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Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 1

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Ø 4.4 / 55 Bewertungen

Die Autor/-innen
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Martin Wabnik
Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 1
lernst du in der 7. Klasse - 8. Klasse

Beschreibung Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 1

In dieser Übung lösen wir die Gleichung x+3 = 8. Weil die eigentliche Rechnung nicht so lange dauert, können wir uns am Ende des Videos ansehen, warum wir diese Gleichung mit einer Umformung lösen können - genauer gesagt, warum die Umformung die Lösungsmenge nicht ändert. Es gibt viele Möglichkeiten, diesen mathematischen Zusammenhang zu veranschaulichen. Im Video wird nur eine dieser Möglichkeiten gezeigt.

Transkript Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 1

Hallo, wenn Du weißt, was Gleichungen sind und auch weißt, was Äquivalenzumformungen sind, dann können wir jetzt mal ein paar Beispiele dazu durchrechnen. Das machen wir schön langsam, denn wir sind ja am Anfang des Themas. Und das auch ein guter Zeitpunkt, um sich mal zu überlegen, was genau wir da eigentlich machen und warum das funktioniert, was wir da machen. Hier ist eine Gleichung, nämlich x + 3 = 8. Und wir suchen jetzt eine einfachere Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat. Und die finden wir, indem wir auf beiden Seiten minus drei rechnen. So kündigt man hier das an. Dann haben wir auf der linken Seite immer noch das x stehen. Drei können wir einfach abschreiben. Und minus drei haben wir gerechnet, kann ich so hinschreiben. Und auf der rechten Seite haben wir acht minus drei. Jetzt siehst Du ja direkt, dass +3-3=0 ist. Null brauchen wir nicht hinschreiben und deshalb steht auf der linken Seite einfach nur das x. Naja auf der rechten Seite haben wir acht minus drei. Das ist fünf. Und da können wir die fünf auch hinschreiben. Diesen Schritt hier wirst Du, wenn Du viele Gleichungen löst normalerweise weglassen, denn acht minus drei kannst Du auch so im Kopf rechnen. Das musst Du nicht nochmal hinschreiben. Du würdest dann gleich die fünf hinschreiben. Von dieser Gleichung können wir jetzt die Lösungsmenge direkt bestimmen. Wir sehen, nur dann, wenn wir für x fünf einsetzen, ist diese Gleichung richtig. Und somit haben wir dann auch unsere Lösungsmenge gefunden. Das ist wieder das „L“ mit dem Doppelstrich. Das ist die Mengenklammer. Da geht die auf. Und wir haben die Menge, die die fünf enthält. Das ist unsere Lösungsmenge. Ja und an dieser kleinen Aufgabe kann man schon sehen, das Lösen von Gleichungen hat nicht viel mit Rechnen zu tun. Also wir haben jetzt acht minus drei gerechnet. Ja, das musst Du nicht üben. Das kannst Du seit der ersten Klasse. Das hat auch nichts mit Mathematik zu tun. Mathematisch interessanter ist viel mehr, sich zu überlegen, warum das funktioniert, was wir da machen. Und das können wir uns jetzt mal überlegen. Wir stellen uns also die Frage: “Warum hat die Umformung der Gleichung die Lösungsmenge der Gleichung nicht geändert?” Wir haben hier die Zahlengerade. Da geht es in die positive Richtung weiter. Hier ist die Null. Dann brauchen wir diese acht. Die ist hier. Das ist die acht. Dann haben wir ein x. Das x soll jetzt so groß sein, dass, wenn wir noch drei addieren, wir dann bei acht ankommen. Jetzt haben wir hier eine Äquivalenzumformung gemacht. Wir haben nämlich auf beiden Seiten minus drei gerechnet. Das darf ich jetzt einfach mal hier rein schmieren. Da haben wir minus drei gerechnet. Dann war die drei also weg. Und hier haben wir auch minus drei gerechnet. Dann haben wir hier keine acht mehr gehabt, sondern die fünf. Dieses x erfüllt jetzt diese Gleichung, denn x ist jetzt hier gleich fünf. Und das ist dasselbe x, was auch diese Gleichung erfüllt, denn an diesem x hier haben wir nichts gemacht. Wir haben nur hier eine drei abgezogen auf beiden Seiten. Sonst haben wir nichts gemacht. Dieses x ist genau dasselbe, wie das was wir hier hatten, was hier auch die Gleichung erfüllt. So kann man also sehen, dass unsere Äquivalenzumformung die Lösungsmenge dieser Gleichung nicht geändert hat, denn diese Gleichung hier hat genau dieselbe Lösungsmenge, nämlich die Menge, die die Zahl fünf enthält. Ja, das ist also eine Möglichkeit sich zu überlegen, warum Äquivalenzumformungen funktionieren, warum also eine weitere Gleichung entsteht, die dieselbe Lösungsmenge hat. Ok, Du kannst es natürlich auch machen, wie die meisten Leute, also Aufgabe lösen und zur nächsten Aufgabe übergehen. Das ist auch völlig in Ordnung. Aber der mathematische Spaß fängt erst dann an, wenn man sich überlegt, welche Ideen dahinter stecken, was man da genau macht und warum das funktioniert. Ist zumindest meine Meinung. Ok, dann viel Spaß damit, wie auch immer. Tschüss.

