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Universelle Gasgleichung 13:30 min

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Transkript Universelle Gasgleichung

Hallo und herzlich willkommen! Das Video heißt "Die universelle Gasgleichung". Du kennst die Zustandsgrößen Druck, Volumen und Temperatur und ihre Einheiten. Nachher kennst du die Avogadro-Konstante, die universelle Gaskonstante, die universelle Gasgleichung und Darstellungen der Zustandsdiagramme. Der Film besteht aus sieben Abschnitten. 1. Das ideale Gas. 2. Wichtige Größen für Gase. 3. Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen. 4. Herleitung der Gasgleichung. 5. Die universelle Gaskonstante R. 6. Zweidimensionale Zustandsdiagramme und 7. Dreidimensionale Zustandsdiagramme. 1. Das ideale Gas: Das ideale Gas sollte in der Thermodynamik zwei Bedingungen genügen: Die Teilchen des Gases sollten auf keinen Fall groß sein, sondern eher klein. Am besten so klein, dass man ihre Größe vernachlässigen kann. Anders gesagt, das Volumen der Teilchen ist praktisch null. Als Zweites sollten zwischen den Teilchen keine Kräfte wirken. Exakter gesprochen, zwischen den Teilchen finden nur elastische Stöße statt. Das heißt, die Zusammenstöße führen nicht zu einem Verlust von kinetischer Energie. Die meisten gängigen Gase wie Wasserstoff, Sauerstoff oder Stickstoff erfüllen diese Bedingungen. 2. Wichtige Größen für Gase: Um den Zustand eines Gases zu charakterisieren, benutzt man sogenannte "Zustandsgrößen". Das sind der Druck (p), das Volumen (V) und die Temperatur (T). Die SI-Einheit des Drucks ist Newton pro Quadratmeter (N/m2). Man sagt auch Pascal, abgekürzt (Pa). Die SI-Einheit des Volumens ist m3, Kubikmeter. Die Einheit der absoluten Temperatur (T) ist K, Kelvin. 3. Beziehungen zwischen den Zustandsgrößen: Bei der Herleitung im Video stützen wir uns auf experimentelle Befunde: 1.) Das Gesetz von Gay-Lussac: Es besagt, dass das Volumen eines Gases proportional zu seiner Temperatur ist. Vorausgesetzt wird, der Druck ist konstant. 2.) Das Gesetz von Amontons: Der Druck p ist proportional zur Temperatur unter der Bedingung, dass das Volumen V konstant ist. Das Gesetz von Boyle Mariotte: Auf dem Bild links sehen wir Boyle. Das Gesetz besagt, dass das Volumen des Druckes p mit dem Volumen V eines Gases konstant ist. Bedingung, die Temperatur T ist ebenfalls konstant. 4. Herleitung der Gasgleichung: Berücksichtigen wir beim Gesetz von Boyle Mariotte die beiden ersten Gesetze, so stellen wir fest, dass das Produkt vom Druck P und dem Volumen V proportional zur Temperatur T sein muss. Wir schreiben p * V = K * T. K ist ein Proportionalitätsfaktor. Wir formen um p * V/T = K. Wir unterstellen, dass K abhängig von der Teilchenzahl N ist, denn je mehr Teilchen, umso mehr Volumen. Das klingt nun einmal logisch. Den exakten Zusammenhang liefert das Gesetz von Avogadro: Gleiche Gasvolumina enthalten die gleiche Anzahl an Teilchen. Das stimmt genau unter der Voraussetzung, dass Druck p und Temperatur T unverändert bleiben. Ich kann nun mit Sicherheit schreiben p * V/T ist proportional zur Teilchenzahl N. Und weiter: p V/T = K * N. Der Proportionalitätsfaktor k ist die berühmte Boltzmann-Konstante. Die Gleichung p * V/T = K * N ist nicht schlecht. Was hier stört, ist die Veränderlichkeit von N. Aus der Chemie wissen wir N/n = NA n ist die Stoffmenge in Mol. Und NA ist eine weitere Konstante, die Avogadro-Konstante. Die Avogadro-Konstante kennen die meisten von euch auswendig: 6,0231023 mol-1. So viel Teilchen sind in einem Mol Stoff enthalten. Wir stellen um: N = n * NA. Wir erhalten: p * V/T = k NA * n. Das Produkt aus Boltzmann-Konstante k und Avogadro-Konstante NA wird als R, universelle Gaskonstante definiert. Also ergibt sich p * V/T als Produkt aus R * n. Wir multiplizieren mit p: p * V = R * n * T. Als Lehrformel findet man häufig R und n vertauscht. Also endgültig: p * V = n * R * T. Der Druck ist hier p, die Temperatur ist hier T, das Volumen ist V, die Stoffmenge ist n in Mol, die universelle Gaskonstante ist R. Welche Einheit hat sie? Die universelle Gaskonstante R, wir erinnern uns: p V = R * n * T. Umgestellt nach R = (p * V) / (n * T). Es sollen streng die Einheiten des SI-Systems benutzt werden: p = N/m2, V = m3, n = mol, T = K. Wir bestimmen nun die Einheit von R: Newton pro Quadratmeter, Kubikmeter und in den Nenner noch Mol und Kelvin (R = (Nm3)/(m2molK)). m3 wird gegen m2 gekürzt. Es verbleibt Nm/(molK). Wichtig und gut ist nun zu wissen: 1 Newtonmeter ist gleich 1 Joule (1 Nm = 1 J). Die Einheit der Gaskonstante ist somit J/(mol*K). Durch Messungen erhält man R = 8,314J * mol-1 * K-1. Die Gaskonstante R ist eine Naturkonstante. 6. Zweidimensionale Zustandsdiagramme: Wir notieren die universelle Gasgleichung: p * V = R * n * T. Für die graphische Darstellung soll das Produkt aus R und n konstant sein. Für R ist diese Bedingung erfüllt. Für die Stoffmenge wird häufig 1 mol angenommen. Also p * V/T = konstant. Wir haben nun drei Variablen p, V und T. Der funktionelle Zusammenhang ist in ebener Darstellung nicht möglich. Der Ausweg besteht darin, eine Variable festzuhalten, das heißt, sie konstant zu machen. Also, entweder p = konst oder V = konst oder T = konst. Das Oder ist hier ausschließend. Wir wollen das einmal veranschaulichen: p = konst, V = konst und der dritte Fall T = konst. Im ersten Fall sagt man, der Zustand des Gases ist isobar. Bei der Konstanz des Volumens sagt man isochor. Bleibt die Temperatur gleich, so sagt man, der Zustand des Gases ist isotherm. Man erhält nun aus der Gasgleichung: Bei konstantem Druck ist der Quotient aus V und T konstant. Ist das Volumen konstant, so ist der Quotient aus p und T ebenfalls konstant. Bleibt die Temperatur unverändert, dann ist das Produkt aus Druck p und Volumen V konstant. So, jetzt ist es gut, wenn man die 6. Klasse nicht übersprungen hat und noch Erinnerungen daran besitzt. Bei p konstant sind V und T proportionale Größen. Das Gleiche gilt bei V konstant für p und T. Ist T konstant, sind p und V antiproportional. Wir wollen nun die Abhängigkeit der nicht konstanten Zustandsgrößen in den drei Fällen graphisch darstellen. Links wird V als Funktion von T abgetragen. Da die Größen proportional sind, handelt es sich um eine Gerade, die durch den Ursprung geht. Der funktionale Zusammenhang zwischen p und T wird ebenfalls durch eine Gerade dargestellt. Der Zusammenhang von p und V sieht in der graphischen Darstellung so aus. Die Kurve ist eine Hyperbel. Der Vorteil der zweidimensionalen Darstellung ist die Übersichtlichkeit. Der Nachteil, eine Variable muss konstant gelassen werden. 7. Dreidimensionale Zustandsdiagramme: Hier ist ein Beispiel für ein dreidimensionales Zustandsdiagramm. Erzeugt habe ich es mit NetPlot. Dargestellt wird der Zusammenhang. p = 8,314 * T/V. Für n = 1 mol. In mathematischer Schreibweise: z = 8,314 * x/y. Ich möchte euch helfen, euch in der linken Darstellung zurechtzufinden. Nach oben wird z abgetragen, also der Druck p. Der Bereich geht bis 100000 N/m2. Die Achse schräg nach vorne ist x, die Temperatur. Sie überstreicht den Bereich von 0 bis 800 Kelvin. Die verbleibende Achse ist y, also V von 0 bis 10 m3. Der Vorteil dieser Darstellung ist klar. Es wird der Zusammenhang von p, T und V perspektivisch dargestellt. Der Nachteil fällt auch ins Auge. In der Ebene ist die dreidimensionale Darstellung unübersichtlich. Das war ein weiteres Video von André Otto. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

