanden.Toll

    Von Luis Z., vor etwa einem Jahr
  8. Default

    haha, SUPER ! :D

    Von Diego Leonkettner, vor mehr als einem Jahr
  9. Default

    ganz große klasse

    Von Nati500, vor mehr als einem Jahr
  10. Default

    Sehr Gut und war sehr hilfreich

    Von Anja Winter Kling, vor mehr als einem Jahr
  11. Default

    Sehr hilfreich
    Thx!
    : )

    Von Killian M., vor mehr als einem Jahr
  12. Default

    Wahnsinnig tolles Video !ich habe alles super gut verstanden
    Danke!

    Von Schlaubär, vor mehr als einem Jahr
  13. Default

    Super Video !

    Von Lskow13k, vor mehr als einem Jahr
  14. Default

    War am anfang schwer doch jetzt nicht mehr.
    ist genz gut wenn mann es sich ein paar mal anhört.
    Danke

    Von Family Renner, vor mehr als einem Jahr
  15. Default

    okay dankeeee

    Von Family Renner, vor mehr als einem Jahr
  16. Default

    sorry
    hab doch

    Von Family Renner, vor mehr als einem Jahr
  17. Default

    Habe nix gechekt

    Von Family Renner, vor mehr als einem Jahr
  18. Default

    Es war gut erklärt

    Von Jokramer308, vor mehr als einem Jahr
  19. Img 0506

    war ganz gut erklärt ;)

    Von juli01xyx r., vor fast 2 Jahren
  20. Kaffe

    komisch,10 tage für14 euro pro tag, und 1 euro für 140 tage,aber echt gut erklärt

    Von Tachenrechner, vor etwa 2 Jahren
  21. Default

    Echt Hilfreich

    Von Judith 12, vor etwa 2 Jahren
  22. 041

    Thx,war wieder hilfreich

    Von salih han b., vor etwa 2 Jahren
  23. Default

    sehr gut gemacht
    echt hilfreich

    Von Mafafe, vor etwa 2 Jahren
  24. Default

    Das Thema war sehr gut erklärt

    Von Utaniendorf, vor etwa 2 Jahren
  25. 041

    danke, war sehr hilfreich

    Von salih han b., vor mehr als 2 Jahren
  26. Default

    Du hast das zu gut erklärt. Jetzt habe ich nichts mehr zum knobbeln. xD

    Von Jessica N., vor mehr als 2 Jahren
  27. Wei%c3%9fer wolf

    Sehr gut, habe ich sofort verstanden

    Von Mary-Ann L., vor mehr als 2 Jahren
  28. Katze

    Ich habe ALLES sehr gut verstanden und bin sehr zufrieden :)

    Von Luna Nyc, vor mehr als 2 Jahren
  29. Default

    gut!

    Von C V Daacke, vor mehr als 2 Jahren
  30. Default

    super erklärt ;-)

    Von Annika Dietmar, vor mehr als 2 Jahren
  31. Default

    Richtig gutes video

    Von Maria2008, vor mehr als 2 Jahren
  32. Default

    super gut erklärt

    Von Sven W., vor fast 3 Jahren
  33. Default

    richtig gutes video

    Von Madlen Mueller, vor etwa 3 Jahren
  34. D77a906c 8187 4ecc bdb8 9f1c187469c7

    Supi

    Von Phuong Anh ♥., vor etwa 3 Jahren
  35. Default

    können sie zufällig russisch?

    Von Roman Ionkin, vor mehr als 3 Jahren
  36. Default

    sehr sehr gutes video , vielen dank !! :)

    Von Nike Kreitmeyr, vor mehr als 3 Jahren
  37. Default

    Hallo,
    danke dir. Es handelt sich bei diesem Beispiel um eine anti-proportionale Zuordnung, d.h. eine Taxifahrt kosten für 1 Person - 15 EUR, fahren drei Freunde mit, so teilen sie sich die 15 EUR durch 3 = 5 EUR pro Person. Also: je mehr Leute mitfahren, desto weniger muss jeder bezahlen. Das ist der Unterschied zu proportionalen Zuordnungen! Wenn du Fragen hast, schreib mir gerne...

