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Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 5

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Ø 4.8 / 18 Bewertungen

Die Autor*innen
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Martin Wabnik
Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 5
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 5

Mit Hilfe der Äquivalenzumformungen können wir die Gleichung 2x - 4 = x + 5 lösen. Wir suchen also eine Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat und die einfacher ist, als die gegebene Gleichung. Im Video kannst du auch sehen, wie du dir die Umformungen vorstellen kannst.

6 Kommentare

6 Kommentare
  1. schönes video

    Von Charlie Tillmann, vor mehr als einem Jahr
  2. echthilfreich

    Von Jacques De, vor mehr als 2 Jahren
  3. Toll, echt gut und hilfreich danke!

    Von Mauricehagen418, vor mehr als 3 Jahren
  4. super er ist der beste

    Von Gundulagustke, vor mehr als 3 Jahren
  5. Toll, danke!

    Von Julian D., vor mehr als 4 Jahren
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Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 5 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 5 kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe die Lösungsschritte der Gleichung $2x-4=-x+5.$

    Tipps

    Versuche, zuerst eine Äquivalenzumformung anzuwenden, nach der die Unbekannte $x$ nur noch auf einer Seite der Gleichung auftaucht.

    Dein Ziel ist es, dass die Unbekannte $x$ alleine auf einer Seite der Gleichung steht. Nutze dazu jeweils die Umkehraufgabe des Terms.

    • Die Umkehraufgabe der Addition ist die Subtraktion und umgekehrt.
    • Die Umkehraufgabe der Multiplikation ist die Division und umgekehrt.
    Lösung

    Hier kannst du die Lösung so sehen, wie sie mathematisch korrekt aufgeschrieben wird.

    Der Strich ist jeweils der Operationsstrich. Hinter diesem wird die durchzuführende Äquivalenzumformung aufgeschrieben.

    Lass uns dies einmal Schritt für Schritt durchführen:

    1. In der ersten Zeile steht die Ausgangsgleichung. Auf beiden Seiten der Gleichung wird $x$ addiert.
    2. So gelangst du zu der Gleichung in der zweiten Zeile. Addiere nun $4$.
    3. Dies führt zu der Gleichung in der dritten Zeile. Du siehst, vor der Unbekannten $x$ steht noch der Faktor $3$. Dividiere nun durch $3$.
    4. Du erhältst die Gleichung in der letzten Zeile: $x=3$
    Aus dieser kannst du die Lösung sofort ablesen und damit die Lösungsmenge der Gleichung angeben: $\mathbb{L}=\{3\}$

    Übrigens: Die Lösung $x=3$ erfüllt jede der (vier!) Gleichungen. Schauen wir uns die Proben an.

    • $2\cdot 3-4=6-4=2=-3+5$ ✓
    • $3\cdot 3-5=9-5=4$ ✓
    • $3\cdot 3=9$ ✓
    • $3=3$ ✓
    Deswegen heißen diese Umformungen Äquivalenzumformungen. Dies wird durch das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ angezeigt.

  • Ergänze die Begründungen dafür, dass du auf beiden Seiten der Gleichung $x$ addieren darfst, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert.

    Tipps

    Eine Äquivalenzumformung lässt sich immer auch mit Hilfe der Pfeile darstellen.

    Eine Addition von $4$ auf beiden Seiten entspricht zum Beispiel dem Hinzufügen eines Pfeils der Länge $4$, der nach rechts zeigt.

    Wir starten bei der $0$. Wenn du nun den oberen und dann den unteren Pfeil „entlang gehst“, kommst du wieder bei der $0$ an.

    Dies entspricht z.B. der Rechnung $-4 +4.$

    Lösung

    Wir starten mit der Gleichung $2x-4=-x+5$. Eine Addition von $x$ auf beiden Seiten entspricht einer Verschiebung entlang des nach rechts zeigenden rosafarbenen Pfeils der Länge $x$.

