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Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases

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Physik Siggi

Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases

lernst du in der 11. Klasse - 12. Klasse

Beschreibung Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases

Spezifische Wärmekapazität — Definition

Wärme

Als Wärme oder auch Wärmeenergie bezeichnet man die Energiemenge, die von einem heißen Körper auf einen kalten übertragen wird. Wenn du zum Beispiel Wasser auf einer Herdplatte erhitzt, gibt die Herdplatte Energie an das Wasser ab, das dadurch wärmer wird. Die ausgetauschte Energiemenge heißt Wärme und wird mit dem Buchstaben $Q$ bezeichnet.

Spezifische Wärme

Wir müssen einem Material umso mehr Wärme zuführen, umso stärker wir es erhitzen wollen. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass die nötige Wärme proportional zur Temperaturänderung ist: $Q \propto \Delta T$. In unserem Beispiel von Wasser auf einer Herdplatte ist das schnell klar: Um das Wasser zum Kochen zu bringen, müssen wir eine höhere Stufe einstellen und länger warten, als wenn wir nur lauwarmes Wasser brauchen. Wir müssen also mehr Wärme zuführen.

Erklärung der spezifischen Wärmekapazität

Was ist die spezifische Wärmekapazität?

Wieviel Wärme genau zugeführt werden muss, um eine Temperaturerhöhung $\Delta T$ zu erreichen, wird durch die spezifische Wärmekapazität ausgedrückt. Diese ist der Quotient aus Wärme und Temperaturänderung, und wir bezeichnen sie mit dem Buchstaben $c$:

$c = \frac{Q}{\Delta T}$

Die Wärmekapazität hängt einerseits natürlich davon ab, welche Menge eines Stoffs erwärmt werden soll. Um 10 Liter Wasser zu erhitzen, brauchen wir natürlich mehr Energie, als um nur 1 Liter Wasser zu erhitzen. Deswegen schreiben wir die Masse $m$ mit in unsere Gleichung und erhalten die Formel für die spezifische Wärmekapazität:

$Q \propto \Delta T \cdot m \rightarrow c = \frac{Q}{\Delta T m} $

Andererseits hängt sie auch vom Material ab und ist für jeden Stoff unterschiedlich. Eisen lässt sich beispielsweise leichter erhitzen als Wasser. Deswegen heißt es spezifische Wärmekapazität. (Genau genommen ist dies die Formel für die mittlere spezifische Wärmekapazität, weil wir keine beliebig kleinen Temperaturunterschiede $\Delta T$, sondern Temperaturbereiche betrachten. Für die reale spezifische Wärmekapazität müssten wir den Grenzwert bilden.) Aber wie können wir jetzt die spezifische Wärmekapazität berechnen?

Spezifische Wärmekapazität — Beispiele

Die Spezifische Wärmekapazität Wasser

Um die spezifische Wärmekapazität von Wasser zu ermitteln, stellen wir uns ein Experiment vor: Wir nehmen ein Gefäß mit $300~\text{g}$, $0~$°C kaltem Wasser, in das wir einen $1000~\text{W}$ starken Tauchsieder eintauchen, und messen die Zeit, bis es eine Temperatur von $20~$°C erreicht hat. Wir messen genau $25,2~\text{s}$. Wir haben also:

$\Delta T = 20~\text{°C} = 20~\text{K}$

$m = 300~\text{g}$

Die übertragene Wärme entspricht in etwa dem Produkt aus der Leistung $P$ des Tauchsieders und der verstrichenen Zeit $t$, also:

$Q = P \cdot t = 1000~\text{W} \cdot 25,2~\text{s} = 25200~\text{J} $

Setzen wir diese drei Werte in die Gleichung für die spezifische Wärmekapazität ein, erhalten wir:

$c = \frac{25200~\text{J} }{20~\text{K} 300~\text{g}} = 4,2~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$

Wasser hat also einen Wert von $4,2~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$ für die spezifische Wärmekapazität. Ihre Einheit ist also Joule pro Gramm mal Kelvin. Man benötigt also eine Energie von $4,2~\text{J}$ um $1~\text{g}$ Wasser um genau $1~\text{°C}$ zu erhitzen.

