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Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 6

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Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 6
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 6

Im Video wird die Gleichung 2x+5 = -x-1 gelöst. Am Ende des Videos kannst du sehen, wie wir uns anschaulich vorstellen können, warum das geklappt hat, was wir gerechnet haben. Wir können uns auch noch viel komplizierte Gleichungen veranschaulichen, aber es ist fraglich, ob wir dadurch die Gleichung oder unsere Rechnung besser verstehen. Wir können aber viel kompliziertere Gleichungen mit Äquivalenzumformungen ohne Probleme lösen - wobei die Äquivalenzumformungen eigentlich immer gleich bleiben. So kommt es also, dass wir mit Äquivalenzumformungen viel mehr machen können, als wir uns vorstellen können.

4 Kommentare

4 Kommentare
  1. hat mir geholfen

    Von M Szoltysik, vor mehr als einem Jahr
  2. mir auch

    Von Luis W., vor etwa 2 Jahren
  3. Hat mir geholfen:)

    Von Ritthyan18, vor mehr als 3 Jahren
  4. Super hat mir sehr geholfen!

    Von Merlin Stein, vor etwa 4 Jahren

Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 6 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 6 kannst du es wiederholen und üben.
  • Bestimme die Lösung der Gleichung $2x+5=-x-1.$

    Tipps

    Stelle dir eine Gleichung wie eine Waage vor.

    Jetzt kann man zum Beispiel auf beiden Seiten der Waage ein $x$ hinzutun. Auf der linken Seite sind dann $3x$ und auf der rechten Seite $0x$.

    Ziel ist es, dass auf der einen Seite der Waage (also der Gleichung) am Schluss die Unbekannte (also hier das $x$) alleine steht.

    Du kannst die gefundene Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen und so eine Probe machen. Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens muss dann dieselbe Zahl stehen.

    Lösung

    Es soll die Gleichung $2x+5=-x-1$ gelöst werden.

    Im ersten Schritt sorgen wir dafür, dass kein $x$ mehr auf der rechten Seite steht. Hierfür wird auf beiden Seiten der Gleichung $x$ addiert. Dies führt zu dieser Gleichung:

    $3x+5=-1$.

    Nun wird auf beiden Seiten der Gleichung $5$ subtrahiert:

    $3x=-6$.

    Zuletzt wird auf beiden Seiten durch $3$ dividiert, da der Wert für $x$ gesucht ist. $x$ soll am Schluss alleine stehen.

    Du erhältst somit die Gleichung

    $x=-2$.

    Die ist die Lösung und damit lautet die Lösungsmenge der Gleichung $2x+5=-x-1$

    $\mathbb{L}=\{-2\}$.

    Du kannst nun eine Probe machen, indem du $-2$ für $x$ in der Ausgangsgleichung einsetzt:

    $2\cdot (-2)+5=-4+5=1=-(-2)-1$ ✓

  • Ergänze die Erklärung zu Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Durch Subtraktion von $5$ erhältst du $3x=-6$.

    Dies ist hier mit Pfeilen dargestellt.

    Die Addition von $x$ entspricht in dieser Aufgabe dem Hinzufügen eines roten Pfeiles nach links.

    Die Lösung der Gleichung ist $x=-2$.

    Ersetze jeweils $x$ durch $-2$. Du erkennst, dass die Pfeilspitzen sich jeweils treffen.

    Lösung

    Wir können uns die Gleichung $2x+5=-x-1$ mit Hilfe von Zahlenstrahlen darstellen.

    $x$ entspricht hier einem roten Pfeil nach links.

    Der Term $2x+5$ wird also so dargestellt: Wir starten bei $0$. Nun legen wir...

    • zwei rote Pfeile nach links (dies entspricht $2x$), wobei wir den zweiten Pfeil an der Spitze des ersten anlegen.
    • an der Spitze des zweiten Pfeils einen blauen Pfeil der Länge $5$ an (dies entspricht der $+5$).
    Die Addition von $x$ auf beiden Seiten ergibt...

    • auf der linken Seite $3x+5$, also drei rote Pfeile nach links und einen blauen Pfeil mit der Länge $5$ nach rechts.
    • auf der rechten Seite $-1$.
    Die jeweiligen Pfeilspitzen treffen sich. Dies entspricht dem Gleichheitszeichen.

    In dem Bild hier erkennst du den nächsten Schritt: Subtraktion von $5$ führt zu $3x=-6$.

    Wenn der blaue Pfeil in drei gleich große Pfeile aufgeteilt wird, hat jeder die Länge $-2$. Dies ist die gesuchte Lösung.

  • Leite jeweils die Gleichung her, die sich durch die Äquivalenzumformung ergibt.

