Bruchgleichungen lösen – Überblick

Bruchgleichungen lösen – Überblick Übung

• Beschreibe, wie du beim Lösen einer Bruchgleichung mittels der Hauptnenner-Methode vorgehst.

  Tipps

  Wenn du eine Bruchgleichung lösen möchtest, indem du alle Bruchterme auf einen gemeinsamen Nenner bringst, dann musst du die Bruchgleichung zunächst so umstellen, dass auf einer Seite der Gleichung eine $\mathbf{0}$ steht.

  Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $ \begin{array}{lllll} \frac{10}{x} &=& \frac{8}{x-1} && \vert - \frac{8}{x-1} \\ \frac{10}{x}-\frac{8}{x-1} &=& 0 && \vert\ \text{Hauptnenner} \\ \frac{10\cdot (x-1)}{x\cdot (x-1)}-\frac{8\cdot x}{(x-1)\cdot x} &=& 0 && \vert\ \text{vereinfachen}\\ \frac{2x-10}{x(x-1)} &=& 0 && \end{array} $

  Ein Bruch der Form $\frac{2x-10}{x(x-1)}$ ist genau dann null, wenn sein Zähler gleich null ist:

  $ \begin{array}{lllll} 2x-10 &=& 0 && \vert +10 \\ 2x &=& 10 && \vert :2 \\ x &=& 5 && \end{array} $

  Lösung

  Wenn in einer Gleichung eine Variable im Nenner eines Bruchs vorkommt, nennt man diese Gleichung Bruchgleichung. In dieser Aufgabe ist uns die Bruchgleichung $\frac {10}{x} = \frac {8}{x-2}$ gegeben. Diese möchten wir mit der Hauptnenner-Methode lösen.

  Beim Lösen einer Bruchgleichung spielen einige Mengen eine wichtige Rolle. Die Menge aller Zahlen, die uns überhaupt zur Verfügung stehen, nennen wir die Grundmenge. Diese bekommst du meistens in der Aufgabe vorgegeben. Hier verwenden wir die rationalen Zahlen $\mathbb{Q}$. Aber nicht alle Zahlen aus der Grundmenge dürfen auch in die Gleichung eingesetzt werden. Daher gehen wir beim Lösen der Bruchgleichung wie folgt vor:

  Welche Werte aus der Grundmenge lassen einen Nenner gleich $0$ werden? Mit dieser Frage legen wir zunächst die Definitionsmenge fest. Hierzu bestimmen wir alle diejenigen Werte, für welche je einer der beiden Nenner gleich null ist. Wir erhalten dann $\mathbb D = \mathbb Q \setminus \{0;2\}$. Alle anderen Zahlen aus der Grundmenge darfst du problemlos in die Gleichung einsetzen.

  Nun stellen wir die Bruchgleichung durch Äquivalenzumformungen so um, dass auf einer Seite der Gleichung eine $\mathbf{0}$ steht, und erhalten $\frac {10}x-\frac{8}{x-2}=0$.

  Dann bringen wir die Brüche auf ihren Hauptnenner, indem wir jeden Bruchterm mit dem Nenner des jeweils anderen erweitern. Wir erhalten $\frac {10 \cdot (x-2)}{x \cdot (x-2)} - \frac {8 \cdot x}{x \cdot (x-2)} = 0$.

  Anschließend können wir die Brüche zusammenfassen, die Klammern im Zähler ausmultiplizieren und den Zähler vereinfachen. So erhalten wir die Bruchgleichung $\frac{2 \cdot x-20}{x \cdot (x-2)}=0$.

  Ein Bruch ist genau dann gleich $\mathbf{0}$, wenn sein Zähler $\mathbf{0}$ ist. Wir rechnen also $2\cdot x-20=0$ und erhalten $x=10$.

  Ist die $10$ in unserer Definitionsmenge enthalten? Ja, denn die $10$ ist weder $0$ noch $2$. Unsere Lösungsmenge ist also $\mathbb L = \{10\}$.