15 Kommentare

15 Kommentare
  1. Sehr schönes Video ! :)

    Von Martinsche80, vor 2 Monaten
  2. dankejetzthabeicheine4inderarbeit

    Von Claudie7, vor etwa 2 Jahren
  3. Hallo Claudie7,
    die Gleichung lautet: x + 3 = 8
    Um die Lösungsmenge eindeutig bestimmen zu können, müssen wir also dafür sorgen, dass x sozusagen allein auf einer Seite des Gleichheitszeichen steht. Zu Beginn steht dort allerdings noch x + 3. Nun müssen wir uns überlegen, wie wir die (+3) dort loswerden können, damit x allein steht. Dies gelingt durch Äquivalenzumformungen. Um (+3) loszuwerden subtrahieren wir demnach 3 auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens (wir rechnen also -3). Somit fällt auf der linken Seite die 3 weg und das x steht allein dort.
    Ich hoffe, wir konnten dir weiterhelfen.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Jonas D., vor mehr als 2 Jahren
  4. aberwarum-3

    Von Claudie7, vor mehr als 2 Jahren
  5. Super Lehrer! 🤩

    Von .Nr. , vor mehr als 2 Jahren
Mehr Kommentare

Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 1 Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Äquivalenzumformungen – einfache Gleichungen 1 kannst du es wiederholen und üben.
  • Beschreibe, wie folgende Gleichung gelöst werden kann: $x+3=8$

    Tipps

    Welche Äquivalenzumformungen gibt es eigentlich?

    • Termumformungen,
    • die Addition einer Zahl oder eines Terms,
    • die Subtraktion einer Zahl oder eines Terms,
    • die Multiplikation mit einer Zahl oder einem Term ungleich $0$ sowie
    • die Division durch eine Zahl oder einen Term ungleich $0$.

    Termumformungen kannst du auf einer oder auch auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

    Alle übrigen Äquivalenzumformungen musst du immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

    Schaue dir folgendes Beispiel an: Sicher ist $3=3$.

    Wenn du nur auf einer Seite $2$ addierst, erhältst du $5=3$. Dies ist nicht richtig.

    Lösung

    Es soll die Gleichung $x+3=8$ gelöst werden. Man kann die Lösung hier direkt ablesen. Diese ist $x=5$. Überlege, wie man darauf kommt.

    Man kann z.B. in Gedanken von der $8$ die $3$ abziehen. Damit hat man also eine Äquivalenzumformung angewendet.

    Gehen wir das Ganze einmal genauer durch.

    1. Du beginnst mit der Gleichung $x+3=8$. Die Unbekannte $x$ soll alleine stehen.
    2. Du führst die Umkehraufgabe zu $x+3$ auf beiden Seiten der Gleichung durch. Diese Umkehraufgabe ist $-3$.
    3. Du kommst so zu dieser Gleichung: $x+3-3=8-3$.
    • $3-3=0$ und $8-3=5$. Dies sind Termumformungen.
    • Schließlich lautet die Gleichung $x=5$.
    Die Lösungsmenge der Gleichung $x+3=8$ ist somit $\mathbb{L}=\{5\}$.

    Zur Sicherheit kannst du eine Probe machen: $5+3=8$ ✓

    Übrigens: Dieses $x=5$ löst jede der Gleichungen, die du durch Äquivalenzumformungen erhalten hast.