Die Spezifische Wärmekapazität Metallen

Die spezifische Wärmekapazität von Eisen liegt bei etwa $0,45~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$, ist also wesentlich geringer als die von Wasser. Das bedeutet, man benötigt viel weniger Energie, um die gleiche Menge Eisen zu erwärmen. Auch die Wärmekapazität von Kupfer ist recht gering. Sie liegt bei etwa $0,39~\frac{\text{J}}{\text{gK}}$, ist also noch ein bisschen kleiner als die von Eisen.

Wir wissen nun also etwas über die spezifische Wärmekapazität fester Körper und Flüssigkeiten. Wie verhält es sich aber bei Gasen?

Spezifische Wärmekapazität des idealen Gases

Wärmekapazität von Luft

Luft kann man unter normalen Bedingungen als ideales Gas beschreiben. Das bedeutet, dass wir die ideale Gasgleichung benutzen können:

$p\cdot V = N \cdot k_{B} \cdot T$

Darin sind $p$ der Druck, $V$ das Volumen, $N$ die Teilchenzahl, $k_B$ die Boltzmann-Konstante und $T$ die Temperatur. Die Änderung der Temperatur eines idealen Gases hat also eine Änderung des Drucks oder des Volumens zur Folge, wenn die Teilchenanzahl gleich bleibt. Deswegen unterscheiden wir beim idealen Gas zwischen der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen, $c_V$, und der spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Druck, $c_p$.

Wenn das Volumen konstant bleibt, steigt bei Erwärmung der Druck aber es wird keine Arbeit verrichtet. Es gilt der Zusammenhang, den wir schon kennen:

$Q = c_V \cdot m \cdot \Delta T$

Hier ist nur $c$ durch $c_V$ ersetzt, um das konstante Volumen anzuzeigen. Bleibt der Druck gleich, muss zwangsläufig das Volumen größer werden. Die zugeführte Wärme wird also nicht nur in eine Temperaturerhöhung, sondern zusätzlich auch die Vergrößerung des Volumens umgesetzt. Das nennt man Volumenarbeit. Wir können leicht eine Formel für die Volumenarbeit herleiten, wenn wir uns wieder ein Experiment vorstellen. In einem luftdicht verschlossenen Kolben mit einer beweglich montierten Wand befindet sich ein Gas, das zu Beginn ein Volumen $V_1$ ausfüllt. Wird das Gas so erhitzt, dass sich das Volumen auf $V_2$ vergrößert, wird die bewegliche Wand verschoben und Arbeit verrichtet. Anschaulich betrachtet sieht das Modell folgendermaßen aus:

Volumenarbeit durch Zufuhr einer Wärmemenge Q

Wir wissen schon, dass die Arbeit $W$ folgendermaßen dargestellt werden kann:

$W = F\cdot \Delta s$

In dieser Gleichung sind $F$ die Kraft und $\Delta s$ der Weg. Wir wissen auch, dass Kraft pro Fläche den Druck ergibt. Umstellen der Formel ergibt eine Gleichung für die Kraft $F$:

$p = \frac{F}{A} \leftrightarrow F = p \cdot A $

Setzen wir diesen Zusammenhang für die Kraft in unsere Formel für die Arbeit ein, erhalten wir:

$W = p \cdot A \cdot \Delta s = p \cdot \Delta V$

Die Volumenarbeit entspricht also dem Druck multipliziert mit der Volumenänderung. Die zugeführte Wärme $Q$ geht also zum einen in die Temperaturerhöhung $c_V m \Delta T$ und in die Volumenarbeit $p \Delta V$. Zusammengefasst erhalten wir also:

$Q = c_p \cdot m \cdot \Delta T = c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \Delta V$

Spezifische Wärmekapazität Tabelle

In der folgenden Tabelle sind ein paar Beispiele für die spezifische Wärmekapazität verschiedener Materialien zusammengefasst:

$c ~\text{in}~ \frac{\text{J}}{\text{gK}}$ $c_p ~\text{in}~ \frac{\text{J}}{\text{gK}}$
spezifische Wärmekapazität Eisen 0,45 /
spezifische Wärmekapazität Kupfer 0,38 /
spezifische Wärmekapazität Wasser 4,18 /
spezifische Wärmekapazität Stickstoff / 14,32
spezifische Wärmekapazität Wasserstoff / 10,4
spezifische Wärmekapazität Holzfasern 2,1 /