    Tipps

    Die Subtraktion von $x$ auf beiden Seiten einer Gleichung siehst du hier in einem Beispiel:

    $\begin{array}{crclll} & x+4 & = & 5x - 16 & \vert & -x \\ \Leftrightarrow & 4 & = & 4x - 16 \end{array} $

    Das Distributivgesetz siehst du hier an einem Beispiel

    $3(x+4)=3x+3\cdot 4=3x+12$.

    Du musst also den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer multiplizieren.

    Schaue dir dieses Beispiel an, welches so ähnlich ist wie die untere Aufgabe:

    $\begin{array}{crclll} &3(x+4)&=&-x&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&3x+12&=&-x&|&+x\\ \Leftrightarrow&4x+12&=&0&|&-12\\ \Leftrightarrow&4x&=&-12&|&:4\\ \Leftrightarrow&x&=&-3 \end{array}$

    Führe eine Probe durch. $3(-3+4)=3\cdot 1=3=-(-3)$ ✓

    Lösung

    Wenn du eine Gleichung mit einer Unbekannten lösen möchtest, musst du die Gleichung äquivalent so umformen, dass die Unbekannte am Schluss auf einer der beiden Seiten alleine steht.

    Wie du dabei vorgehst, schauen wir uns an den beiden Gleichungen an:

    Wir beginnen mit der Gleichung $2x+3=x-2$.

    • Zunächst subtrahierst du $x$. So kommst du zu $x+3=-2$.
    • Nun musst du noch $3$ subtrahieren. Dies führt zu der Gleichung $x=-5$.
    Dies ist die gesuchte Lösung.

    Um sicher zu sein, führe eine Probe durch. $2\cdot(-5)+3=-10+3=-7=-5-x$ ✓

    Die folgende Gleichung ist ein klein wenig komplizierter, da du hier zunächst noch das Distributivgesetz $a(b+c)=ab+ac$ anwenden musst.

    Du sollst die Gleichung $2(x-3)=x-2$ lösen.

    • Wie bereits gesagt, musst du zunächst das Distributivgesetz anwenden: $2x-6=x-2$.
    • Nun subtrahierst du $x$ zu $x-6=-2$.
    • Anschließend addierst du $6$. So erhältst du die Lösung $x=4$.
  • Leite die jeweilige Lösung der Gleichung her.

    Tipps

    Bringe jeweils zuerst die Unbekannten auf eine Seite.

    Wenn die Unbekannten auf einer Seite sind, kannst du die bekannten Größen auf die andere Seite bringen.

    Abschließend musst du gegebenenfalls noch durch den Faktor vor der Unbekannten dividieren.

    Achte dabei auf das Vorzeichen.

    Führe zur Sicherheit eine Probe durch.

    Lösung

    Da haben sich Paul, Luke und Brian ja einiges vorgenommen. Die vier Gleichungen, die sie lösen wollen, sehen auf den ersten Blick sehr ähnlich aus.

    Lass uns starten:

    $2x+3=4x+5$

    • Zuerst subtrahierst du $4x$ und erhältst $-2x+3=5$.
    • Nun subtrahierst du $3$. Du erhältst $-2x=2$.
    • Zuletzt dividierst du noch durch $-2$ und kommst so zu der gesuchten Lösung $x=-1$.
    • Hinweis: Du hättest im ersten Schritt natürlich auch $2x$ subtrahieren können. Die anderen Schritte ändern sich dann auch, du solltest aber zur selben Lösung kommen.
    $2x+3=4x-5$

    • Auch hier subtrahierst du zunächst $4x$ und erhältst $-2x+3=-5$.
    • Subtraktion von $3$ führt zu $-2x=-8$.
    • Zuletzt dividierst du noch durch $-2$. So kommst du zu der gesuchten Lösung $x=4$.
    $2x-3=4x+5$

    • Wieder subtrahierst du erst einmal $4x$ und erhältst $-2x-3=5$.
    • Nun addierst du $3$ und erhältst $-2x=8$.
    • Zuletzt dividierst du noch durch $-2$ und kommst so zu der gesuchten Lösung $x=-4$.
    $-2x-3=2x+5$

    • Dieses Mal subtrahierst du erst einmal $2x$. Dies führt zu $-4x-3=5$.
    • Nun addierst du $3$. Du erhältst die Gleichung $-4x=8$.
    • Zuletzt dividierst du noch durch $-4$ und kommst so zu der gesuchten Lösung $x=-2$.
  • Beschreibe, welche Äquivalenzumformungen verwendet werden.