    Von Tatjana H., vor fast 4 Jahren
  38. Default

    super video aber die Tabelle habe ich nicht kapiert da steht ja folgendes

    Personen preis
    3 5
    1 15

    sollte es nicht genau umgekehrt sein so das da 1=5 und 3=15 stehen sollte

    Von Victor .., vor fast 4 Jahren
  39. Default

    sehr hilfreich

    Von Verena Hudelmaier 1, vor etwa 4 Jahren
  40. Default

    Danke.Ich habe morgen eine Probe und kapiere es jetzt endlich ;)

    Von Deleted User 281957, vor etwa 4 Jahren
  41. Default

    Gut

    Von A Beckhaus, vor etwa 4 Jahren
  42. Image

    Wirklich

    Von Lucy F., vor mehr als 4 Jahren
  43. Image

    Gut

    Von Lucy F., vor mehr als 4 Jahren
  44. Default

    Wirklich ein tolles Video! Ich konnte es endlich verstehen. Deine Stimme ist sehr angenehm, du stellst gute Beispielaufgaben und man kommt gut mit. Vielen lieben dank!

    Von Biene M., vor mehr als 4 Jahren
  45. Default

    Schreibe morgen Mathe hoffe das es mir im Hinterkopf bleibt!
    super video

    Von Anna Lena <3, vor mehr als 4 Jahren
  46. Default

    Danke sehr gut erklährt. Aber ich konnte nicht alles verstehen weil Sie manchmal etwas schnell gesprochen hast. Habe dennoch alles verstanden wegen der Bildlichen daarstellung. Danke :D

    Von Ssv Gottschalk, vor mehr als 4 Jahren
  47. Default

    Vielen Dank für so ein tolles Video. Da ich in den lezten Tagen krank war, habe ich eine menge verpasst und muss jetzt auch wieder alles nach holen, dafür habe ich mir jetzt die ganzen Videos dazu angeguckt und kann nun die Arbeitsblätter bearbeiten und auch im Mathebuch weiter kommen. VIELEN DANK!!!

    Von Julienne Q., vor mehr als 4 Jahren
  48. Default

    Ich finde Sie erklären das gut, aber auf dieser ganzen Seite gibt es kein Video über die ,,Produktgleichheit bei antiproportionalen Zuordnungen". Ich würde mich freuen, wenn Sie ein Video darüber machen würden.
    Danke!

    Von Maxhara, vor mehr als 4 Jahren
  49. Default

    es war ein ssssssuuuuuuppppperrr video. um es zu begreifen ohne video hätte es bei mir länger gebraucht...

    Von Conen, vor mehr als 4 Jahren
  50. Default

    was wäre wenn man die Äpfel in der Mitte teilt?

    Von Conen, vor mehr als 4 Jahren
  51. Ipad 15871 animals tiger baby tiger

    Danke, danke, danke!
    Hat mir sehr geholfen! :)

    Von Anna H., vor mehr als 4 Jahren
  52. Default

    Sehr schön!! Endlich habe ich es jetzt verstanden!!;))

    Von Stefan Wehrheim, vor mehr als 4 Jahren
  53. Default

    gutes viedeo

    Von Johntrang2001, vor fast 5 Jahren
  54. Default

    Tolles Video! Danke! Jetzt bin ich fit für die Klassenarbeit morgen :)

    Von Petrajansenkr, vor etwa 5 Jahren
  55. Img 0908

    Yaay! Super, ich habe es verstanden! Ich gehe in die 6. Klasse (Gymnasium) , und wir haben das schon jetzt o.O... Genau das habe ich gebraucht :)) haben wir heute gemacht und meine Hausaufgabe ging im Handumdrehen :oo Ich Nullchecker habe es jetzt xD

    Von Olivia A., vor mehr als 5 Jahren
  56. Default

    Das hat mir sehr geholfen. Ich komme jetzt im Unterricht mit. :)

    Von Memo Hh, vor mehr als 5 Jahren
  57. Thumb 1920 100445

    sehr gut erklärt hat mir sehr gholfen x
    D :D

    Von Enver, vor mehr als 5 Jahren
  58. Default

    Gut erklärt

    Von Holub Michaela, vor fast 6 Jahren
  59. Default

    Sehr gutes Video. :)

    Von Lea2, vor etwa 6 Jahren
  60. Default

    Gut erklärt !!!!!! :D

    Von Maxibeckert, vor etwa 6 Jahren
  61. Meoww

    Einfach Tierisch gut:-)

    Von Frauove, vor etwa 6 Jahren
  62. Default

    Damke!

