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Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x) 10:18 min

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Transkript Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x)

Hallo, ich bin Anne. Und ich erkläre Dir heute wie man die Hyperbelfunktion ableitet. Dazu werden wir benutzen, wie man die Hyperbelfunktion über die e-Funktion definiert und sie dann mithilfe der Ketten-Regel und der Quotienten-Regel ableiten. Als erste Funktion haben wir den Cosinus Hyperbolikus gegeben. Da haben wir bereits kennengelernt, dass man den definiert wie die e-Funktion und zwar: (ex + e-x)/2. So, die Ableitung von f(x) ist dann - diese zwei im Nenner ist quasi nur so ein Vorfaktor und wir müssen überlegen, was ist die Ableitung von ex - ist wieder ex selbst. Und dann brauchen wir die Ableitung von e-x. Das macht man über die Kettenregel. Also wir haben eine äußere und innere Funktion gegeben. Dann ist die Ableitung von y gleich die Ableitung von der äußeren Funktion von der inneren Funktion mal der inneren Ableitung. Für unser Beispiel y = e-x ist jetzt die äußere Ableitung e-x und die innere Funktion ist -x, die Ableitung von -x ist -1, also multiplizieren wir damit und dann kommt man insgesamt auf -e-x. Das heißt wir haben (ex - e-x)/2. Und das ist ja genau die Definition des Sinus-Hyperbolikus von x. Also Sinus-Hyperbolikus von x. Das heißt, die Ableitung vom Cosinus-Hyperbolikus von x ist der Sinus-Hyperbolikus von x. Ja und jetzt machen wir das nochmal für den Sinus-Hyperbolikus. Also g(x) = Sinus-Hyperbolikus von x. Der ist definiert über (ex - e-x)/2. Wir leiten wieder ab. Ableitung von ex ist wieder ex, -e-x ist +e-x, wieder mit der Kettenregel, durch zwei. Und das ist jetzt wieder der Cosinus-Hyperbolikus von x. Und das bedeutet, dass die Ableitung von Sinus-Hyperbolikus von x gleich der Cosinus-Hyperbolikus von x ist. Ja, gleich werde ich Dir noch zeigen, wie man den Tangens-Hyperbolikus von x ableitet. Wir wollen jetzt noch die Ableitung vom Tangens-Hyperbolikus berechnen. Und der ist ja definiert über den Sinus-Hyperbolikus von x durch den Cosinus-Hyperbolikus von x. Das heißt, das ist ein Quotient und den müssen wir mit der Quotienten-Regel ableiten. Also wir haben diesen Aufbau u/v. Hier links haben wir nochmal die Quotienten-Regel. Und da wir jetzt die Ableitung vom Sinus-Hyperbolikus und vom Cosinus-Hyperbolikus brauchen, stehen die hier auch nochmal dran. Also, wir berechnen jetzt die Ableitung von h(x). Dann geht es los mit u’v. Also die Ableitung vom Sinus-Hyperbolikus ist der Cosinus-Hyperbolikus von x * v. Das ist wieder der Cosinus-Hyperbolikus von x - uv’. u ist der Sinus-Hyperbolikus von x. Und v’, die Ableitung vom Cosinus-Hyperbolikus, ist auch wieder der Sinus-Hyperbolikus von x durch das Quadrat des Nenners. Also (Cosinus-Hyperbolikus von x)². Jetzt können wir das noch einmal ein bisschen kürzer hinschreiben. Cosinus-Hyperbolikus * Cosinus-Hyperbolikus ist natürlich (Cosinus-Hyperbolikus x)² - (Sinus-Hyperbolikus von x)². Und der Nenner bleibt stehen mit (Cosinus-Hyperbolikus von x)². Jetzt kann man das kürzen, weil hier jeweils (Cosinus-Hyperbolikus)² steht, ist das 1 - (Sinus-Hyperbolikus / Cosinus-Hyperbolikus) ist ja der Tangens-Hyperbolikus, also ist das - (Tangenz-Hyperbolikus von x)². Jetzt kann man noch einmal überlegen, ob man diesen Zähler anders zusammenfassen kann, also ob es quasi für diesen Bruch noch eine andere Darstellung gibt. Und dafür machen wir jetzt eine Nebenrechnung, wo wir diesen Zähler nochmal berechnen wollen. Also (Cosinus-Hyperbolikus)² - (Sinus-Hyperbolikus)². Und das ist jetzt die Idee, ich setze jeweils die Definition über die e-Funktion ein und rechne dann mal aus und gucke, was dann raus kommt. Also der Cosinus-Hyperbolikus war ja ((ex + e-x)/2)² - der Sinus-Hyperbolikus war ((ex - e-x)/2)². Ja, jetzt quadrieren wir diese Brüche. Für den Zähler brauchen wir dann die binomische Formel. Also brauchen wir (ex)². Da multiplizieren sich die Exponenten. Also kommt man auf e2x. Dann brauche ich 2 * ex * e-x. Hier addieren sich die Exponenten. Also x - x = 0, e0 = 1, also steht dann da 2. Und dann braucht man noch e-x². Da multiplizieren sich die Exponenten wieder. Also haben wir e-2x. Und das Ganze durch 4. Minus, jetzt für den zweiten Bruch ist das im Prinzip ist Gleiche, nur, dass wir hier jetzt das Minus haben. Also (e2x - 2 + e-2x)/4. Jetzt bilde ich einen gemeinsamen Nenner. e2x + 2 + e-2x. Dann drehen sich hier diese Vorzeichen um. Also habe jetzt hier - e2x + 2 - e-2x und das Ganze durch 4. Und jetzt kann man kürzen, also, zusammenfassen den Zähler: e2x geht weg mit -e2x und e-2x - e-2x. Dann haben wir nur noch 2 + 2 oben stehen im Zähler. Das ist 4/4 und das ist 1. Jetzt kann ich also diesen Bruch umschreiben in 1 / (Cosinus-Hyperbolikus von x)². Ja, zum Schluss möchte ich nochmal zusammenfassen, was Du heute gelernt hast: Wir haben die Ableitungen der Hyperbelfunktionen gebildet und zwar über die Definition der e-Funktion. Und da haben wir erst rausgekriegt, dass die Ableitung vom Cosinus-Hyperbolikus der Sinus-Hyperbolikus ist und die Ableitung vom Sinus-Hyperbolikus ist der Cosinus-Hyperbolikus. Die Ableitung vom Tangens-Hyperbolikus haben wir gebildet, in dem wir diesen Quotienten Sinus-Hyperbolikus / Cosinus-Hyperbolikus uns angeguckt haben. Und zum Schluss haben wir nochmal so eine Nebenrechnung gemacht, um diesen Zähler noch einmal zu vereinfachen. Ja, ich hoffe Du hast alles verstanden und hattest auch ein bisschen Spaß dabei. Bis zum nächsten Video. Deine Anne.

Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x) Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Ableitungen der Hyperbelfunktionen sinh(x), cosh(x) und tanh(x) kannst du es wiederholen und üben.

  • Gib die Definitionen von $\cosh(x)$, $\sinh(x)$ sowie $\tanh(x)$ an.

    Tipps

    Die hyperbolischen Funktionen hängen eng mit den trigonometrischen Funktionen zusammen, wie du an den Bezeichnungen schon erkennen kannst.

    Lösung

    Der Name der Hyperbelfunktionen kommt daher, dass sie zur Parametrisierung der

    Hyperbel $x^{2}-y^{2}=1$

    verwendet werden können.

    Die trigonometrischen Funktionen werden zur Parametrisierung des Kreises $x^{2}+y^{2}=1$ verwendet. Es gibt einen Zusammenhang zwischen diesen Funktionen. Sehr deutlich wird dies in der Definition des Tangens

    $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$

    beziehungsweise des Tangens hyperbolicus

    $\tanh(x)=\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}$.

    Der Sinus hyperbolicus sowie der Kosinus hyperbolicus lassen sich über Taylorreihen entwickeln. Dadurch gelangt man zu

    $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$

    sowie

    $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$.

  • Beschreibe, warum $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$ ist.

    Tipps

    Verwende die binomischen Formeln

    1. $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$
    2. $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$

    $a=e^x$ und $b=e^{-x}$.

    Es ist $(e^x)^2=e^2x$ und $(e^{-x})^2=e^{-2x}$.

    Beachte, dass $e^x~e^{-x}=e^{x-x}=e^0=1$ ist.