    Unterhalb des Zahlenstrahls kannst du erkennen, dass der rosafarbene Pfeil einmal nach links und einmal nach rechts zeigt. Dies entspricht dem Term $-x+x=x-x=0$. Das bedeutet, dass du diese beiden Pfeile auch weglassen kannst. Erkennbar ist das an der Säge.

    Schließlich bleiben oberhalb des Zahlenstrahls drei rosafarbene Pfeile nach rechts ($3x$) sowie der blaue Pfeil nach links ($-4$). Insgesamt entspricht dies dem Term $3x-4$.

    Unterhalb des Zahlenstrahls bleibt nur noch der orange Pfeil übrig. Dies entspricht dem Term $5$.

    Dies ergibt folgende Gleichung:

    $3x-4=5$

    Durch die gestrichelte Linie ist angezeigt, dass beide Seiten das gleiche Ergebnis haben.

  • Bestimme zu jeder Gleichung die Lösungsmenge.

    Tipps

    Bringe in jeder der Gleichungen erst einmal die Unbekannten ($x$) auf eine Seite und die bekannten Größen auf die andere.

    Betrachte das Beispiel und schaue dir die Umformungen an. Übertrage diese Überlegungen dann auf die Aufgabe.

    $\begin{array}{crclll} &2x+3 & = & 4x - 5 & \vert & -2x\\ \Leftrightarrow & 3 & = & 2x - 5 & \vert & +5\\ \Leftrightarrow & 8 & = & 2x & \vert & :2\\ \Leftrightarrow & 4 & = & x \end{array}$

    Lösung

    Alle folgenden Aufgaben sind entstanden, weil Paul etwas falsch abgeschrieben hat.

    Das ist zwar ärgerlich, weil Paul nun durch seine Unkonzentriertheit mehrmals rechnen muss. Auf der anderen Seite übt er so das Lösen von Gleichungen.

    Hier siehst du, wie die jeweilige Gleichung mathematisch umgeformt wird:

    $\begin{array}{crclll} &2x-4&=&x+5&|&-x\\ \Leftrightarrow&x-4&=&5&|&+4\\ \Leftrightarrow&x&=&9 \end{array}$

    Damit ist die zugehörige Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{9\}$.

    $\begin{array}{crclll} &-2x-4&=&x+5&|&-x\\ \Leftrightarrow&-3x-4&=&5&|&+4\\ \Leftrightarrow&-3x&=&9&|&:(-3)\\ \Leftrightarrow&x&=&-3 \end{array}$

    Damit ist die zugehörige Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-3\}$.

    $\begin{array}{crclll} &2x-4&=&x-5&|&-x\\ \Leftrightarrow&x-4&=&-5&|&+4\\ \Leftrightarrow&x&=&-1 \end{array}$

    Damit ist die zugehörige Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{-1\}$.

    $\begin{array}{crclll} &2x+4&=&x+5&|&-x\\ \Leftrightarrow&x+4&=&5&|&-4\\ \Leftrightarrow&x&=&1 \end{array}$

    Damit ist die zugehörige Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{1\}$.

  • Leite die Lösungsmenge der Gleichung $3x+2(x-4) = x-2-2x$ her, indem du Äquivalenzumformungen anwendest.

    Tipps

    Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz:

    $3(x+2)=3x+3\cdot 2=3x+6$.

    Multipliziere also den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer.

    Hier siehst du einige Beispiele für Äquivalenzumformungen. Diese Beispiele kannst du dann auf die Aufgabe anwenden.

    $\begin{array}{crclll} &8x+5 & = & 4x+9 & \vert & -5\\ \Leftrightarrow&8x & = & 4x+4 & \vert & -4x\\ \Leftrightarrow&4x & = & 4x & \vert & :4\\ \Leftrightarrow&x & = & 1 & \end{array}$

    Lösung

    Hier kannst du die komplette Rechnung sehen. Dabei steht „$\text{T}$“ für Termumformung, zum Beispiel die Anwendung des Distributivgesetzes.