    Von Ledovskoi, vor etwa 6 Jahren
  63. Default

    Morgen Arbeit , danke hat mir seh geholfen :D

    Von Kim Hengsteler, vor etwa 6 Jahren
  64. Iphone eifelturm

    danke! hat mir sehr geholfen...die arbeit am Mittwoch wird mir leichter fallen...

    Von Schiemenz, vor etwa 6 Jahren
  65. New york empire state building top

    Gut erklärt!!

    Von Vaulin70, vor mehr als 6 Jahren
  66. Default

    sehr hilfreich aber trotzdem ist die Rechnung etwas schwer im kopf zu behalten aber hoffe die arbeit wird am donnerstag gut

    Von Droopy, vor mehr als 6 Jahren
  67. Default

    pgh

    Von Matze991, vor mehr als 6 Jahren
  68. Default

    alta redet ihr nur über mahte ich meine ihr könnt mit leuten chatten richtig wie bei youtube!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

    Von Matze991, vor mehr als 6 Jahren
  69. Default

    du hast nicht erwähnt, dass wenn auf der einen Seite ein Ergebnis steht, dass man dass Egebnis umtauschen kann. so kann man dass Rechnen um die hälfte kürzen. Also wenn es 15 I 7 wäre ist es auch gleichzeitig 7 I 15 :D

    Von Sosschal, vor mehr als 6 Jahren
  70. Default

    Hilfreich xD

    Von Samsam87, vor mehr als 6 Jahren
  71. Default

    Ich komm im Matheunterricht manchmal nicht so schnell mit wie die anderen,
    jetzt verstehe ich es weil du schön deutlich redest!!

    Danke.

    Von Mrohst@Aol.Com, vor fast 7 Jahren
  72. Default

    juhu !!! habs endlich verstanden
    danke

    Von Leoni Knipp, vor fast 7 Jahren
  73. Default

    das viedeo war affenstark du hast mir sehr geholfen dankeschön

    Von Affe35, vor mehr als 7 Jahren
  74. Default

    Gutes Video Sehr informativ danke :-)

    Von Jahleel98, vor mehr als 7 Jahren
  75. Imag

    Genauso gut erklärt wie direkte Proportionalität. :-)

    Von Cécile., vor mehr als 7 Jahren
  76. Default

    Hallo.Cooles Viedeo schreibe morgen die Arbeit darüber.Hoffe das das Viedo hilft °(^.^)°!

    Von Marhof, vor mehr als 8 Jahren
Mehr Kommentare

Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Antiproportionale Zuordnungen – Einführung (Basiswissen) kannst du es wiederholen und üben.

  • Fasse zusammen, was eine antiproportionale Zuordnung beschreibt.

    Tipps

    Schau dir das Beispiel von oben genauer an:

    Wenn Paul die Gummibärchen auf $3$ Personen aufteilt, erhält jeder $4$ Gummibärchen.

    Verdopple nun die Anzahl der Personen auf $6$. Wie viele Gummibärchen erhält dann jede Person?

    Bei proportionalen Zuordnungen gilt „Je mehr desto mehr“:

    Wenn $1$ Brötchen $25~\text{ct}$ kostet, dann kosten $4$ Brötchen $4\cdot 25~\text{ct}=100~\text{ct}=1~\text{€}$.

    Hinweis: Nicht jede Zuordnung, bei der „je mehr desto mehr“ gilt ist automatisch proportional.

    Die Antwort auf die Frage „Wie viele Gummibärchen bekommt jeder der $6$ Freunde?“ lautet $2$. Im Gegensatz zu der vorherigen Situation wurde die Anzahl der Gummibärchen also durch $2$ geteilt.