Spezifische Wärmekapazität und molekulare Größen

Wir können jetzt auch einen Zusammenhang zwischen $c_V$ und $c_p$ herstellen. Dazu schreiben wir zunächst noch einmal die ideale Gasgleichung auf, ersetzen aber $T$ und $V$ durch die jeweilige Temperatur- bzw. Volumenänderung, also:

$p \cdot \Delta V = N \cdot k_B \cdot \Delta T$

In der idealen Gasgleichung steht $N$ für die Teilchenzahl. Die können wir auch durch die Masse des Gases $m$ und die Masse eines einzelnen Gas-Teilchens $m_i$ ausdrücken als $N = \frac{m}{m_i}$. Das setzen wir jetzt in die ideale Gasgleichung ein:

$p \cdot \Delta V = \frac{m}{m_i} \cdot k_B \cdot \Delta T$

Mit diesem Ausdruck können wir jetzt $p \Delta V$ in der Gleichung für die Wärme $Q$ mit den Wärmekapazitäten $c_V$ und $c_p$ ersetzen:

$Q = c_p \cdot m \cdot \Delta T = c_v \cdot m \cdot \Delta T + \frac{m}{m_i} \cdot k_B \Delta T$

Wir teilen die Gleichung auf beiden Seiten durch $m$ und $\Delta T$ und erhalten damit den Zusammenhang:

$c_p = c_V + \frac{k_B}{m_i} = c_V + R_s$

Im letzten Schritt haben wir $\frac{k_B}{m_i}$ durch die spezielle Gaskonstante $R_s$ ersetzt. Die spezielle Gaskonstante kann auch durch die universelle Gaskonstante und die molare Masse ausgedrückt werden:

$R_s = \frac{R}{M_m}$

Wir können auch die Wärmekapazität auf die Stoffmenge $n$ beziehen, und erhalten so die molare Wärmekapazität $c_m$:

$c_m = \frac{Q}{\Delta T \cdot n}$

Jetzt teilen wir die molare durch die spezifische Wärmekapazität – indem wir die Formel umstellen, ergibt sich dann der Zusammenhang zwischen beiden Größen mit der molaren Masse $M_m$:

$c_m = c \cdot \frac{m}{n} = c \cdot M_m$

Du kannst dein Wissen über Wärmekapazität jetzt direkt überprüfen: Rechts neben dem Video findest du für die spezifische Wärmekapazität Übungen mit Lösungen.

