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Abgrenzung lineares und exponentielles Wachstum

Hier lernst du Wachstum kennen. Häufig wirst du lineares oder exponentielles Wachstum behandeln. Wie kannst du diese beiden voneinander unterscheiden?

Was ist Wachstum?

Wachstum bedeutet in der Mathematik die Zunahme oder auch Vergrößerung einer Größe in Abhängigkeit von der Zeit.

Wir schauen uns einmal ein Beispiel an: Herr Oskar hat eine neue Arbeitsstelle. Zu Beginn erhält er einen Lohn in Höhe von $3500$ €. Er vereinbart mit seinem Arbeitgeber, dass der Lohn nach einem Jahr auf $3800$ € angehoben wird und nach weiteren zwei Jahren auf $4000$ €. Du siehst, der Lohn wächst an. Es liegt also Wachstum vor.

Ein solches Wachstum kannst du zum Beispiel in einem Koordinatensystem darstellen:

3108_Wachstum_1.jpg

Nun schauen wir uns lineares Wachstum sowie exponentielles Wachstum an. Hierbei widmen wir uns insbesondere der Frage, wie diese beiden voneinander unterschieden werden können.

Eigenschaften von linearem Wachstum

Bei linearem Wachstum liegt eine konstante Änderung vor. Was bedeutet das? In gleichen Abständen kommt immer die gleiche Menge (der gleiche Betrag) dazu.

Übrigens: So kannst du auch lineare Abnahme erklären. In gleichen Abständen wird immer der gleiche Betrag abgezogen.

Präge dir den folgenden Merksatz ein: Nimmt in gleichen Abschnitten ein abhängiger Wert $y$ immer um den gleichen Wert $d$ zu, so heißt diese Zunahme lineares Wachstum.

Wenn du lineares Wachstum in ein Koordinatensystem einzeichnest, erhältst du eine Gerade:

3107_lin.Wachstum.jpg

Wir schauen uns dies an dem Beispiel von Herrn Oskar an. Die Entwicklung seines Lohns stellt ihm sein Arbeitgeber in Form einer Tabelle dar:

3108_l_W_Tabelle.jpg

Wenn du jeweils die Differenz zweier aufeinander folgender Werte bildest, erhältst du:

  • Wert im Jahr $1$ minus Wert im Jahr $0$: $3700~\text{€}-3500~\text{€}=200~\text{€}$
  • Wert im Jahr $2$ minus Wert im Jahr $1$: $3900~\text{€}-3700~\text{€}=200~\text{€}$
  • Wert im Jahr $3$ minus Wert im Jahr $2$: $4100~\text{€}-3900~\text{€}=200~\text{€}$

Du siehst, die Differenz ist immer gleich.

Du kannst zu linearem Wachstum auch eine Funktionsgleichung aufstellen. Diese ist eine lineare Funktion, in diesem Beispiel $f$ mit $f(x)=200\cdot x+3500$.

Zusammenfassend kannst du lineares Wachstum so untersuchen:

  • Aufeinander folgende Werte unterscheiden sich immer um den gleichen Betrag.
  • Die Darstellung in einem Koordinatensystem ist eine Gerade.
  • Die zugehörige Funktionsgleichung ist eine lineare Funktion.

Exponentielles Wachstum

Exponentielles Wachstum liegt vor, wenn sich eine Größe in jeweils gleichen Abschnitten immer um denselben Faktor verändert.

Auch hierfür schauen wir uns noch einmal das Beispiel von Herrn Oskar an: Dieses Mal sagt der Arbeitgeber von Herrn Oskar, dass sein Lohn jedes Jahr um $8~\%$ zunimmt. Daraus ergibt sich die folgende Wertetabelle:

3108_e_W_Tabelle.jpg

Wenn du umgekehrt eine solche Tabelle vorliegen hast und entscheiden sollst, ob lineares oder exponentielles Wachstum vorliegt, kannst du die Differenzen sowie die Quotienten zweier aufeinanderfolgender Größen untersuchen. Hier beschränken wir uns auf die Quotienten:

  • Wert im Jahr $1$ geteilt durch Wert im Jahr $0$: $3780~\text{€}:3500~\text{€}=1,08$
  • Wert im Jahr $2$ geteilt durch Wert im Jahr $1$: $4082~\text{€}:3780~\text{€}\approx 1,08$
  • Wert im Jahr $3$ geteilt durch Wert im Jahr $2$: $4409~\text{€}:4082~\text{€}\approx 1,08$

Du siehst, der Quotient ist immer (ungefähr) gleich.

Du kannst dieses Verhalten ebenfalls in einem Koordinatensystem darstellen:

3108_e_W_KOS.jpg

Wenn du die Punkte miteinander verbindest, erhältst du den Funktionsgraphen einer Exponentialfunktion. In diesem Beispiel ist diese gegeben durch $f$ mit $f(x)=3500\cdot 1,08^{x}$.

Auch hier kannst du zusammenfassend feststellen:

  • Aufeinander folgende Werte unterscheiden sich immer um den gleichen Faktor.
  • Die Darstellung in einem Koordinatensystem sieht wie folgt aus:

3108_Exp_Fkt.jpg

  • Die zugehörige Funktionsgleichung ist eine Exponentialfunktion.