    Lösung

    Was ist eine Zuordnung?

    Bei einer Zuordnung wird einer Größe (zum Beispiel einer Anzahl von Personen) eine andere Größe (zum Beispiel eine Anzahl von Gummibärchen) zugeordnet.

    Eine solche Zuordnung heißt auch Je-mehr-desto-weniger-Zuordnung, da mehr Personen weniger Gummibärchen pro Person bedeuten.

    Eine solche Zuordnung kann antiproportional sein, wenn sich die Größen gleichmäßig verändern.

    Wenn du das Beispiel mit den $12$ Gummibärchen betrachtest, bedeutet das:

    • Wenn die Gummibärchen auf $3$ Personen verteilt werden, erhält jeder $4$ Gummibärchen. Der Zahl $3$ wird also die Zahl $4$ zugeordnet.
    • Werden die Gummibärchen nun auf $6$ Personen verteilt, erhält jeder noch $2$ Gummibärchen.
    • Es ist $3\cdot 2=6$: Die Zahl der Freunde wird mit $2$ multipliziert.
    • Schau dir nun die Anzahl der Gummibärchen an: Diese wird halbiert, also durch $2$ dividiert, denn $4:2=2$.
    Du siehst, wenn eine Größe mit einer Zahl multipliziert wird, muss die andere durch diese Zahl dividiert werden.

    Hinweis: Es gibt auch „Je-mehr-desto-weniger-Zuordnungen“, die nicht antiproportional sind.

  • Gib an, wie viele Äpfel jede Person bekommt.

    Tipps

    Du kannst auch jeweils umgekehrt rechnen: Die Anzahl der Personen multipliziert mit der Anzahl der Äpfel pro Person muss wieder $6$ ergeben.

    Hier siehst du ein anderes Beispiel. Annika hat hier zu Beginn $12$ Äpfel.

    • Sie verteilt die Äpfel auf $6$ Personen. Jeder erhält $2$ Äpfel. Umgekehrt gilt $6\cdot 2=12$.
    • Wenn sie die Äpfel auf $4$ Personen verteilt, erhält jeder $3$ Äpfel. Umgekehrt gilt $4\cdot 3=12$.
    Im Bild siehst du noch drei weitere Zuordnungen

    Lösung

    Wenn Annika ihre Äpfel alleine isst, sind dies $6$ Äpfel. Da sie aber keine $6$ Äpfel schafft, gibt sie Tim welche ab.

    Die Zahl der Personen hat sich von $1$ auf $2$ verdoppelt. Die Zahl der Äpfel, die jeder bekommt, hat sich von $6$ auf $6:2=3$ halbiert.

    Nun kommt Lina dazu. Jetzt bekommt jeder $2$ Äpfel. Die Zahl der Personen hat sich von $1$ auf $3$ verdreifacht. Die Zahl der Äpfel für jeden ist nun gedrittelt. Das ergibt $6:3=2$.

    Du siehst: Wird die Anzahl der Personen erhöht, erhält jeder weniger Äpfel.

  • Berechne den Preis, den jeder für die Taxifahrt zahlt, wenn $5$ Personen mitfahren.

    Tipps

    Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt:

    Wenn du eine Größe mit einer Zahl multiplizierst, musst du die andere durch die gleiche Zahl dividieren.

    Der Gesamtpreis für die Taxifahrt ist immer gleich, egal wie viele Personen mitfahren.

    In jeder Zeile muss das Produkt der Größen immer gleich groß sein.

    Lösung

    Sowohl bei direkt als auch bei indirekt proportionalen Zuordnungen kannst du den Dreisatz verwenden.

