Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 3

Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 3 Übung

• Gib an, welche Äquivalenzumformungen sofort zur Lösung der Gleichung $3x=81$ führen.

  Tipps

  Natürlich kannst du auch so rechnen

  $\begin{array}{crclll} &3x&=&81&|&-2x\\ \Leftrightarrow&x&=&81-2x \end{array}$

  Nun steht die Unbekannte auf der linken Seite alleine, aber leider steht sie auch noch auf der anderen Seite. Dabei bist du der Lösung nicht näher gekommen.

  Beachte, dass die Division durch eine Zahl der Multiplikation mit dem Kehrwert der Zahl entspricht.

  Lösung

  Du sollst die Gleichung $3x=81$ lösen. Das heißt also, dass du einen Wert für $x$ suchst, so dass die Gleichung erfüllt ist.

  Ziel ist es also, die obige Gleichung äquivalent so umzuformen, dass auf der einen Seite der Gleichung die Unbekannte $x$ alleine steht.

  Dazu wendest du Äquivalenzumformungen an. Hier siehst du nochmal eine Liste der Äquivalenzumformungen.

  • Termumformungen,
  • die Addition einer Zahl oder eines Term auf beiden Seiten der Gleichung,
  • die Subtraktion einer Zahl oder eines Term auf beiden Seiten der Gleichung,
  • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

  Du siehst, du könntest theoretisch jede dieser fünf Äquivalenzumformungen probieren. Das machst du so lange, bis eine passt.

  Natürlich kannst du dir auch die jeweilige Umkehraufgabe anschauen.

  Bei der obigen Gleichung steht auf der linken Seite $3x$ oder, etwas ausführlicher, $3\cdot x$, also eine Multiplikationsaufgabe. Die zugehörige Umkehraufgabe ist die Division durch $3$. Ebenso gut kannst du auch mit dem Kehrwert, also $\frac13$, multiplizieren.

  Beachte, dass es sehr viele mögliche Lösungswege gibt. Einige sind jedoch geschickter als andere.

  Dazu schauen wir uns folgendes Beispiel an:

  $\begin{array}{lclll} 3x & = & 81 & \vert & \cdot 2\\ 6x & = & 162 & \vert & : 6\\ x & =& 27 \end{array}$

  Auch hier sind wir auf die richtige Lösung gekommen, haben aber einen „unnötigen“ Schritt gemacht.

• Bestimme die Lösungsmenge der Gleichung $3x=81$.

  Tipps

  Es gibt 5 Äquivalenzumformungen:

  • Termumformungen,
  • die Addition einer Zahl oder eines Term auf beiden Seiten der Gleichung,
  • die Subtraktion einer Zahl oder eines Term auf beiden Seiten der Gleichung,
  • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung sowie
  • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$ auf beiden Seiten der Gleichung.

  Schauen wir uns die Gleichung $\frac{x}{2} = 3$ an. Um auf der linken Seite $x$ zu erhalten, multiplizieren wir auf beiden Seiten mit $2$. Wir erhalten dadurch folgende Gleichung:

  $x = 6$.

  Lösung

  Du kannst dir eine Gleichung wie eine Waage vorstellen. Auf den beiden Waagschalen „liegt“ das „Gleiche“:

  Du könntest auf einer der beiden oder auf beiden Seiten aufräumen, dies wären die Termumformungen. Dies ist in dieser Gleichung nicht nötig.

  Du kannst auch etwas hinzufügen oder wegnehmen. Dies musst du allerdings auf beiden Seiten der Waage tun, ansonsten kommt sie ins Ungleichgewicht.

  Diese Umformungen entsprechen den verbleibenden Äquivalenzumformungen,

  • der Addition,
  • der Subtraktion,
  • der Multiplikation oder
  • der Division.

  Welche dieser Umformungen du anwenden musst, kannst du dir mit Hilfe der Umkehraufgaben klarmachen.

  Auf der linken Seite der Gleichung steht eine Multiplikationsaufgabe. Die Umkehraufgabe dazu ist eine Divisionsaufgabe. Du musst also durch $3$ dividieren.

