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Äquivalenzumformungen - einfache Gleichungen 1 05:02 min

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Transkript Äquivalenzumformungen - einfache Gleichungen 1

Hallo, wenn Du weißt, was Gleichungen sind und auch weißt, was Äquivalenzumformungen sind, dann können wir jetzt mal ein paar Beispiele dazu durchrechnen. Das machen wir schön langsam, denn wir sind ja am Anfang des Themas. Und das auch ein guter Zeitpunkt, um sich mal zu überlegen, was genau wir da eigentlich machen und warum das funktioniert, was wir da machen. Hier ist eine Gleichung, nämlich x + 3 = 8. Und wir suchen jetzt eine einfachere Gleichung, die dieselbe Lösungsmenge hat. Und die finden wir, indem wir auf beiden Seiten minus drei rechnen. So kündigt man hier das an. Dann haben wir auf der linken Seite immer noch das x stehen. Drei können wir einfach abschreiben. Und minus drei haben wir gerechnet, kann ich so hinschreiben. Und auf der rechten Seite haben wir acht minus drei. Jetzt siehst Du ja direkt, dass +3-3=0 ist. Null brauchen wir nicht hinschreiben und deshalb steht auf der linken Seite einfach nur das x. Naja auf der rechten Seite haben wir acht minus drei. Das ist fünf. Und da können wir die fünf auch hinschreiben. Diesen Schritt hier wirst Du, wenn Du viele Gleichungen löst normalerweise weglassen, denn acht minus drei kannst Du auch so im Kopf rechnen. Das musst Du nicht nochmal hinschreiben. Du würdest dann gleich die fünf hinschreiben. Von dieser Gleichung können wir jetzt die Lösungsmenge direkt bestimmen. Wir sehen, nur dann, wenn wir für x fünf einsetzen, ist diese Gleichung richtig. Und somit haben wir dann auch unsere Lösungsmenge gefunden. Das ist wieder das „L“ mit dem Doppelstrich. Das ist die Mengenklammer. Da geht die auf. Und wir haben die Menge, die die fünf enthält. Das ist unsere Lösungsmenge. Ja und an dieser kleinen Aufgabe kann man schon sehen, das Lösen von Gleichungen hat nicht viel mit Rechnen zu tun. Also wir haben jetzt acht minus drei gerechnet. Ja, das musst Du nicht üben. Das kannst Du seit der ersten Klasse. Das hat auch nichts mit Mathematik zu tun. Mathematisch interessanter ist viel mehr, sich zu überlegen, warum das funktioniert, was wir da machen. Und das können wir uns jetzt mal überlegen. Wir stellen uns also die Frage: “Warum hat die Umformung der Gleichung die Lösungsmenge der Gleichung nicht geändert?” Wir haben hier die Zahlengerade. Da geht es in die positive Richtung weiter. Hier ist die Null. Dann brauchen wir diese acht. Die ist hier. Das ist die acht. Dann haben wir ein x. Das x soll jetzt so groß sein, dass, wenn wir noch drei addieren, wir dann bei acht ankommen. Jetzt haben wir hier eine Äquivalenzumformung gemacht. Wir haben nämlich auf beiden Seiten minus drei gerechnet. Das darf ich jetzt einfach mal hier rein schmieren. Da haben wir minus drei gerechnet. Dann war die drei also weg. Und hier haben wir auch minus drei gerechnet. Dann haben wir hier keine acht mehr gehabt, sondern die fünf. Dieses x erfüllt jetzt diese Gleichung, denn x ist jetzt hier gleich fünf. Und das ist dasselbe x, was auch diese Gleichung erfüllt, denn an diesem x hier haben wir nichts gemacht. Wir haben nur hier eine drei abgezogen auf beiden Seiten. Sonst haben wir nichts gemacht. Dieses x ist genau dasselbe, wie das was wir hier hatten, was hier auch die Gleichung erfüllt. So kann man also sehen, dass unsere Äquivalenzumformung die Lösungsmenge dieser Gleichung nicht geändert hat, denn diese Gleichung hier hat genau dieselbe Lösungsmenge, nämlich die Menge, die die Zahl fünf enthält. Ja, das ist also eine Möglichkeit sich zu überlegen, warum Äquivalenzumformungen funktionieren, warum also eine weitere Gleichung entsteht, die dieselbe Lösungsmenge hat. Ok, Du kannst es natürlich auch machen, wie die meisten Leute, also Aufgabe lösen und zur nächsten Aufgabe übergehen. Das ist auch völlig in Ordnung. Aber der mathematische Spaß fängt erst dann an, wenn man sich überlegt, welche Ideen dahinter stecken, was man da genau macht und warum das funktioniert. Ist zumindest meine Meinung. Ok, dann viel Spaß damit, wie auch immer. Tschüss.

8 Kommentare
  1. Default

    ich hab es einfach immer noch nicht verstanden

    Von Marlene H., vor etwa einem Monat
  2. Default

    Schön erklärt.

    Von Nalan Scheunemann, vor 6 Monaten
  3. Default

    Super Video !

    Von Leonard E., vor 8 Monaten
  4. 4

    @Feelya: Hallo Feelya,
    vielleicht schaust du dir zu dem Thema zusätzlich noch dieses Video an:
    https://www.sofatutor.com/mathematik/videos/gleichungen-mit-variablen-auf-beiden-seiten-loesen?topic=3041

    Hier gibt es natürlich auch wieder eine Übung. Ich hoffe das hilft dir weiter. Liebe Grüße aus der Redaktion.

    Von Julia S., vor etwa einem Jahr
  5. Default

    Ich saß drei Stunden an den Übungsaufgaben. Ich verstehe es immer noch nicht.

    Von Feelya, vor etwa einem Jahr
  1. Fohlen im loewenzahn 3a1110a7 3feb 44ae b5f0 5f6d41a8e3df

    könne sie mal ein Viedeo machen wo sie bei einer Gleichung die Probe dazu erklären?

    Von Emma T., vor mehr als einem Jahr
  2. Fohlen im loewenzahn 3a1110a7 3feb 44ae b5f0 5f6d41a8e3df

    gut erklärt

    Von Emma T., vor mehr als einem Jahr
  3. Default

    gut aber zu einfach

    Von Stier180, vor mehr als einem Jahr
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