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Die Preisabsatzfunktion

Die Firma „Steig aufs Rad “ produziert Fahrräder für Profis. Ihr neuestes Modell „ThePedal 2017 “ hat einige Besonderheiten, die dafür sorgen, dass die Firma den Preis unabhängig vom sonstigen Marktpreis bestimmen kann. Sie handelt im Bezug auf dieses Produkt als Monopolist.

Die Preisabsatzfunktion bestimmt den Zusammenhang zwischen der Menge der Fahrräder, die verkauft werden und dem Preis, den das Unternehmen pro Fahrrad verlangen kann.

Für dieses Beispiel wird die Preisabsatzfunktion $p(x) = -0,5x + 9000$ festgelegt. Dabei ist $x$ die Absatzmenge und $p(x)$ der Preis in €.

Wenn sich die Firma also beispielsweise für einen Verkaufspreis von $8000~€$ pro Fahrrad entscheidet ergibt sich eine (wahrscheinliche) Absatzmenge von $2000$ Fahrrädern:

$8000 = -0,5\cdot x + 9000 \Leftrightarrow x = 2000$

Die Erlösfunktion

Die Erlösfunktion, auch Ertragsfunktion oder Umsatzfunktion genannt, stellt den Zusammenhang zwischen den Erlösen und einer Absatzmenge dar. Die Erlösfunktion gibt also für eine Menge $x$ an, wie viel Erlös die Firma erhält.

Der Preis für ein Fahrrad ist $p(x)$. Also ist der Erlös für den Verkauf von $x$ Fahrrädern $p(x) \cdot x$. Die Erlösfunktion für unser Beispiel lautet also:

$E(x) = p(x) \cdot x = (-0,5x + 9000) \cdot x = -0,5x^{2} + 9000x$

Wenn das Fahrrad beispielsweise $120$ mal verkauft wird, berechnest du $E(120) = -0,5\cdot 120^{2} + 9000\cdot 120 = 1 \, 072 \, 800$. Der Erlös beträgt also $1 \, 072 \, 800~€$.

Natürlich hat die Firma auch Kosten, die für die Produktion der Fahrräder notwendig sind.

Die Kostenfunktion

Die Kostenfunktion beschreibt den Zusammenhang zwischen der Produktionsmenge und den dadurch verursachten Kosten.

Dabei setzt sich die Kostenfunktion aus fixen Kosten und variablen Kosten zusammen.

  • $K_\text{fix}$ sind die fixen Kosten. Beispielsweise die Miete für die Produktionshalle. Diese Kosten hängen nicht von der Menge der produzierten Fahrräder ab.
  • $K_\text{var}(x)$ sind die variablen Kosten. Diese hängen direkt von der Produktionsmenge $x$ ab.

Eine Zuordnung ist nicht immer eindeutig.

Die Gesamtkosten ergeben sich somit als Summe der variablen und der fixen Kosten. Die Kostenfunktion lautet:

$K(x) = K_\text{fix} + K_\text{var}(x)$

Im Folgenden gehen wir davon aus, dass die Fixkosten (Miete der Produktionshalle, Erstellung der Baupläne, ...) bei $6 \,000 \,000~€$ liegen. Die Material- und Arbeitskosten pro produziertem Fahrrad liegen bei $1500~€$. Es gelten dann folgende Gleichungen:

  • $K_\text{fix} = 6 \,000 \,000$
  • $K_\text{var}(x) = 1500x$

Insgesamt lautet die Kostenfunktion also $K(x) = 6 \, 000 \, 000 + 1500x $.

Die Gewinnfunktion

Um nun ermitteln zu können, wie der Gewinn der Firma aussieht, benötigst du die sogenannte Gewinnfunktion.

Der Gewinn ergibt sich aus der Differenz des Erlöses und der Kosten. Es gilt
Gewinn = Erlös $-$ Kosten. Wir erhalten also folgende Gewinnfunktion:

$G(x) = E(x) - K(x) = -0,5x^{2}+7500x-6 \,000 \,000$.

Wenn du nun beispielsweise wissen willst, wie viel Gewinn die Firma beim Verkauf von $8000$ Fahrrädern macht, setzt du in die Gleichung der Gewinnfunktion für $x$ den Wert $8000$ ein:

$G(8000) = -0,5\cdot 8000^{2} + 7500\cdot 8000 - 6 \,000 \,000 = 1 \,000 \,000$

Die Firma hat in diesem Beispiel also $1 \,000 \,000~€$ Gewinn zu verbuchen.

Nullstellen der Gewinnfunktion

Im Folgenden wird beschrieben, welche inhaltlichen Bedeutungen die Nullstellen der Gewinnfunktion haben. Die Nullstellenberechnung erfolgt mit der $pq$-Formel:

$x_1 \approx 847,93$ und $x_2 \approx 14 \,152,1$

Da der Graph der Gewinnfunktion hier eine nach unten geöffnete Parabel ist, ist der $y$-Wert zwischen diesen beiden Nullstellen positiv. Dieser Bereich wird Gewinnzone genannt, da die Firma in diesem Bereich Gewinn macht.

Die kleinere Nullstelle ist dabei die sogenannte Gewinnschwelle (auch Break-Even-Point genannt). Die größere Nullstelle ist die Gewinngrenze.

Die gewinnmaximierende Ausbringungsmenge

Die Menge, die zum Gewinnmaximum führt, berechnest du mit Hilfe der ersten Ableitung:

$G'(x) = -x + 7500$

Diese Ableitung wird nun gleich $0$ gesetzt, um die Stelle auszurechnen, bei der der Gewinn maximal ist.

$0 = -x + 7500 \Leftrightarrow x = 7500$

Die Ausbringungsmenge von $7.500$ Fahrrädern führt also zu einem Gewinnmaximum.

Das Gewinnmaximum berechnest du nun, indem du die $7500$ in die Gewinnfunktion einsetzt:

$G(7500) = -0,5\cdot 7.500^{2} + 7500 \cdot 7500 - 6 \,000 \,000 = 22 \,125 \,000$

Der Gewinn für die Firma „Steig aufs Rad “ beträgt beim Verkauf von $7500$ Fahrrädern also $22 \,125 \,000~€$.

Erloesegraph-01.jpg

Hier siehst du anschaulich in einem Koordinatensystem die Erlös-, Kosten- und Gewinnfunktion zu dem obigen Beispiel.

Der cournotsche Punkt

Der cournotsche Punkt ist ein spezieller Punkt auf der Preis-Absatz-Funktion. Er zeigt den Zusammenhang zwischen Preis und Menge auf, bei der der Gewinn maximal ist. Da du den $x$-Wert des maximalen Gewinns in dem Beispiel schon berechnet hast $(x= 7500)$, kannst du den cournotschen Punkt nun durch Einsetzen in die Preis-Absatz-Funktion berechnen:

$p(7500) = -0,5\cdot 7500 + 9000 = 5250$

Der cournotsche Punkt ist also $C(7500|5250)$.