• Bestimme die jeweilige zum Lösen der Bruchgleichung verwendete Methode.

  Tipps

  Zum Addieren oder Subtrahieren zweier Brüche müssen diese zunächst auf den gemeinsamen Hauptnenner erweitert werden.

  Im Folgenden siehst du eine Multiplikation über Kreuz:

  $\begin{array}{lll} \frac 1x &=& \frac 15 \\ 1\cdot 5 &=& 1\cdot x \end{array} $

  Der Kehrwert eines Bruchs $\frac ab$ entspricht $\frac ba$.

  Lösung

  Die vom Mixer kreierte Bruchgleichung $\frac {10}{x} = \frac {8}{x-2}$ kann mit den folgenden Methoden gelöst werden:

  • Erweiterung auf den Hauptnenner
  • Multiplikation über Kreuz
  • Kehrwertbildung

  In dieser Aufgabe wurde diese Bruchgleichung dreimal mit je einer der oben aufgeführten Methoden gelöst. Gemeinsam werden wir nun diese Rechnungen bezüglich der angewendeten Methode untersuchen:

  Rechnung 1

  $ \begin{array}{lll} \frac {10}{x} &=& \frac {8}{x-2} \\ 10(x-2) &=& 8x \\ 2x &=& 20 \\ x &=& 10 \end{array} $

  In dieser Rechnung erkennen wir gleich im ersten Rechenschritt, dass über Kreuz multipliziert wurde, um die Bruchterme aufzulösen. Es wurde hier also die Methode der Multiplikation über Kreuz genutzt.

  Rechnung 2

  $ \begin{array}{lll} \frac {10}{x} &=& \frac {8}{x-2} \\ \frac {10}{x}-\frac {8}{x-2} &=& 0 \\ \frac {10(x-2)-8x}{x(x-2)} &=& 0 \\ 2x-20 &=& 0 \\ 2x &=& 20 \\ x &=& 10 \end{array} $

  Hier wird im ersten Rechenschritt die Bruchgleichung so umgeformt, dass auf der rechten Seite der Gleichung eine Null steht. Die Form der Gleichung erinnert uns gleich an die Methode des Hauptnenners. Im zweiten Rechenschritt sehen wir dann auch bereits, dass die Methode der Erweiterung auf den Hauptnenner angewendet wurde.

  Rechnung 3

  $ \begin{array}{lll} \frac {10}{x} &=& \frac {8}{x-2} \\ \frac {x}{10} &=& \frac {x-2}{8} \\ \frac 1{10}x &=& \frac 18(x-2) \\ \frac 1{10}x-\frac 18x &=& -\frac 14 \\ -\frac 1{40}x &=& -\frac 14 \\ x &=& 10 \end{array} $

  Gleich im ersten Rechenschritt erkennen wir die Methode der Kehrwertbildung. Dadurch steht die Variable der Gleichung nicht mehr im Nenner und die resultierende Gleichung kann durch Äquivalenzumformungen gelöst werden.

• Ermittle die Definitionsmenge der gegebenen Bruchgleichungen.

  Tipps

  Die Definitionsmengen der gegebenen Bruchgleichungen werden durch die Nullstellen der Nenner eingeschränkt.

  Die Nullstelle eines Nenners erhältst du, indem du den Nennerterm gleich null setzt. Schaue dir folgendes Beispiel an:

  $\frac{1}{x-1}=\frac{2}{3x-7}$

  Nullstellen der Nennerterme:

  • $x-1=0~\rightarrow~x=1$
  • $3x-7=0~\rightarrow~x=\frac 73$

  Lösung

  Nicht immer dürfen alle Zahlen aus der Grundmenge in eine Gleichung eingesetzt werden. Für welche Zahlen eine Gleichung nicht definiert ist, gibt die Definitionsmenge dieser Gleichung an. Diese schließt nämlich alle diejenigen Zahlen aus der Grundmenge aus, welche die Variable der Gleichung nicht annehmen darf.

