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Lineares Wachstum

Du lernst hier zum einen, was Wachstum ist, und zum anderen, wie du erkennen kannst, ob lineares Wachstum vorliegt.

Was ist Wachstum?

Wachstum bedeutet, dass sich eine ursprüngliche Menge mit der Zeit immer weiter erhöht. Betrachte die Variablen $x$ und $y$. Die Variable $x$ ist die unabhängige Variable und die Variable $y$ die abhängige. Sie hängt von $x$ ab.

Wenn bei größer werdender unabhängiger Variable $x$ auch die abhängige Variable immer größer wird, liegt Wachstum vor. Umgekehrt liegt bei wachsendem $x$ aber dabei fallendem $y$ Abnahme vor.

Was ist lineares Wachstum?

Schaue dir das folgende Beispiel an: Paul erhält $20~€$ Taschengeld. Jedes Jahr wird der Betrag um $2~€$ höher.

Du siehst, das Taschengeld von Paul wächst im gleichen Zeitraum ($1$ Jahr) immer um den gleichen Betrag ($2~€$). Ein solches Wachstum wird als lineares Wachstum bezeichnet.

Präge dir den folgenden Merksatz ein:

Nimmt in gleichen Abschnitten ein abhängiger Wert $y$ immer um den gleichen Wert $d$ zu, so heißt diese Zunahme lineares Wachstum.

Wenn du lineares Wachstum in ein Koordinatensystem einzeichnest, erhältst du eine Gerade:

3107_lin.Wachstum.jpg

Eine Gerade ist der Funktionsgraph einer linearen Funktion.

Lineares Wachstum und lineare Funktionen

Eine lineare Funktion $f$ oder genauer Funktionsgleichung sieht so aus:

$f(x)=m\cdot x+b$.

Du kannst lineares Wachstum in Form einer linearen Funktionsgleichung darstellen. Schau dir noch einmal das Beispiel mit Pauls Taschengeld an:

  • Die unabhängige Variable $x$ ist die Zeit in Jahren, beginnend mit $x=0$, also der Beginn.
  • Die abhängige Variable $y=f(x)$ ist das Taschengeld in $€$ nach $x$ Jahren.

Zunächst schreiben wir die Entwicklung von Pauls Taschengeld in eine Tabelle:

3107_Tabelle.jpg

Nun geht es darum, die zugehörige Funktionsgleichung zu bestimmen. Doch was bedeuten die Parameter $m$ und $b$ in der allgemeinen Funktionsgleichung?

  • $m$ ist die Steigung der Geraden, welche du durch die lineare Funktionsgleichung erhältst. Bei linearem Wachstum ist $m$ die Änderung der abhängigen Variablen, wenn die unabhängige Variable um eine Einheit verändert wird.
  • $b$ ist die Stelle, an welcher die Gerade die $y$-Achse schneidet. $b$ ist also der abhängige Wert für $x=0$. $b$ wird auch als $y$-Achsenabschnitt bezeichnet.

Nun kann es losgehen: Für $x=0$ erhältst du, schaue noch einmal in die Tabelle, $y=20$, also $b=20$. Pro Jahr, dies ist eine Einheit der unabhängigen Variable, erhöht sich Pauls Taschengeld um $2~€$. Damit ist $m=2$.

Fertig ist die lineare Funktionsgleichung, welche die Entwicklung von Pauls Taschengeld beschreibt: $f(x)=2x+20$.

Nun kannst du die zu dem Wachstum gehörende Gerade in ein Koordinatensystem eintragen:

3107_Paul_Taschengeld.jpg

Du kannst dir für lineares Wachstum auch das Folgende merken:

Eine mathematische Größe wächst linear, wenn ihr Wachstumsverhalten sich mit Hilfe einer linearen Funktionsgleichung darstellen lässt.

Wenn $m$ positiv ist, so liegt Wachstum vor. Bei negativem $m$ liegt Abnahme vor.

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