Transkript Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases

Hallo, ich bin euer Physik Siggi. Heute werde ich euch die 2 Arten der spezifischen Wärmekapazität eines idealen Gases darstellen. Dafür werdet ihr zunächst wiederholen, was Wärme ist, und danach verstehen, was die Wärmekapazität und die spezifische Wärmekapazität eigentlich darstellen. Letztendlich werden wir dies dann auf das ideale Gas übertragen. Zum Schluss wiederholen wir noch alle gelernten Formen. Dafür müsst ihr natürlich wissen, was ein ideales Gas ist und was Wärme ist. Außerdem solltet ihr mit molekularen Größen umgehen können. Für alles findet ihr bei mir einen Film. Im letzten Film dieser Reihe, "Wärmeenergie und innere Energie", habe ich euch erklärt, was Wärme ist. Sie ist die Energie, die von einem heißen auf einen kalten Körper übertragen wird. Zum Beispiel wird hier von der Herdplatte zum Wasser Energie übertragen. Diese Energie ist Wärmeenergie. Das kalte Wasser wird warm. Wie viel Wärme Q ist jedoch nötig, um das Wasser um ΔT zu erwärmen? Wir wissen, dass die Wärme proportional zur Temperaturerhöhung ist. Steigt die zugeführte Wärme, so steigt auch die Temperatur. Die Wärmekapazität c ist der Quotient aus der Wärme und der Temperaturänderung. Dieser ist konstant. Wollen wir mehr Wasser erwärmen, so müssen wir auch mehr Wärme hineinstecken. Zusammen gilt also: QΔT×m. Also gilt, dass die Wärme geteilt durch die Temperaturänderung und die Masse konstant bleibt, solange wir immer das gleiche Material erwärmen. Die Erfahrung zeigt nämlich, dass die Temperatur für alle Materialien unterschiedlich schnell steigt, auch wenn sie die gleiche Masse haben und ihnen die gleiche Wärme zugeführt wurde. Zum Beispiel erwärmt sich Eisen leichter als Wasser. Somit ist die obige Konstante c für alle Materialien unterschiedlich. Sie ist eine Materialeigenschaft und heißt spezifische Wärmekapazität. Ein Beispiel: 300 g Wasser muss man mit einem 1000 W starken Tauchsieder 25,2 s lang erwärmen, um es von 0 °C auf 20 °C zu erhitzen. Wie groß ist die spezifische Wärmekapazität des Wassers? Die übertragene Wärmeenergie ist in etwa die Leistung des Tauchsieders × der Zeit, also 25200 J. Die erwärmte Masse sind 300 g und der Temperaturunterschied sind 20 °C, was genau 20 K entspricht. Einsetzen und Ausrechnen bringen uns: c=4,2 J/(gK). Die spezifische Wärmekapazität von Eisen liegt dagegen bei 0,45 J/(gK). Eisen benötigt also nur 0,45 J, um 1 g um genau 1 K zu erhitzen. Wasser benötigt dagegen 4,2 J, um dieselbe Menge um dieselbe Temperatur zu erhöhen. Die spezifische Wärmekapazität beschreibt also, wie gut man ein Material erwärmen kann. Für die Interessierten: Die spezifische Wärmekapazität eines Materials ändert sich auch mit der Temperatur, jedoch so wenig, dass sie für feste Stoffe zwischen -40 °C bis 100 °C als konstant angenommen werden kann, und für flüssige Stoffe zwischen 0 °C und 40 °C etwa konstant ist. Ansonsten muss man eine Temperaturabhängigkeit beachten. Wie verhält sich die spezifische Wärmekapazität bei Gasen? Wir wissen aus dem Gasgesetz, dass eine Erwärmung eine Änderung des Drucks oder eine Änderung des Volumens des idealen Gases zur Folge hat - natürlich nur, wenn die Teilchenzahl dabei gleich bleibt. Deswegen unterscheiden wir zwischen 2 Arten der spezifischen Wärmekapazität bei idealen Gasen: erstens, wenn das Volumen des Gases beim Erwärmen gleich bleibt, und somit der Druck steigt. Dann gilt für die zugeführte Wärme das Gleiche wie im festen Körper [Q=cv×m×ΔT]. Cv deswegen, weil das Volumen v konstant bleibt. Der zweite Fall ist, wenn der Druck des Gases gleich bleibt und somit das Volumen größer wird. In diesem Fall ist die Wärmekapazität eine andere, weil das Gas noch Volumenarbeit verrichtet [Q=cp×m×ΔT]. Es verändert sich ja, und dies ist eine Form von Arbeit. Die Volumenarbeit (W) = dem Druck (p) × der Volumenänderung (ΔV). Dies könnt ihr einfach herleiten. Ihr wisst, dass die Arbeit Kraft (F) × Wegänderung (s) ist und dass Druck p = Kraft pro Fläche ist [p=F/A]. Umgestellt ist also die Kraft gleich Druck × Wegänderung [F=p×A]. Setzen wir dies ein, so erhalten wir W=p×A×Δs=p×ΔV, also Druck × Volumenänderung. Die zugeführte Wärme Q (=cp×m×ΔT) wird also sowohl in die Temperaturerhöhung (cv×m×ΔT) als auch in die Volumenarbeit (p×ΔV) gesteckt. Aus dieser letzten Erkenntnis können wir nun einen Zusammenhang zwischen beiden spezifischen Kapazitäten ermitteln. Wir wissen aus dem Gasgesetz, dass Druck × Volumenänderung = Teilchenzahl × Boltzmann-Konstante × Temperaturänderung ist [p×ΔV=N×KB×ΔT]. Die Masse des Gases ist die Masse eines Teilchens × die Teilchenzahl N. Also können wir N mit m/mi ersetzen. Setzen wir nun dies alles in unsere Gleichung ein, so können wir links und rechts durch m×ΔT teilen. Und wir erhalten: cp=cv+(KB/mi). KB/mi wird als Gaskonstante (Rs) bezeichnet, Rs ist jedoch nicht zu verwechseln mit dem R aus der Gasgleichung für molekulare Größen: p×V=n×R×T. Wir wissen, dass die universelle Gaskonstante R gleich Avogadrozahl × Boltzmann-Konstante ist [R=NA×KB]. Dies können wir umstellen. Setzen wir die Avogadrozahl in die Definition der Masse eines Teilchens ein, so erhalten wir nach Umformen, dass die spezielle Gaskonstante gleich der universellen durch die molare Masse ist. Dies bringt uns zum letzten Punkt. Man kann die spezifische Wärmekapazität auch in molekularen Größen beschreiben. Hier wird die Wärmekapazität einfach anstatt auf Masse auf die Stoffmenge bezogen, also ist sie gleich Wärme durch Stoffmenge × Temperaturänderung. Sie wird dann molare Wärmekapazität genannt. Teilen wir beide durcheinander, so erhalten wir ihren Zusammenhang: Die molare Wärmekapazität = der spezifischen × Masse durch Stoffmenge [cm=c×(m/n)], also gleich der spezifischen × molare Masse [=c×Mm]. Wir wiederholen. Die Wärmekapazität ist die zugeführte Wärme durch die Temperaturänderung. Die spezifische Wärmekapazität ist die zugeführte Wärme pro Masse und pro Temperaturänderung, also die Wärmekapazität bezogen auf die Masse. Die molare Wärmekapazität ist die zugeführte Wärme pro Mol und pro Temperaturänderung, also die Wärmekapazität bezogen auf die Stoffmenge. Der Zusammenhang zwischen molarer und spezifischer Wärmekapazität geht über die molare Masse. Beim idealen Gas gibt es 2 spezifische Wärmekapazitäten. Einerseits, wenn das Volumen konstant ist, dann gilt Q=cv×m×ΔT, andererseits, wenn der Druck konstant ist, dann gilt für die zugeführte Wärme Q=cp×m×ΔT=cv×m×ΔT+p×ΔV. Der Zusammenhang zwischen beiden ist folgender: cp=cv+Rs, wobei Rs die spezielle Gaskonstante ist und über die molare Masse mit der universellen Gaskonstante verknüpft ist. Übrigens wird der Quotient aus beiden spezifischen Wärmekapazitäten Adiabatenkoeffizient genannt. Das war's für heute. Im nächsten Film werde ich euch den 1. Hauptsatz der Wärmelehre nahebringen. Danke für die Aufmerksamkeit!