    Der Unterschied ist folgender:

    • Bei direkt proportionalen Zuordnungen multiplizierst oder dividierst du beide Größen, also links und rechts in der Tabelle, mit der gleichen Zahl.
    • Bei indirekt proportionalen Zuordnungen ist dies nicht so. Wenn du eine Größe mit einer Zahl multiplizierst, dividierst du die andere durch diese Zahl, und umgekehrt.
    Hier kannst du dies für die Taxifahrt sehen:

    • Wenn $3$ Personen mitfahren, zahlt jeder $15~€:3=5~€$.
    • Berechne nun, wie viel eine Person alleine bezahlen müsste. Du dividierst $3$ durch $3$. Gleichzeitig musst du $5~€$ mit $3$ multiplizieren. So erhältst du $15~€$ für $1$ Person.
    • Nun kannst du $1$ mit $5$ multiplizieren. Die $15~€$ musst du durch $5$ dividieren. So erhältst du $15~€:5=3~€$.
    Das bedeutet, dass bei einer Fahrt mit $5$ Personen jeder $3~€$ zahlt.

    Schau dir doch einmal Zeile für Zeile an:

    • Es gilt $3\cdot 5~€=15~€$.
    • Ebenso ist $1\cdot 15~€=15~€$.
    • Schließlich ist auch $5\cdot 3~€=15~€$.
    Bei antiproportionalen Zuordnungen gilt die Produktgleichheit: Das Produkt der beiden Größen ist immer gleich, hier $15~€$.

    Übrigens: Bei proportionalen Zuordnungen gilt die Quotientengleichheit: Der Quotient der beiden Größen ist immer gleich.

  • Wende den Dreisatz an, um die fehlenden Größen zu berechnen.

    Tipps

    Beachte bei antiproportionalen Zuordnungen: Wenn du die eine Größe mit einer Zahl multiplizierst, musst du die andere durch die gleiche Zahl dividieren. Dies gilt auch umgekehrt.

    Wenn du zeilenweise das Produkt der beiden Größen berechnest, erhältst du immer das gleiche Ergebnis.

    Lösung

    Hier siehst du die komplette Dreisatzrechnung. Bei antiproportionalen Zuordnungen musst du immer auf Folgendes achten:

    Wenn auf der einen Seite durch eine Zahl dividiert wird, wird auf der anderen Seite mit der gleichen Zahl multipliziert und umgekehrt.

    Zunächst rechnest du aus, wie lange es dauern würde, wenn nur $1$ Rohr zur Verfügung stünde. Du rechnest $6:6=1$ und multiplizierst $250\cdot 6=1500$.

    Nun multiplizierst du $1\cdot 5=5$. Du musst also die andere Größe durch $5$ dividieren. Du erhältst so $1500:5=300$.

    Wenn nur $5$ Rohre zur Verfügung stehen, dauert das Befüllen des Wasserbeckens $300$ Minuten. Das sind $5$ Stunden.

  • Entscheide, ob eine antiproportionale Zuordnung vorliegt.

    Tipps

    Merke dir:

    Für jede proportionale Zuordnung gilt: „Je-mehr-desto-mehr“.

    Etwas genauer: Verdoppelt sich die eine Größe, so wird auch die andere verdoppelt, verdreifacht sich die eine Größe, so wird die andere verdreifacht, ...

    Für jede antiproportionale Zuordnung gilt: „Je-mehr-desto-weniger“:

    Auch hier kann dies etwas genauer formuliert werden: Verdoppelt sich die eine Größe, so wird die andere halbiert, verdreifacht sich die eine Größe, so wird die andere gedrittelt, ...

    Schau dir ein Beispiel für eine antiproportionale Zuordnung an:

    • Wenn das Erdbeerpflücken einer gewissen Menge Erdbeeren $3$ Zeitstunden in Anspruch nimmt, dann braucht eine Person genau diese $3$ Stunden.
    • Wenn nun drei Personen pflücken, dauert dies $3:3=1$ Stunde.
    Hinweis: Hier geht man idealisiert davon aus, dass alle Personen gleich schnell arbeiten und sich nicht gegenseitig behindern.

    Lösung

    Merke dir für antiproportionale Zuordnungen: Je-mehr-desto-weniger

    Genauer: Eine Größe wird einer anderen zugeordnet. Wird die Anzahl der einen Größe mit einer Zahl multipliziert, wird die andere durch die gleiche Zahl dividiert.

    Nur zwei der fünf obigen Aufgaben stellen tatsächlich antiproportionale Zuordnungen dar. Alle anderen sind Aufgaben zu proportionalen Zuordnungen.