    Lösung

    Mit Hilfe dieser Definitionen und den binomischen Formeln:

    $\begin{array}{rcl} \sinh(x) & = &\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\\\ \cosh(x)& = &\frac{e^x+e^{-x}}{2} \end{array}$

    kann die jeweilige hyperbolische Funktion quadriert werden:

    $\begin{align} (\cosh(x))^2 & =\frac14(e^x+e^{-x})^2\\ & =\frac14(e^{2x}+2~e^x~e^{-x}+e^{-2x}) \end{align}$

    Es ist $e^x~e^{-x}=e^0=1$. Damit ist

    $(\cosh(x))^2=\frac{e^{2x}+2+e^{-2x}}4$

    Ebenso kann das folgende Quadrat berechnet werden

    $\begin{align} (\sinh(x))^2 & =\frac14(e^x-e^{-x})^2\\ & =\frac14(e^{2x}-2~e^x~e^{-x}+e^{-2x}) \end{align}$

    Auch hier ist $e^x~e^{-x}=e^0=1$ und somit

    $(\sinh(x))^2=\frac{e^{2x}-2+e^{-2x}}4$.

    Zuletzt werden die beiden Quadrate addiert:

    $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=\frac14\left(e^{2x}+2+e^{-2x}-(e^{2x}-2+e^{-2x})\right)$.

    Das Minuszeichen vor der Klammer kehrt in der Klammer die Vorzeichen um:

    $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=\frac14\left(e^{2x}+2+e^{-2x}-e^{2x}+2-e^{-2x}\right)=\frac14 ~4=1$.

    Das war's!

  • Bestimme die Ableitung der Funktion $f(x)=\tanh(x)$

    Tipps

    Die Quotientenregel ist hier abgebildet.

    Verwende zur Ableitung vom Sinus hyperbolicus oder Kosinus hyperbolicus die foglenden Definitionen:

    • $\sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}2$
    • $\cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}2$

    Beachte die folgenden beiden Ableitungsregeln für die Exponentialfunktion:

    • Die Ableitung von $e^x$ ist $e^x$.
    • Die Ableitung von $e^{-x}$ ist $-e^{-x}$.
    Lösung

    Um den Tangens hyperbolicus abzuleiten verwendet man

    • die nebenstehende Definition sowie
    • die Quotientenregel.
    Diese lautet in der Kurzschreibweise

    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'~v-u~v'}{v^2}$.

    Es werden also die Ableitungen sowohl vom Sinus hyperbolicus als auch vom Kosinus hyperbolicus benötigt:

    • $(\sinh(x))'=\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}=\cosh(x)$
    • $(\cosh(x))'=\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}=\sinh(x)$
    Diese Ableitungen können nun in die Quotientenregel eingesetzt werden und man erhält:

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{\sinh(x)}{\cosh(x)}\right)'&=&\frac{(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2}{(\cosh(x))^2}\\ &=&1-\frac{(\sinh(x))^2}{(\cosh(x))^2}\\ &=&1-(\tanh(x))^2 \end{array}$

  • Leite den Kotangens hyperbolicus $\coth(x)=\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}$ einmal ab.

    Tipps

    Es ist

    • $(\sinh(x))'=\cosh(x)$
    • $(\cosh(x))'=\sinh(x)$.

    Verwende die hier abgebildete Quotientenregel.

    Du könntest auch mit der Kettenregel

    $\coth(x)=(\tanh(x))^{-1}$

    ableiten.

    Es ist $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$.

    Es sind zwei mögliche Umformungen der ersten Ableitung angegeben.

    Lösung

    Um den Kotangens hyperbolicus abzuleiten verwendet man

    • die nebenstehende Definition sowie
    • die Quotientenregel.
    Diese lautet in der Kurzschreibweise

    $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'~v-u~v'}{v^2}$.

    Ebenso verwenden wir

    $\begin{align} (\sinh(x))'& =\left(\frac{e^x-e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x+e^{-x}}{2}\\ & =\cosh(x) \end{align}$

    und

    $\begin{align} (\cosh(x))' & =\left(\frac{e^x+e^{-x}}{2}\right)'=\frac{e^x-e^{-x}}{2}\\ & =\sinh(x) \end{align}$

    Diese Ableitungen können nun in die Quotientenregel eingesetzt werden und man erhält:

    $\begin{array}{rcl} \left(\frac{\cosh(x)}{\sinh(x)}\right)'&=&\frac{(\sinh(x))^2-(\cosh(x))^2}{(\sinh(x))^2}\\ &=&1-\frac{(\cosh(x))^2}{(\sinh(x))^2}\\ &=&1-(\coth(x))^2 \end{array}$

    Da $(\cosh(x))^2-(\sinh(x))^2=1$ ist, ist $(\sinh(x))^2-(\cosh(x))^2=-1$.