  Die Definitionsmengen der gegebenen Bruchgleichungen werden durch die Nullstellen der Nenner eingeschränkt. $x$ darf nämlich keinen Wert annehmen, für den der Nenner null wird, denn dann würdest du durch $0$ teilen und das geht bekanntlich nicht!

  Die Nullstelle eines Nenners erhalten wir, indem wir den Nennerterm gleich null setzen. Also berechnen wir im Folgenden diese Nullstellen:

  Beispiel 1: $\frac{10}{x}=\frac{8}{x-1}$

  • $x=0$
  • $x-1=0~\rightarrow~x=1$

  Die Definitionsmenge lautet somit $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ 1\}$.

  Beispiel 2: $\frac {3}x-\frac {1}{x-4}=0$

  • $x=0$
  • $x-4=0~\rightarrow~x=4$

  Die Definitionsmenge lautet somit $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ 4\}$.

  Beispiel 3: $\frac{9}{x+2}=\frac{7}{x}$

  • $x+2=0~\rightarrow~x=-2$
  • $x=0$

  Die Definitionsmenge lautet somit $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ -2\}$.

  Beispiel 4: $\frac{21}{2x-3}=\frac{15}{x}$

  • $2x-3=0~\rightarrow~x=\frac 32=1,5$
  • $x=0$

  Die Definitionsmenge lautet somit $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ 1,5\}$.

• Bestimme die Lösungsmenge der gegebenen Bruchgleichungen.

  Tipps

  Vier der fünf Bruchgleichungen lassen sich mittels der Methode der Über-Kreuz-Multiplikation lösen.

  Hierzu multiplizierst du den Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs und dann den Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs. Anschließend stellst du die Gleichung wieder mittels Äquivalenzumformungen um.

  Haben beide Bruchterme einer Bruchgleichung bereits denselben Nenner, so kannst du die Gleichung per Äquivalenzumformung nach der Variablen auflösen.

  Du musst die Definitionsmengen der Bruchgleichungen beachten: Ist ein Wert in der Definitionsmenge nicht enthalten, so kann dieser nicht die Lösung der Gleichung sein.

  Nimm dir Stift und Zettel zur Hilfe. Handschriftlich klappt diese Aufgabe noch besser!

  Lösung

  Beim Lösen der Bruchgleichungen gehen wir wie folgt vor:

  1. Definitionsmenge bestimmen
  2. Bruchgleichung mittels einer der drei Methoden lösen
  3. Überprüfung, ob Lösung in der Definitionsmenge enthalten ist
  4. Lösungsmenge angeben

  Nun führen wir diese Schritte an unseren fünf Beispielen aus:

  Beispiel 1: $\frac{10}{x}=\frac{8}{x-1}$

  • $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ 1\}$
  • Lösung der Gleichung mittels Methode der Über-Kreuz-Multiplikation:

  $ \begin{array}{llll} & \frac{10}{x} &=& \frac{8}{x-1} \\ & 10(x-1) &=& 8x \\ & 10x-10 &=& 8x \\ & 2x &=& 10 \\ & x &=& 5 \end{array} $

  Diese Lösung ist in der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthalten.
  Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{5\}$.

  Beispiel 2: $\frac {3}x-\frac {1}{x-4}=0$

  • $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ 4\}$
  • Gleichung umstellen und dann mittels Methode der Über-Kreuz-Multiplikation lösen:

  $ \begin{array}{llll} & \frac {3}x-\frac {1}{x-4} &=& 0\\ & \frac {3}x &=& \frac {1}{x-4} \\ & 3(x-4) &=& x \\ & 3x-12 &=& x \\ & 2x &=& 12 \\ & x &=& 6 \end{array} $

  Diese Lösung ist in der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthalten.
  Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{6\}$.

  Beispiel 3: $\frac{9}{x+2}=\frac{7}{x}$

  • $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ -2\}$
  • Gleichung mittels Methode der Über-Kreuz-Multiplikation lösen:

  $ \begin{array}{llll} & \frac{9}{x+2} &=& \frac{7}{x}\\ & 9x &=& 7(x+2) \\ & 9x &=& 7x+14 \\ & 2x &=& 14 \\ & x &=& 7 \end{array} $

  Diese Lösung ist in der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthalten.
  Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{7\}$.