  • Ergänze die Erklärung zu der Äquivalenzumformung.

    Tipps

    Die Säge im Bild schneidet beide Zahlen in zwei Teile. Wie lang ist der rechte Teil?

    Stelle dir eine Gleichung wie eine Waage vor. Diese muss im Gleichgewicht sein. Du darfst die Gegenstände auf einer oder beiden Seiten umsortieren, da dies nichts am Gewicht ändert.

    Wenn du etwas dazutust oder wegnimmst, musst du dies auf beiden Seiten der Waage tun.

    Das Wegnehmen bei der Waage entspricht dem „ein Stück abschneiden“.

    Lösung

    Die beiden Zahlenstrahlen liegen direkt übereinander und sind gleich lang.

    • Der obere steht für die rechte Seite der Gleichung $8$ und
    • der untere für die linke Seite $x+3$.
    Hier siehst du also anschaulich die Gleichung $x+3=8$.

    Dein Ziel ist es, dass die Unbekannte $x$ alleine steht, dass du also eine Lösung für $x$ findest, welche die Gleichung erfüllt.

    An den kleinen Linien erkennst du jeweils eine Einheit. Rechts von dem $x$ sind $3$ Einheiten. Diese kannst du auch bei dem oberen Zahlenstrahl, also bei der $8$, erkennen.

    Du kannst nun sowohl bei dem oberen als auch bei dem unteren Zahlenstrahl ein Stück der Länge $3$ abschneiden:

    • Mathematisch entspricht dies der Subtraktion von $3$.
    • Die Tatsache, dass du bei beiden Zahlenstrahlen das gleiche Stück abschneiden musst, bedeutet, dass du $3$ auf beiden Seiten der Gleichung subtrahieren musst.
    • Wenn du von $8$ die $3$ subtrahierst, erhältst du $8-3=5$.
    • Wenn du von $x+3$ auch $3$ subtrahierst, erhältst du $x+3-3=x$.
    Schließlich gelangst du zu der Gleichung $x=5$.

    Du siehst, $x$ steht nun alleine und du kannst die Lösung ablesen. Die Lösungsmenge ist $\mathbb{L}=\{5\}$.

  • Ermittle jeweils die zugehörige Äquivalenzumformung.

    Tipps
    • Die Addition ist die Umkehraufgabe zu der Subtraktion und umgekehrt.
    • Die Multiplikation ist die Umkehraufgabe der Division und umgekehrt.

    Mache jeweils die Probe.

    Lösung

    Das Lösen einer Gleichung in der Form wie der hier gegebenen entspricht jeweils einer Umkehraufgabe. Du kehrst also die Aufgabe in der Gleichung um.

    Steht zum Beispiel in der Gleichung $+2$, dann musst du $-2$ rechnen.

    Beachte, dass du bei der Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division diese jeweils auf beiden Seiten der Gleichung durchführen musst.

    Die Gleichung $x+2=4$ wird durch Subtraktion von $2$ gelöst:

    $\begin{array}{crclll} &x+2&=&4&|&-2\\ \Leftrightarrow&x+2-2&=&4-2&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&2 \end{array}$

    Die Gleichung $x-2=4$ wird durch Addition von $2$ gelöst:

    $\begin{array}{crclll} &x+2&=&4&|&+2\\ \Leftrightarrow&x-2+2&=&4+2&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&6 \end{array}$

    Die Gleichung $2\cdot x=4$ wird durch Division durch $2$ gelöst:

    $\begin{array}{crclll} &2\cdot x&=&4&|&:2\\ \Leftrightarrow&2\cdot x:2&=&4:2&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&2 \end{array}$

    Die Gleichung $x:2=4$ wird durch Multiplikation mit $2$ gelöst:

    $\begin{array}{crclll} &x:2&=&4&|&\cdot 2\\ \Leftrightarrow&x:2\cdot 2&=&4\cdot 2&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&8 \end{array}$

  • Ermittle die Lösung zu der Gleichung $3x+5=x+3$ und beschreibe die Äquivalenzumformungen.

    Tipps

    Bis auf die Termumformungen musst du jede Äquivalenzumformung immer auf beiden Seiten der Gleichung durchführen.

    Führe mit der gefundenen Lösung eine Probe durch. Sie erfüllt jede Gleichung, welche du im Laufe der Äquivalenzumformungen erhältst.