1 Kommentar
  1. Richtig gutes Video hat mir sehr geholfen vielen Dank

    Von Phr, vor fast 4 Jahren

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Universelle Gasgleichung Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Universelle Gasgleichung kannst du es wiederholen und üben.

  • Nenne Eigenschaften idealer Gase.

    Tipps

    Physiker haben es gerne einfach. Welche Gase würden sie also „ideal" nennen?

    Lösung

    Ideale Gase sind besonders angenehm zu berechnen, da ihre Teilchen vernachlässigbar klein sind und sie nur elastische Stöße miteinander vollführen.

    Die Teilchen haben also kein Volumen, welches mit einberechnet werden müsste, und es gibt auch keine komplizierten lästigen Wechselwirkungen miteinander.

    Das macht sie natürlich einfach zu berechen, erweckt aber auch den Eindruck, dass solch ein Gas nicht sehr realistisch ist.

    Das stimmt nicht ganz. Gase wie z.B. $H_2$. $O_2$, $N_2$ erfüllen diese Bedingungen. Und andere sind zumindest sehr ähnlich.

  • Beschreibe die Gesetze zu den Zustandsgrößen.

    Tipps

    Wenn man sagt, $x$ ist proportional(~) zu $y$, ist es dann sinnvoll zu behaupten, $x$ oder $y$ seien konstant? Dann wären gleich beide konstant.