    Damit kann die Ableitung auch wie folgt geschrieben werden:

    $(\coth(x))'=-\frac{1}{(\sinh(x))^2}$.

  • Leite die Funktion einmal ab.

    Tipps

    Beachte

    • $(\sinh(x))'=\cosh(x)$ sowie
    • $(\cosh(x))'=\sinh(x)$.

    Verwende die Kettenregel:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Bei $\sinh(x^2)$ ist $x^2$ die innere Funktion und bei $(\sinh(x))^2$ ist dies $\sinh(x)$.

    Lösung

    Im Folgenden sollen verkettete Funktionen abgeleitet werden. Dafür wird die Kettenregel verwendet:

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Dabei muss immer zunächst entschieden werden, welche Funktion die innere und welche die äußere Funktion ist.

    Schauen wir uns zunächst $f(x)=(\sinh(x))^2$ genauer an:

    $f'(x)=2\sinh(x)\cosh(x)$

    Dabei kommen die Faktoren $2$ sowie $\sinh(x)$ von der Ableitung der äußeren $(~~~)^2$ an der inneren Funktion. $\cosh(x)$ ist die Ableitung der inneren Funktion.

    Nun werfen wir einen Blick auf $g(x)=-(\cosh(x))^2$:

    $g'(x)=-2\cosh(x)\sinh(x)$

    Dabei kommen die Faktoren $2$ sowie $\cosh(x)$ von der Ableitung der äußeren $(~~~)^2$ an der inneren Funktion. $\sinh(x)$ ist die Ableitung der inneren Funktion. Das Vorzeichen bleibt als Faktor stehen.

    Untersuchen wir nun $h(x)=\sinh(x^2)$:

    $h'(x)=2\cosh(x^2)x$

    $\cosh(x^2)$ ist die Ableitung der äußeren Funktion ($\sinh(x)$) an der inneren Funktion ($x^2$) und $2x$ ist die Ableitung der inneren Funktion.

    Zuletzt schauen wir uns $k(x)=\cosh(x^2)$ genauer an:

    $k'(x)=2\sinh(x^2)x$

    $\sinh(x^2)$ ist die Ableitung der äußeren Funktion ($\cosh(x)$) an der inneren Funktion ($x^2$) und $2x$ ist die Ableitung der inneren Funktion.

  • Bestimme die zweite Ableitung von $\tanh(x)$.

    Tipps

    Betrachte die folgende Funktion $f(x)=x^3$

    Es ist

    • $f'(x)=3x^2$ und
    • $f''(x)=6x$.

    Beachte, dass bei $(\tanh(x))^2$

    • der Tangens hyperbolicus die innere und
    • hoch $2$ die äußere Funktion ist.

    Die Kettenregel lautet

    $(f(g(x)))'=f'(g(x))\cdot g'(x)$.

    Lösung

    Die zweite Ableitung einer Funktion ist die Ableitung der ersten Ableitung. Das bedeutet, dass $1-(\tanh(x))^2$ nochmals abgeleitet werden muss. Es ist also

    $(\tanh(x))''=(1-(\tanh(x))^2)'$.

    Die Konstante $1$ wird abgeleitet zu $0$ und dann ist

    $\begin{align} (\tanh(x))'' & =(-(\tanh(x))^2)'\\ & =-2~\tanh(x)~(\tanh(x))' \end{align}$.

    Hier wird die Kettenregel verwendet.

    Zuletzt kann noch die bereits bekannte Ableitung des Tangens hyperbolicus eingesetzt sowie ausmultipliziert werden:

    $\begin{array}{rcl} (\tanh(x))''&=&-2~\tanh(x)~(\tanh(x))'\\ &=&-2~\tanh(x)(1-(\tanh(x))^2)\\ &=&-2\tanh(x)+2(\tanh(x))^3 \end{array}$