    Wenn du die Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzt, erhältst du $2=2$.

    Lösung

    Hier siehst du die gesamte Rechnung. Jeweils rechts neben dem Operationsstrich ist die Äquivalenzumformung zu sehen. Dabei steht der Großbuchstabe $\text{T}$ für die Termumformung.

    Wir schauen uns diese Rechnung nun von oben nach unten an.

    1. In der ersten Zeile wird auf beiden Seiten der Gleichung $5$ subtrahiert. Dies führt zu der Gleichung in der zweiten Zeile.
    2. Nun werden die Terme zusammengefasst. Dies ist eine Termumformung. So erhältst du die Gleichung in der dritten Zeile.
    3. Du subtrahierst auf beiden Seiten die Unbekannte $x$. Dies führt zu der vierten Zeile.
    4. Hier fasst du die Terme wieder zusammen und erhältst die fünfte Zeile.
    5. Du musst noch durch $2$ dividieren. Das siehst du in er der sechsten Zeile.
    6. Wieder fasst du die Terme zusammen und erhältst so die siebte Zeile.
    7. Diese Gleichung lässt dich nun die Lösung ablesen: $x = -1$.
    Du kannst in jeder Zeile der Umformung zur Probe $x=-1$ einsetzen. Du wirst sehen, dass dann immer auf beiden Seiten der Gleichung dieselbe Zahl steht.

    Fachlich ausgedrückt sagt man dann: Diese Lösung erfüllt jede der Gleichungen.

    Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L}=\{-1\}$.

  • Gib die verwendeten Äquivalenzumformungen an.

    Tipps

    Jeweils von einer Zeile zu einer anderen wird eine Äquivalenzumformung durchgeführt.

    • Addition bedeutet das Zufügen von etwas.
    • Subtraktion bedeutet das Abziehen von etwas.
    • Multiplikation bedeutet das Malnehmen.
    • Divsion bedeutet das Teilen.

    Die Säge deutet schon an, dass da ein Stück abgeschnitten, also weggenommen, wird.

    Lösung

    Die Säge deutet an, dass sowohl an dem oberen Zahlenstrahl, also $8$, als auch an dem unteren, also $x+3$, etwas abgeschnitten wird. Mathematisch bedeutet dies, dass auf beiden Seiten der Gleichung etwas abgezogen, also subtrahiert wird, nämlich die Zahl $3$.

    Hier siehst du nun die gesamte Rechnung. „$\text{T}$“ steht dabei für Termumformung.

    $\begin{array}{crclll} &x+3&=&8&|&-3\\ \Leftrightarrow&x+3-3&=&8-3&|&\text{T}\\ \Leftrightarrow&x&=&5 \end{array}$

    Durch die Äquivalenzumformungen

    • Subtraktion von $3$ und
    • einer Termumformung
    gelangst du schließlich zu der Lösung $x=5$.

  • Wende Äquivalenzumformungen an, um die Gleichung $2(x+1)-3x=-2x+4$ zu lösen.

    Tipps

    Hier siehst du das Distributivgesetz:

    $a(b+c)=ab+ac$.

    Hier siehst du ein Beispiel einer Termumformung.

    Aus dem Term $5x+6 -3x$ wird $2x+6$, da man die gleichartigen Terme $5x$ und $-3x$ zusammengefasst hat.

    Lösung

    Paul und Luke müssen gemeinsam die Gleichung $2(x+1)-3x=-2x+4$ lösen.

    1. Zuerst wenden sie das Distributivgesetz auf der linken Seite der Gleichung an. Dies ist eine Termumformung. Diese ergibt die Gleichung $2x+2-3x=-2x+4$.
    2. Nun fassen sie auf der linken Seite die Terme mit der Unbekannten zusammen. Diese Umformung ergibt $-x+2=2x+4$.
    3. Nun addieren sie auf beiden Seiten $2x$ und erhalten $x+2=4$.
    4. Zuletzt muss noch $2$ subtrahiert werden, um die Gleichung $x=2$ zu erhalten.
    Die Lösungsmenge ist also $\mathbb{L} = \{2\}$.

    Wir machen noch eine Probe:

    $2(2+1)-3\cdot 2=3\cdot 3-6=0=-2\cdot 2 +4$ ✓

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