13 Kommentare

13 Kommentare
  1. Hallo Luzia Bickert, bitte beschreibe genauer, was du nicht verstanden hast. Gib beispielsweise die konkrete Stelle im Video mit Minuten und Sekunden an. Gerne kannst du dich auch an den Fach-Chat wenden, der von Montag bis Freitag zwischen 17-19 Uhr für dich da ist.
    Ich hoffe, dass wir dir weiterhelfen können.
    Liebe Grüße aus der Redaktion

    Von Albrecht Kröner, vor 5 Monaten
  2. wird sehr viel vorausgesetzt
    geht viel zu schnell - nichts richtig verstanden

    Von Luzia Bickert, vor 5 Monaten
  3. Gar nichts verstanden alles viel zu kompliziert erklährt

    Von Manuela Jerxsen, vor mehr als einem Jahr
  4. ich versteh nichts, warum braucht man diese ganzen Formeln???;(((

    Von Angelinaalizee, vor etwa 5 Jahren
  5. hat sich erledigt^^

    Von Lea Seyda, vor fast 7 Jahren
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Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases kannst du es wiederholen und üben.
  • Nenne die verschiedenen Wärmekapazitäten und Formeln, um sie zu berechnen.

    Tipps

    Die Wärmekapazität beschreibt das Verhältnis aus zugeführter Wärme und der Temperaturdifferenz.

    Die spezifische Wärmekapazität $c$ ist antiproportional zur Masse $m$.

    Die molare Wärmekapazität $c_m$ kann entweder mit der Stoffmenge $n$ oder dem Verhältnis aus molarer Masse $M_m$ und Masse $m$ ausgedrückt werden.

    Lösung

    Die Wärmekapazität entspricht dem Quotient aus der Wärme $Q$ und der Temperaturänderung $\Delta T$.