    Tipps

    Hier siehst du alle möglichen Äquivalenzumformungen:

    • Termumformungen auf einer oder beiden Seiten der Gleichung.
    • Die Addition oder Subtraktion eines Term oder einer Zahl auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Die Multiplikation mit einem Term oder einer Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    • Die Division durch einen Term oder eine Zahl ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.
    Beachte, dass alle Äquivalenzumformungen außer Termumformungen auf beiden Seiten der Gleichung durchgeführt werden müssen.

    Betrachte die Gleichung $3x + 4 = 16$. Eine Subtraktion von $4$ auf beiden Seiten führt zu der Gleichung $3x = 12$.

    Lösung

    Du willst die Gleichung $2x+5=-x-1$ lösen.

    Hierfür verwendest du Äquivalenzumformungen:

    $\begin{array}{crclll} &2x+5&=&-x-1&|&+x\\ \Leftrightarrow&&3x+5&=&-1 \end{array}$

    Hier hast du auf beiden Seiten der Gleichung $x$ addiert.

    Ein kurzer Hinweis an dieser Stelle: Genau genommen wurde hier auch noch eine Termumformung durchgeführt. Um das zu verdeutlichen, wird diese hier nochmals genau aufgeschrieben. Wenn dir das bereits klar ist, kannst du diesen Schritt überspringen.

    $\begin{array}{crclll} &2x+5&=&-x-1&|&+x\\ &2x+5+x&=&-x-1+x&|&T\\ \Leftrightarrow&3x+5&=&-1 \end{array}$

    Weiter geht's:

    $\begin{array}{crclll} &3x+5&=&-1&|&-5\\ \Leftrightarrow&3x&=&-6 \end{array}$

    Hier hast du auf beiden Seiten der Gleichung $5$ subtrahiert. Auch in diesem Schritt führst du Termumformungen durch. Diese kannst du hier noch sehen:

    $\begin{array}{crclll} &3x+5&=&-1&|&-5\\ \Leftrightarrow&3x+5-5&=&-1-5&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&3x&=&-6 \end{array}$

    Zu guter Letzt dividierst du noch durch $3$, um zu der Lösung $x=-2$ zu gelangen.

    $\begin{array}{crclll} &3x&=&-6&|&:3\\ \Leftrightarrow&x&=&-2 \end{array}$

    Du hast also insgesamt die folgenden Äquivalenzumformungen durchgeführt:

    • Addition eines Terms
    • Subtraktion einer Zahl
    • Division durch eine Zahl (ungleich $0$)
    • zwei Termumformungen
  • Bestimme die Anzahl von Pauls Gummibärchen.

    Tipps

    Versuche, den Text in eine Gleichung zu übersetzen.

    • Die Anzahl der Gummibärchen ist $x$.
    • Das Doppelte von $x$ ist $2x$.
    • Das Dreifache von $x$ ist $3x$.
    • Wenn man etwas wegnimmt, ist dies mathematisch eine Subtraktion.

    Die Gleichung lautet

    $3x-200=2x+30$.

    Lösung

    Da hat Paul sich aber etwas einfallen lassen... Wie viele Gummibärchen hat er denn?

    Zuerst einmal ordnest du dieser unbekannten Zahl die Variable, oder auch Unbekannte, mit der Bezeichnung $x$ zu.

    Nun übersetzt du Pauls Rätsel in mathematische Terme.

    „Wenn ich von dem Dreifachen meiner Gummibärchen $200$ abgebe, ...“

    • Das Dreifache der unbekannten Zahl Gummibärchen ist $3x$.
    • $200$ abgeben bedeutet, dass du von $3x$ die $200$ subtrahierst, also $3x-200$.
    • Dies legen wir jetzt als die linke Seite der Gleichung fest.
    „... ebenso viele wie ...“ entspricht dem Gleichheitszeichen $=$.

    Schauen wir uns nun die rechte Seite der Gleichung an.

    „... das Doppelte meiner Gummibärchen erhöht um $30$ Gummibärchen.“

    • Das Doppelte der unbekannten Zahl drückst du durch $2x$ aus.
    • Wird dies um $30$ erhöht, so erhältst du $2x+30$.
    Damit ist die Gleichung fertig: $3x-200=2x+30$.

    • Nun bringst du erst einmal die Unbekannten auf eine Seite. Hierfür subtrahierst du $2x$. So erhältst du $x-200=30$.
    • Addiere nun $200$. Dies führt zu $x=230$.
    • Das ist die gesuchte Lösung.
    Paul besitzt also $230$ Gummibärchen.

    Als Belohnung gönnen sich Paul und Luke erst einmal jeweils $20$ Gummibärchen. Wie viele sind noch übrig?

    Richtig: $230-2\cdot 20=230-40=190$

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