    1. Wir sind auf der linken Seite der Gleichung. Camilla wendet das Distributivgesetz an: $2(x-4)=2x-8$ und erhält somit die Gleichung $3x+2x-8=x-2-2x$.
    2. Nun fasst sie sowohl links als auch rechts des Gleichheitszeichens die gleichartigen Terme zusammen. Dies führt zu der Gleichung $5x-8=-x-2$. Auch dies ist eine Termumformung. Nun sind beide Seiten der Gleichung „aufgeräumt“.
    3. Addition von $x$ führt zu der Gleichung $6x-8=-2$.
    4. Sie addiert $8$ und erhält $6x=6$.
    5. Fast fertig. Sie muss noch durch $6$ dividieren, um die Gleichung $x=1$ zu erhalten.
    Aus der letzten Gleichung kann sie die Lösungsmenge ablesen: $\mathbb{L}=\{1\}$.

    Übrigens: Dieses $x=1$ löst jede der Gleichungen. Deshalb spricht man auch von Äquivalenzumformungen. Die Lösungsmenge ändert sich nämlich nicht.

    Wir machen einmal die Probe mit der Gleichung in der dritten Zeile:

    $5\cdot 1-8=5-8=-3=-1-2$ ✓

  • Gib die verwendeten Äquivalenzumformungen an.

    Tipps

    Schauen wir uns ein Beispiel an. Wenn wir bei der Gleichung $3x+4 = x + 2$ den Term $x$ subtrahieren, erhalten wir diese Gleichung:

    $2x+4 = 2$.

    Bei der Gleichung $2x+4=2$ können wir die Zahl $4$ subtrahieren. Als Ergebnis dieser Äquivalenzumformung erhalten wir die Gleichung $2x = -2.$

    Abschließend können wir bei der Gleichung $2x = -2$ noch durch $2$ teilen. Dies führt zur Gleichung $x=-1.$

    Lösung

    Hier siehst du die Gleichung mit den jeweiligen Äquivalenzumformungen.

    Hier siehst du diese nochmals aufgeschrieben:

    • die Addition von $x$, also eines Terms,
    • die Addition einer Zahl, nämlich $4$, sowie
    • die Division durch eine Zahl, hier $3$. Dies könnte man auch als Multiplikation mit $\frac13$ betrachten.
  • Ermittle die Gesamtzahl der Beagles, indem du Äquivalenzumformungen anwendest.

    Tipps

    Wende zunächst das Distributivgesetz an.

    Hier siehst du ein Beispiel:

    $3(x+2)=3x+3\cdot 6=3x+6$.

    Fasse nun, sofern nötig, gleichartige Terme zusammen, zum Beispiel

    $3x+2-x=3x-x+2=2x-2$.

    Bringe die Unbekannten auf die eine und die bekannten Größen auf die andere Seite der Gleichung.

    Führe eine Probe durch.

    Gegeben sei zum Beispiel die Gleichung $2x-4=8$ mit der Lösung $x=6$:

    $2\cdot 6-4=12-4=8$ ✓

    Lösung

    Diese Gleichung zu lösen, geht sicher viel schneller als immer und immer wieder diese spielenden Beagles zu zählen, die total durcheinander laufen.

    Sarah formt also die Gleichung um:

    1. Zuerst wendet sie auf der linken Seite das Distributivgesetz an und erhält $5(x-3)=5x-15$.
    2. Jetzt fasst sie auf dieser Seite auch die gleichartigen Terme zusammen. So kommt sie zu $4x-15=2x+31$. (Kannst du schon die Lösung erkennen?)
    3. Nun bringt sie die Unbekannten auf die linke Seite, sie subtrahiert $2x$ zu $2x-15=31$.
    4. Dann addiert sie noch die $15$ und erhält die Gleichung $2x=46$. (Jetzt kannst du die Lösung vielleicht schon erkennen!)
    5. Sarah ist fast fertig. Sie muss noch durch $2$ dividieren. So kommt sie zu der Gleichung $x=23$.
    Schließlich kann sie die Lösung ablesen. Die Zahl der Beagles beträgt $23$.

    Kein Wunder, dass sie es nicht geschafft hat, die ganze Meute zu zählen.

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