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Lineare Gleichungen lösen

Äquivalenzumformungen erlauben das einfache Lösen linearer Gleichungen.

Eigenschaften linearer Gleichungen

Bevor man sich mit dem Lösen linearer Gleichungen beschäftigt, sollte man sich zunächst im Klaren sein, was lineare Gleichungen überhaupt sind. Eine lineare Gleichung ist eine Gleichung, in der die Variable nur in der ersten Potenz vorkommt. Jede lineare Gleichung kann mittels äquivalenter Umformungen in folgende Form überführt werden:

$ ax+b=0 $

Dabei sind $a$ und $b$ konstante Größen, die Koeffizienten genannt werden. Für sie gilt $a\neq 0$ und $a,\ b\in\mathbb{R}$. Die Größe $x$ wird Variable genannt, sie ist veränderlich.

Um ein besseres Gefühl für lineare Gleichungen zu bekommen, folgen nun einige Beispiele:

  • $2x-3=3$
  • $x+2=0$
  • $2(x+1)=x$
  • $4x-2=-2x+4$

Alle diese Beispiele kann man mittels Äquivalenzumformungen in die Form $ax+b=0$ mit $a,\ b\in\mathbb{R}$ und $a\neq 0$ überführen. Doch was sind überhaupt Äquivalenzumformungen?

Lineare Gleichungen lösen

Eine lineare Gleichung wird gelöst, indem sie auf eine Form gebracht wird, bei der auf einer Seite der Gleichung die Variable mit dem Vorfaktor $1$ und auf der anderen Seite eine Zahl steht. Dabei ist es wichtig, dass sich die Lösungsmenge der Gleichung während der Umformungen nicht ändert. Eine solche Umformung wird dann Äquivalenzumformung genannt. Man überführt also eine Gleichung in eine neue Form ohne ihre Lösungsmenge zu ändern.

Dabei unterscheidet man vier Arten äquivalenter Umformungen, welche im Folgenden aufgeführt sind:

Addition

Um eine Gleichung umzustellen, kann man auf beiden Seiten der Gleichung einen Term addieren ohne die Lösungsmenge zu verändern:

$\begin{array}{llll} x-2 &=& 4 & \vert +2 \\ x-2+2 &=& 4+2 & \\ x &=& 6 & \end{array}$

Wenn man nun $x=6$ in die Ausgangsgleichung einsetzt, erhält man mit $6-2=4$ eine wahre Aussage. Durch die Äquivalenzumformung hat sich die Lösungsmenge von $x-2=4$ also nicht verändert. Der senkrechte Strich in der ersten Zeile der Rechnung hinter der Gleichung dient dazu, die durchgeführten Äquivalenzumformungen erkenntlich zu machen.

Subtraktion

Man kann natürlich auch auf beiden Seiten einer Gleichung einen Term abziehen, also subtrahieren. Hierzu folgt wieder ein Beispiel:

$\begin{array}{llll} x+4 &=& 6 & \vert -4 \\ x+4-4 &=& 6-4 & \\ x &=& 2 & \end{array}$

Auch hier bestätigt das Einsetzen in die Ausgangsgleichung, dass die Lösungsmenge der Gleichung mittels der Äquivalenzumformung nicht beeinflusst wurde.

Multiplikation

Eine weitere Äquivalenzumformung ist das Multiplizieren beider Seiten der Gleichung mit einem Term. Eine solche Umformung kann beispielsweise bei einer Gleichung wie die folgende nützlich sein:

$\begin{array}{llll} \frac x5 &=& 3 & \vert \cdot 5 \\ \frac x5 \cdot 5 &=& 3\cdot 5 & \\ x &=& 15 & \end{array}$

Division

Auch die Division beider Seiten der Gleichung durch einen Term ist möglich:

$\begin{array}{llll} 5x &=& 10 & \vert :5 \\ 5x:5 &=& 10 : 5 & \\ x &=& 2& \end{array}$

Termumformung

Bevor man eine der obigen Äquivalenzumformungen durchführt, sollten beide Seiten der Gleichung soweit wie möglich vereinfacht sein. Eine solche Termumformung kann wie folgt aussehen:

$\begin{array}{llll} 2(x+1)-x-3 &=& 3x+x+5 & \vert \text{T} \\ 2x+2-x-3 &=& 4x+5 & \vert \text{T} \\ x-1 &=& 4x+5 & \end{array}$

Nun sind beide Seiten dieser Gleichung soweit wie möglich vereinfacht. Hierzu wurde zunächst das Distributivgesetz angewandt und anschließend wurden alle gleichartigen Terme zusammengefasst.

Terme vereinfachen

Eine Termumformung kannst du mit einem $\text{T}$ hinter dem senkrechten Strich in deiner Rechnung angeben.

Anwendungsbeispiel

Mit linearen Gleichungen lassen sich einige Zahlenrätsel sehr gut lösen. Betrachte hierzu folgendes Beispiel:

Subtrahiert man vom Fünffachen einer Zahl $5$ und multipliziert diese Differenz mit $4$, so erhält man $140$. Wie groß ist die gesuchte Zahl?

Zahlenrätsel.jpg

Zunächst wird Schritt für Schritt die gesuchte lineare Gleichung aufgestellt:

  1. Es wird für die gesuchte Zahl die Variable $x$ angenommen.
  2. Das Fünffache dieser Zahl drückt man wie folgt aus: $5x$
  3. Die Subtraktion von $5$ liefert: $5x-5$
  4. Diese Differenz wird nun multipliziert mit $4$ zu: $4(5x-5)$
  5. Damit hat man die eine Seite der Gleichung vollständig. Auf der anderen Seite steht die Zahl $140$.

Es folgt also: $4(5x-5)=140$

Diese Gleichung wird nun mittels Äquivalenzumformungen wie folgt gelöst:

$\begin{array}{llll} 4(5x-5) &=& 140 & \vert \text{T} \\ 20x-20 &=& 140 & \vert +20 \\ 20x &=& 160 & \vert :20 \\ x &=& 8 & \end{array}$

In dem Beispiel ist die gesuchte Zahl also die $8$.