  Beispiel 4: $\frac{21}{2x-3}=\frac{15}{x}$

  • $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{0;\ 1,5\}$
  • Gleichung mittels Methode der Über-Kreuz-Multiplikation lösen:

  $ \begin{array}{llll} & \frac{21}{2x-3} &=& \frac{15}{x}\\ & 21x &=& 15(2x-3) \\ & 21x &=& 30x-45 \\ & 45 &=& 9x \\ & 5 &=& x \end{array} $

  Diese Lösung ist in der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthalten.
  Die Lösungsmenge lautet $\mathbb{L}=\{5\}$.

  Beispiel 5: $\frac 4{x-2}=\frac{2x}{x-2}$

  • $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{2\}$
  • Äquivalenzumformung anwenden, da diese Bruchterme bereits einen gemeinsamen Hauptnenner haben:

  $ \begin{array}{llll} & \frac 4{x-2}=\frac{2x}{x-2}\\ & \frac{4-2x}{x-2} &=& 0 \\ & 4-2x &=& 0\\ & 4 &=& 2x \\ & 2 &=& x \end{array} $

  Diese Lösung ist nicht in der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthalten.
  Die Lösungsmenge ist somit leer. Wir schreiben $\mathbb{L}=\{\ \}$.

• Gib an, welche Bruchgleichungen im nächsten Schritt mit der Über-Kreuz-Multiplikation gelöst werden können.

  Tipps

  Bei der Methode der Multiplikation über Kreuz wird der Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multipliziert und dann wird der Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs multipliziert.

  Diese Methode bietet sich besonders dann an, wenn auf beiden Seiten der Bruchgleichung je ein Bruchterm vorhanden ist.

  Hier siehst du Bruchgleichungen, welche im nächsten Rechenschritt noch nicht per Methode der Über-Kreuz-Multiplikation gelöst werden können:

  • $\frac{10}{x}-\frac{8}{x-1}=0$ und
  • $\frac{9}{x}=\frac{22}{x+8}+1$.

  Lösung

  Bei der Methode der Über-Kreuz-Multiplikation wird der Zähler des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs multipliziert und dann wird der Zähler des zweiten Bruchs mit dem Nenner des ersten Bruchs multipliziert. Anschließend wird die resultierende Gleichung mittels Äquivalenzumformungen umgestellt und so nach $x$ aufgelöst.

  Diese Methode bietet sich besonders dann an, wenn auf beiden Seiten der Bruchgleichung je ein Bruchterm vorhanden ist. Bei welchen Gleichungen diese Bedingung erfüllt ist, überprüfen wir nun gemeinsam:

  Gleichung 1

  $\frac{10}{x}=\frac{8}{x-1}$

  Diese Bruchgleichung hat auf beiden Seiten je einen Bruchterm und kann somit im nächsten Rechenschritt per Multiplikation über Kreuz gelöst werden.

  Gleichung 2

  $\frac{5}{x-1}=\frac{12}{x+2}-\frac{3}{x-7}$

  Diese Bruchgleichung hat auf der linken Seite einen Bruchterm. Allerdings können wir auf der rechten Seite zwei weitere Bruchterme feststellen. Somit kann diese Gleichung im nächsten Rechenschritt nicht mithilfe der Über-Kreuz-Multiplikation gelöst werden.

  Gleichung 3

  $\frac {12}x-\frac {1}{x-4}=0$

  Auch hier sehen wir auf einer Seite der Bruchgleichung zwei Bruchterme. Auf der anderen Seite steht eine $0$. Diese Bruchgleichung kann somit nicht im nächsten Rechenschritt per Über-Kreuz-Multiplikation gelöst werden. Man könnte sie im ersten Rechenschritt allerdings per Äquivalenzumformung so umstellen, dass die Über-Kreuz-Multiplikation im zweiten Rechenschritt angewendet werden kann.