  Dies führt zu $x=27$.

  Mathematisch kannst du dies so aufschreiben:

  $\begin{array}{crclll} &3x&=&81&|&:3\\ \Leftrightarrow&x&=&27 \end{array}$

  Die Lösungsmenge der obigen Gleichung $3x=81$ ist also $\mathbb{L}=\{27\}$.

  Du kannst abschließend noch eine Probe durchführen, ob du richtig gerechnet hast:

  $3\cdot 27=81$ ✓

• Wende die entsprechende Äquivalenzumformung an, um die jeweilige Gleichung zu lösen.

  Tipps

  Wende immer, sofern nötig, die Umkehraufgabe an.

  Wenn zum Beispiel auf einer Seite $15x$ steht, ist dies eine Multiplikation. Die Umkehraufgabe ist also in diesem Fall eine Division durch $15$.

  Terme, die gleich sind, kannst du zusammenfassen.

  So ist zum Beispiel $4x+5x-7x+x=3x$.

  • Die Umkehraufgabe zur Addition ist die Subtraktion.
  • Die Umkehraufgabe zur Multiplikation ist die Division.

  Dies gilt jeweils auch umgekehrt.

  Lösung

  Es gibt insgesamt fünf Äquivalenzumformungen. Jede dieser Umformungen musst du im Folgenden anwenden, um die obigen Gleichungen zu lösen.

  1. Bei der ersten Gleichung $x:4=13$ musst du mit $4$ multiplizieren. So erhältst du $x=4\cdot 13=52$.
  2. Bei der zweiten Gleichung $3x+2x-4x=2\cdot 26$ formst du sowohl links als auch rechts vom Gleichheitszeichen die Terme um. Dies führt zu $x=52$.
  3. Nun kommen wir zu der dritten Gleichung $x-22=30$: Addiere auf beiden Seiten der Gleichung $2$. Damit kommst du zu der gesuchten Lösung $x=30+22=52$.
  4. Es bleiben noch zwei Gleichungen. Bei der vierten $-2x=-104$ dividierst du durch $-2$. Somit ist $x=-104:(-2)=52$.
  5. Bei der fünften und letzten Gleichung $x+30=82$ bleibt nur noch die Subtraktion: $x=82-30=52$.

  Woher weißt du, welche Äquivalenzumformung du durchführen sollst? Wende immer die jeweilige Umkehraufgabe an.

  • Die Umkehraufgabe zur Addition ist die Subtraktion.
  • Die Umkehraufgabe zur Multiplikation ist die Division.

  Dies gilt auch umgekehrt.

• Forme die Gleichung äquivalent um und gib die Lösungsmenge an.

  Tipps

  Hier siehst du ein Beispiel für das Distributivgesetz:

  $4(x-2)=4x-4\cdot 2=4x-8$.

  Du siehst, du musst den Faktor vor der Klammer mit jedem Term in der Klammer multiplizieren.

  Du kannst nur Terme zusammenfassen, die gleichartig sind:

  • $7+2=9$ und
  • $3x-4x=-x$, aber
  • $3x-5$ lässt sich nicht weiter vereinfachen.

  Lösung

  Hier siehst du, wie man das Lösen der obigen Gleichung in der Form, in der Paul sie gelöst hat, mathematisch aufschreiben kann.

  Das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$ zeigt dabei an, dass die Gleichung äquivalent umgeformt worden ist.

  $\begin{array}{crclll} &3(x+1)-5&=&4x+5-2x&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&3x+3-5&=&4x+5-2x&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&3x-2&=&2x+5&|&+2\\ \Leftrightarrow&3x&=&2x+7&|&-2x\\ \Leftrightarrow&x&=&7 \end{array}$

  Beginnen wir ganz oben:

  1. Auf der linken Seite der Gleichung wird das Distributivgesetz angewendet. Dies ist eine Termumformung.
  2. Nun werden auf beiden Seiten der Gleichung die gleichen Terme zusammengefasst. Auch dies ist eine Termumformung.
  3. Addition von $2$ führt zu der Gleichung in der vierten Zeile.
  4. Zuletzt wird $2x$ subtrahiert. Dies führt zu der Gleichung $x=7$, der gesuchten Lösung.

  Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{7\}$.

  Ein Tipp: Führe zur Kontrolle deiner Rechnung eine Probe durch.

  $3(7+1)-5=3\cdot 8-5=24-5=19=4\cdot 7+5-2\cdot 7$ ✓

• Bestimme, wie sich Äquivalenzumformungen auf Gleichungen und die Lösungsmenge auswirken.

  Tipps

  Das Wort „äquivalent“ kommt aus dem Lateinischen:

  • „aequus“ für „gleich“ und
  • „valere“ für „wert sein“ oder „bedeuten“.

  Wenn du eine Gleichung äquivalent umformst, erfüllt die so erhaltene Lösung jede der Gleichungen, welche du im Laufe der Umformungen erhältst.

  Schaue dir ein Beispiel an:

  $\begin{array}{crclll} &x+2&=&8&|&-2\\ \Leftrightarrow&x&=&6 \end{array}$

  $x=6$ löst also sowohl die Gleichung $x+2=8$ als auch $x=6$.

  Die beiden Gleichungen $x+2=8$ und $x=6$ haben die gleiche Lösungsmenge.

  Lösung

  Wenn du eine Gleichung äquivalent umformst, ändert sich die Lösungsmenge nicht.

  Daher kommt auch der Name (aus dem Lateinischen):

  • „aequus“ für „gleich“ und
  • „valere“ für „wert sein“ oder „bedeuten“.

  Du kannst dir dies an dem Beispiel der Gleichung $3x=81$ klarmachen. Die Äquivalenzumformung Division durch $3$ führt zu $x=27$.

  Die Gleichung $3x=81$ hat also die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{27\}$. Diese Lösungsmenge hat auch die Gleichung $x=27$.

  Übrigens: Für diese Äquivalenz verwenden Mathematiker das Äquivalenzzeichen $\Leftrightarrow$.

• Ermittle den Gesamtbetrag, den Dr. Evil für sein neues Messgerät bezahlen muss.

  Tipps

  Sortiere erst einmal auf beiden Seiten der Gleichung:

  Wende zunächst auf der linken Seite das Distributivgesetz an und fasse dann die gleichen Terme zusammen.

  Bringe, nachdem die Terme zusammengefasst sind, die Terme mit der Unbekannten auf die eine und die Zahlen, die bekannten Größen, auf die andere Seite der Gleichung.

  Führe eine Probe durch, indem du den errechneten Wert für $x$ einsetzt und guckst, ob beide Seiten denselben Wert ergeben.

  Lösung

  Nun muss Dr. Evil schon Geld für sein neues Messgerät bezahlen und vorher muss er noch dazu eine Gleichung lösen. Dieser Professor Zahl hat aber auch immer wieder seltsame Einfälle.

  Dr. Evil erinnert sich, dass er zuerst einmal auf beiden Seiten die Terme so weit möglich vereinfachen kann.

  Er beginnt mit der linken Seite der Gleichung:

  • $3(x-225)=3x-3\cdot 225=3x-675$
  • Nun kann er noch auf beiden Seiten $1500$ addieren und erhält $3x+825$.

  Kommen wir jetzt zur rechten Seite. Hier kann er die Zahlen zusammenfassen und kommt somit auf die Gleichung $-2x+6450$.

  Jetzt lautet die Gleichung $3x+825=-2x+6450$.

  • Nun subtrahiert er auf beiden Seiten $825$ und erhält die Gleichung $3x=-2x+5625$.
  • Er addiert $2x$ auf beiden Seiten und erhält $5x=5625$.
  • Zuletzt dividiert er beide Seiten durch $5$. Dies führt zu der Gleichung $x=1125$.

  Dieser Wert für $x$ ist die gesuchte Lösung.

  Das bedeutet, dass Dr. Evil für das neue Messgerät $1125$ Goldmünzen an Professor Zahl zahlen muss.