    Lösung

    Diese drei Gesetze sehen kompliziert und trivial aus. Hat man sie aber verinnerlicht, so sieht man gleich, wie sich die drei Größen zueinander verhalten, besonders, wenn man eine verändert.

    Ist z.B. $p=const.$, so wird $V$ größer, wenn $T$ größer wird. Sie sind proportional zueinander: $\dfrac{V}{T}=const.$.

    Wenn $V=const.$ ist, dann sind Druck und Temperatur proportional.

    $p$ und $V$ dagegen sind antiproportional, also $p\cdot V=const.$. Wird $p$ größer, muss $V$ kleiner werden, damit das Ergebnis gleich bleibt.

  • Berechne den Druck in der Flasche.

    Tipps

    Das System ist isochor.

    Die Gasgleichungen müssen vorher und nachher das Gleiche ergeben.

    Lösung

    Du kennst das vielleicht: Stellst du eine Plastikflasche in einen kalten Raum, fängt sie an zu verbeulen, weil sie sich zusammen zieht. Das geschieht, weil der Druck mit der Temperatur abnimmt. Hier verhält es sich andersherum.

    Wir brauchen also zweimal die Gasgleichung $\dfrac{p\cdot V}{T}$, einmal für vorher, einmal für nachher.

    Diese setzen wir gleich, denn die Proportionalität von $p$ und $T$ muss gleich bleiben. Das System ist isochor, das heißt, dass das Volumen der Flasche konstant ist.

    $\dfrac{p_1\cdot V_1}{T_1}=\dfrac{p_2\cdot V_1}{T_2}$

    Wie du siehst, kennen wir bereits alle Größen bis auf $p_2$. Nach dieser Größe stellen wir nun um, wobei $V_1$ wegfallen wird:

    $p_2=\dfrac{p_1\cdot V_1\cdot T_2}{T_1\cdot V_1}=\dfrac{p_1\cdot T_2}{T_1}=\dfrac{1~\text{bar}\cdot 200^\circ~\text{C}}{10^\circ~\text{C}}=20~\text{bar}$

    Diesem Druck könnte die Plastikflasche sicher nicht mehr standhalten.

  • Beschreibe die Varianten der zweidimensionalen Zustandsdiagramme.

    Tipps

    Diese Aufgabe ist recht umfangreich. Schaue daher, ob manche Elemente nicht vielleicht zusammenhängen könnten.

    Wenn man sagt, $x$ ist proportional(~) zu $y$, ist es dann sinnvoll zu behaupten, $x$ oder $y$ seien konstant? Dann wären ja gleich beide konstant.

    Lösung

    In der zweidimensionalen Zustandsbetrachtung gibt es drei Zustände: isobar, isochor und isotherm.

    „Iso" kannst du mit „konstant" übersetzen. Dann weißt du: isobar bedeutet konstanter Druck, denn bar ist die Einheit des Drucks.

    Isotherm merkst du dir über „thermische Energie". Hier geht es um Wärme.

    Mit „-chor" kann vielleicht nicht jeder etwas anfangen, aber per Ausschlussverfahren kommt man dann auch auf das Volumen.

    Weiß man, was konstant ist, dann sind die anderen beiden Größen die (anti)proportionalen Größen.

    Wobei bei der Isothermie $p$ und $V$ antiproportional sind.

  • Berechne die Stoffmenge.

    Tipps

    Du musst die Gasgleichung verwenden.

    Denke daran, richtig zu runden.

    Lösung

    Bei Gasgleichungen gibt es viele gut messbare Größen. Mit ihnen lassen sich dann z.B. weniger leicht messbare Größen wie die Stoffmenge $n$ berechnen.

    Dazu verwenden wir die Gasgleichung. Sie enthält leicht messbare und uns bekannte Größen: $p$. $V$, $T$ und die ebenfalls bekannte universelle Gaskonstante $R$. Lediglich $n$ ist nicht direkt messbar, aber dafür können wir sie nun leicht ausrechnen.

    Die Gasgleichung ist $p\cdot V=R\cdot T\cdot n$.

    Stellen wir also um:

    $n=\dfrac{p\cdot V}{T\cdot R}=\dfrac{20~\text{bar}\cdot 10~\text{l}}{300~\text{K}\cdot 8,3~\dfrac{\text{bar l}}{\text{mol K}}}=0,08~\text{mol}$.

    Die Stoffmenge des Gases ist also $n=0,08~\text{mol}$.

  • Berechne den Druck.

    Tipps

    Auch hier musst du die Gasgleichung anwenden.

    Lösung

    Manchmal muss man auch leicht zu messende Größen berechnen. Dazu müssen wir dann aber leider auch die Stoffmenge kennen. Meist gibt es dazu einen Literaturwert.

    Wir nehmen also wieder unsere Gasgleichung und stellen um:

    $p=\dfrac{R\cdot T\cdot n}{V}=\dfrac{8,3~\dfrac{\text{bar l}}{\text{mol K}}\cdot 300~\text{K}\cdot 0,001~\text{mol}}{2~\text{l}}=1,245~\text{bar}\approx 1,25~\text{bar}$.