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Ableitungen der Grundfunktionen

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Steve Taube
Ableitungen der Grundfunktionen
lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse - 13. Klasse

Beschreibung Ableitungen der Grundfunktionen

Nachdem du bereits den Differenzialquotienten kennen gelernt hast, möchte ich dir nun eine Übersicht über die Ableitungen einiger Grundfunktionen geben. Bei einigen werde ich die Ableitung mit dem Differentialquotienten herleiten, bei anderen werde ich nur die Regel angegeben. Falls dir der Differentialquotienten also kein Begriff ist, dann schaue dir noch schnell ein Video zu ihm an. Teilweise wird die Ableitung dann noch am Graphen der Funktion veranschaulicht. Es werden konstante, ganzrationale und Wurzelfunktionen behandelt sowie 1/x, die Betragsfunktion, sin(x) und cos(x).

Transkript Ableitungen der Grundfunktionen

In diesem Video wollen wir die Ableitungen einiger Grundfunktionen kennenlernen. Nach dem wir also nun den Differentialquotienten kennengelernt haben, möchte ich den bei einigen dieser Funktionen nutzen, um die Ableitung auszurechnen, bei anderen möchte ich die Ableitung einfach nur angeben. Nehmen wir zu erst einmal eine konstante Funktion f(x)=k. Der Funktionswert ist immer k, egal was wir einsetzen. So entsteht also im Zähler k-k, also 0. Also lim 0 von h->0 und das ist 0. f'(x) ist also 0 und wenn man sich den Graphen anguckt, ist das auch plausibel, denn so eine waagerechte Gerade hat ja wirklich überall die Steigung 0. Kommen wir jetzt zur Funktion f(x)=x. Da entsprechen also die Funktionswerte gleich den Argumenten. Wir schreiben also x0+h-x0, da fällt das x nur weg und h/h ergibt 1. Also ist der Grenzwert 1. f'(x) ist also 1 und auch hier verdeutlicht das der Graph noch mal, denn diese Gerade hat ja überall die Steigung 1. Als Nächstes betrachten wir eine Potenzfunktion, mit einem natürlichen Exponenten. Wir schreiben uns xn hin, die Ableitung ist wieder eine Potenz, und zwar kommt die Hochzahl als Faktor nach vorne und die neue Hochzahl ist um 1 kleiner als die Alte. Also, f'(x)=n×xn-1, Bruchzahl nah vorne und neue Hochzahl eins kleiner. Nehmen wir zum Beispiel f(x)=x2, dann kommt die 2, die Hochzahl, nach vorne und wird um 1 kleiner, also haben wir 2×x1, also 2x und das war ja auch das, was wir beim Differentialquotienten als Ableitung für x2 rausbekommen haben. Die Funktion f(x)=1/x möchte ich wieder mit dem Differentialquotienten herleiten. Da haben wir also, (1/x0+h)-1/x0. Den Zähler bringe ich auf den Hauptnenner (x0+h)×x0. Dann bleibt im Zähler des Zählers nur -h übrig und das kürzt sich, mit dem h aus dem Nenner, zu -1/(x0+h)×x0. Für h->0 geht das dann gegen -1/(x0)2, also ist f '(x)=-1/x2. Die Funktion f(x)=/sqrt(x) hat die Ableitung, f '(x)=1/2×/sqrt(x). /sqrt(x) kann man ja auch schreiben als x^½ und da könnten wir ja mal überprüfen, ob das Ableitungsgesetz, was wir eben für Potenzen hatten, auch für x^½ gilt. Schreiben wir also ½ nach vorne und machen die Hochzahl um 1 kleiner. Das können wir dann schreiben als (½×1)/x^½ und x^½ ist ja wieder /sqrt(x). Also kriegen wir mit der Potenzregel tatsächlich das gleiche Ergebnis. Nun zur Funktion f(x)=lxl. Die kann man ja so aufschreiben, indem man eine Fallunterscheidung macht. Das ist also x, wenn x>0 ist, 0, falls x=0 ist und (-x), falls x negativ ist. Und dann können wir jeden Fall einzeln ableiten. x ergibt 1, das hatten wir schon. -x hat als Ableitung -1, das verrate ich jetzt schon einmal. Aber was ist an der Stelle 0? Denn wenn die Steigung rechts von 0 immer 1 ist und links von 0 immer -1, wie soll denn dann die Tangente an der Stelle 0 aussehen? Die existiert nicht, denn die Steigung müsste ja ganz schnell von -1 nach 1 switchen. Das geht nicht! An der Stelle 0 hat die Betragsfunktion also keine Ableitung. Wie kann ma das denn nun am Differentialquotienten sehen? Wenn ich den an der Stelle 0 ausrechnen will, habe ich also l(0+h)l-l0l. Das vereinfacht sich also zu lhl/h und das ist immer 1, wenn h sich von oben gegen 0 nähert und -1, wenn h von unten gegen 0 geht. Das heißt, der Grenzwert ist nicht eindeutig und existiert somit gar nicht. Gut, kommen wir zum Schluss noch zu den trigonometrischen Funktionen. Die Ableitung von sin x ist cos x und die Ableitung von cos x ist -sin x. Vergesst das Minus nicht, da sind schon ganz, ganz viele durcheinander gekommen! Jetzt fassen wir noch einmal alles zusammen. Konstante Funktionen haben 0 als Ableitung, x hat als Ableitung die konstante Funktion 1, bei xn ist es n×xn-1, bei 1/x ist es -(1/x2), bei /sqrt(x) ist es 1/2×/sqrt(x), die  Betragsfunktion hat keine Ableitung an der Stelle 0, die Ableitung 1 für x>0 und -1 für x

8 Kommentare

8 Kommentare
  1. Hallo Jacqueline,
    du meinst wahrscheinlich: "Wie leitet man ab, wenn Potenzen im NENNER sind (also unter dem Bruchstrich)?"
    Diese Potenzen kann man als Potenzen ohne Bruch schreiben, dafür mit negativem Exponenten, also z.B.: 1/x = x hoch (-1) oder 1/x² = x hoch (-2).
    Nun kann man die normale Potenzregel anwenden, also: f(x) = 1/x² = x hoch (-2)
    f'(x) = -2 * x hoch (-3), das kann man dann wieder umformen zu -2 * 1/x³ bzw. -2/x³.
    Bei Potenzen im Nenner kannst du immer so verfahren.

    Viel Erfolg! Steve

    Von Steve Taube, vor mehr als 3 Jahren
  2. Wenn die Ableitung von 1/x gleich -1/xhoch2 ist , wie leitet man dann ab , wenn Potenzen im Zähler sind , wie zB bei 1/xhoch2 oder hoch5 ?

    Von Jacqueline Siemann , vor mehr als 3 Jahren
  3. So erklärt man Ableitungen!!

    Von Max P., vor fast 8 Jahren
  4. Gute erklärt, danke!

    Von K Adnan, vor fast 11 Jahren
  5. Schreibe x²/2 als "1/2 mal x²", also die Hälfte von x². Dann ist die Ableitung auch die Hälfte von der Ableitung von x², also 1/2 mal 2x, also einfach x. Schau dir dazu das Video unter folgendem Link an.
    http://www.sofatutor.com/mathematik/videos/ableitung-von-summen-und-vielfachen

    Von Steve Taube, vor mehr als 11 Jahren
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