    Paul verteilt Gummibärchen

    Wenn Paul die Gummibärchen gerecht verteilt gilt:

    • Wird die Anzahl der Freunde größer, verringert sich die Anzahl der Gummibärchen pro Freund.
    • Umgekehrt gilt: Je kleiner die Anzahl der Freunde, desto mehr Gummibärchen für jeden.
    Annas Hausaufgaben

    Anna benötigt für ihre Hausaufgaben $6$ Stunden. Sie verteilt die Hausaufgaben auf mehrere Tage:

    • An einem Tag müsste sie $6$ Stunden Hausaufgaben machen.
    • An zwei Tagen müsste sie jeweils $6:2=3$ Stunden Hausaufgaben machen.
    • An drei Tagen müsste sie jeweils $6:3=2$ Stunden Hausaufgaben machen.
    • Verteilt sie die Hausaufgaben auf $6$ Tage, benötigt sie jeden Tag $6:6=1$ Stunde.
    Hier siehst du noch die übrigen Beispiele:

    • Pauls Geburtstagsgummibärchen: Je mehr Freunde kommen, desto mehr Gummibärchen erhält Paul. Warum? Jeder Freund bringt die gleiche Anzahl Gummibärchen mit.
    • Lisas Hausaufgaben: Sie braucht für jede Aufgabe $10$ Minuten. Dann braucht sie zum Beispiel für $4$ Aufgaben $4\cdot 10=40$ Minuten.
    • Anna und ihre Freundinnen: Je mehr Freundinnen mitmachen, desto mehr Aufgaben können insgesamt gemacht werden.
  • Ermittle die Anzahl der Gummibärchen, die jeder bekommt.

    Tipps

    Jede Zuordnung muss insgesamt wieder $24$ Gummibärchen ergeben.

    Bei $8$ Personen erhält jeder $3$ Gummibärchen. Das findest du so heraus:

    Da $1$ Person alle $24$ Gummibärchen erhalten würde, ordnest du also die $1$ der $24$ zu. Nun multiplizierst du die $1$ mit $8$ um auf $8$ Personen zu kommen. Gleichzeitig musst du die $24$ durch $8$ dividieren, da die Zuordnung antiproportional ist. Du erhältst $24:8=3$.

    Du kannst dir auch die Eigenschaft der Produktgleichheit bei antiproportionalen Zuordnungen merken. Das Produkt einander zugeordneter Größen ist immer gleich (hier $24$).

    Lösung

    Paul verteilt Gummibärchen gerecht

    Wenn Paul die gleiche Zahl Gummibärchen verteilt gilt:

    • Wird die Anzahl der Freunde größer, verringert sich die Anzahl der Gummibärchen pro Freund.
    • Umgekehrt gilt: Je kleiner die Anzahl der Freunde, desto mehr Gummibärchen für jeden.
    Wie genau sich die Anzahl ändert siehst du hier:

    • Wenn Paul die Gummibärchen alleine isst, bekommt er alle $24$ Gummibärchen.
    • Wird die Anzahl der Personen verdoppelt, halbiert sich die Anzahl der Gummibärchen. $2$ Personen bekommen jeweils $12$ Gummibärchen.
    • Wird die Anzahl der Personen verdreifacht, drittelt sich die Anzahl der Gummibärchen. $3$ Personen bekommen jeweils $8$ Gummibärchen.
    • Multipliziere die Anzahl der Personen mit $4$, also $1\cdot 4=4$, so musst du die Anzahl der Gummibärchen durch $4$ dividieren. So erhalten $4$ Personen jeweils $24:4=6$ Gummibärchen.
    So kannst du nun weiter rechnen:

    • $6$ Personen erhalten jeweils $4$ Gummibärchen.
    • $8$ Personen erhalten jeweils $3$ Gummibärchen.
    • $12$ Personen erhalten jeweils $2$ Gummibärchen.
    • $24$ Personen erhalten jeweils $1$ Gummibärchen.
    Wenn du die Anzahl der Personen mit der Anzahl der Gummibärchen pro Person multiplizierst, erhältst du immer $24$. Dies wird als Produktgleichheit bezeichnet.