  Gleichung 4

  $\frac{9}{x+2}=\frac{7}{x}$

  Diese Bruchgleichung hat wieder auf beiden Seiten je einen Bruchterm und kann somit im nächsten Rechenschritt mittels Über-Kreuz-Multiplikation gelöst werden.

  Gleichung 5

  $\frac{21}{2x-3}=\frac{15}{x}$

  Hier kann ebenfalls bereits im nächsten Rechenschritt die Methode der Über-Kreuz-Multiplikation angewendet werden.

• Ermittle Definitions- und Lösungsmenge der gegebenen Bruchgleichung.

  Tipps

  Stelle die Bruchgleichung zunächst so um, dass du alle gleichnamigen Bruchterme zusammenfassen kannst.

  Schaue dir das folgende Beispiel an:

  $ \begin{array}{rllll} \frac 3x+\frac 2{x-2} &=& \frac 8{x-2}-\frac 6x && \vert +\frac 6x\\ \frac 3x +\frac 6x +\frac 2{x-2} &=& \frac 8{x-2} && \vert -\frac 2{x-2} \\ \frac 3x +\frac 6x &=& \frac 8{x-2}-\frac 2{x-2} && \\ \frac 9x &=& \frac 6{x-2} && \end{array} $

  Nun kann die Rechnung mit einer der drei Methoden fortgesetzt werden.

  Lösung

  Im Folgenden lösen wir gemeinsam die von Alwin aufgestellte Bruchgleichung:

  $\frac{10}{x+5}-\frac{7}{x-1}=-\frac{14}{x-1}+\frac{20}{x+5}$

  Diese sieht auf den ersten Blick kompliziert aus, nimmt jedoch bereits nach zwei Äquivalenzumformungen die uns bekannte Form an. Wir haben hier nämlich gleichnamige Bruchterme. Somit können wir die Bruchgleichung zunächst so umstellen, dass wir diese gleichnamigen Bruchterme zusammenfassen können. Aber bevor wir das machen, bestimmen wir erst einmal die Definitionsmenge.

  Schritt 1: Definitionsmenge bestimmen

  Wir haben die zwei Nennerterme $x+5$ und $x-1$. Wir erhalten somit die Definitionsmenge $\mathbb{D}=\mathbb{Q}\setminus\{-5;\ 1\}$.

  Schritt 2: Bruchterme so weit wie möglich zusammenfassen

  $ \begin{array}{rllll} \frac{10}{x+5}-\frac{7}{x-1} &=& -\frac{14}{x-1}+\frac{20}{x+5} && \vert -\frac{10}{x+5}\\ -\frac{7}{x-1} &=& -\frac{14}{x-1}+\frac{20}{x+5}-\frac{10}{x+5} && \vert +\frac{14}{x-1} \\ \frac{14}{x-1}-\frac{7}{x-1} &=& \frac{20}{x+5}-\frac{10}{x+5} && \\ \frac {7}{x-1} &=& \frac {10}{x+5} && \end{array} $

  Schritt 3: Bruchgleichung mittels einer Methode lösen

  Wir nutzen in diesem Fall die Methode der Über-Kreuz-Multiplikation. Du kannst die Gleichung auch gern mithilfe einer der anderen beiden Methoden lösen.

  $ \begin{array}{rllll} \frac {7}{x-1} &=& \frac {10}{x+5} && \\ 7(x+5) &=& 10(x-1) && \\ 7x+35 &=& 10x-10 && \vert +10 \\ 7x+45 &=& 10x && \vert -7x \\ 45 &=& 3x && \vert :3 \\ 15 &=& x && \end{array} $

  Schritt 4: Lösung bezüglich der Definitionsmenge überprüfen und Lösungsmenge angeben

  Die Lösung $x=15$ ist in der Definitionsmenge $\mathbb{D}$ enthalten. Somit lautet die Lösungsmenge $\mathbb{L}=\{ 15\}$.