    Wenn dann mehr Masse erwärmt werden soll, muss mehr Wärme hineingesteckt werden.
    Daraus folge $Q \sim \Delta T \cdot m$. Der Proportionalitätsfaktor ist die spezifische Wärmekapazität $c$.

    Es folgt also
    $c=\frac{Q}{\Delta T \cdot m}$.

    Die spezifische Wärmekapazität bezieht sich also auf die Masse $m$.
    Die molare Wärmekapazität bezieht sich auf die Stoffmenge $n$.
    Die Formel ist dabei gleich der spezifischen Wärmekapazität, nur dass an der Stelle des $m$ ein $n$ steht.

    Diese beiden Formeln stehen in Verhältnis zueinander.
    Für den Quotienten ergibt sich:
    $\frac{c_m}{c}=\frac{m}{n} \rightarrow c_m = c\cdot \frac{m}{n} = \frac{Q \cdot M_m}{\Delta T \cdot m}$.

    Dies gilt, da der Quotient von $m$ und $n$ der molaren Masse $M_m$ entspricht.

  • Beschreibe die Wärmekapazität von Gasen.

    Tipps

    Bei Feststoffen kann die spezifische Wärmekapazität durch das Verhältnis von zugeführter Wärme und dem Produkt aus der dabei entstehenden Temperaturdifferenz und der Masse berechnet werden.
    Was ergibt sich, wenn diese Formel nach Q umgestellt wird?

    Die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck wird mit $c_p$ und die bei konstantem Volumen mit $c_v$ bezeichnet.

    Möchte man bei konstantem Druck die Wärme die für eine Temperaturänderung $\Delta T$ zugeführt werden muss, durch die spezifische Wärmekapazität $c_v$ ausdrücken, so muss man die Wärme zur Temperaturerhöhung bei konstantem Volumen und die Volumenänderungsarbeit $W$ addieren.

    Lösung

    Bei einem Festkörper gilt für die spezifische Wärmekapazität:
    $c= \frac{Q}{\Delta T \cdot m} \leftrightarrow Q=c \Delta T \cdot m$ .

    Dieselbe Formel gilt für die spezifische Wärmekapazität eines idealen Gases bei konstantem Volumen:
    $Q=c_v \Delta T \cdot m$ .

    Durch den Index wird immer die konstante Größe dargestellt. Aufgrund der idealen Gasgleichung
    $p \cdot V = N \cdot k_B \cdot T$
    stehen $p$ und $V$ in Wechselwirkung.

    Da $N\cdot k_B$ konstant ist, erhöht sich bei konstantem Volumen und einer Temperaturerhöhung der Druck.

    Wird dagegen der Druck konstant gehalten, dann muss das Volumen größer werden. Das heißt, das Gas dehnt sich aus.

    Bei Wärmezufuhr wird die zugeführte Wärme dann zum Teil in Volumenänderungsarbeit umgewandelt und erhöht zum Teil die Temperatur.
    Somit gibt es zwei Möglichkeiten, die benötigte Wärme für eine bestimmte Temperaturänderung zu berechnen. Entweder wird $c_p$ genutzt, in welche die genannten Faktoren einberechnet sind:
    $Q=c_p \cdot m \cdot \Delta T$.

    Oder es wird die Volumenänderungsarbeit und die benötigte Wärme für die Temperaturänderung bei konstantem Volumen addiert: $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T+W=c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \cdot \Delta V$.

  • Berechne die Wärmemenge, die zugeführt werden muss, um die Temperaturänderung zu erreichen.

    Tipps

    Bei konstantem Volumen berechnet sich die Wärme die zugeführt werden muss, um die Masse $m$ um eine bestimmte Temperaturdifferenz zu erhöhen wie bei einem Feststoff.

    Ziehe die niedrigere Temperatur von der höheren ab, um die Temperaturdifferenz zu berechnen. Unterscheidet sich die Differenz in Kelvin von der in Grad?

    Setze alle gegebenen Werte ein und achte auf die richtige Einheit des Ergebnisses.

    Lösung

    Da das Volumen konstant ist, gilt:
    $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T$.

    In der Formel wird die Temperaturdifferenz in Kelvin angegeben. Diese unterscheidet sich jedoch nicht von der in Grad.
    Temperaturdifferenzen sind in Kelvin und in Grad gleich. Du kannst dies leicht überprüfen, indem du die Temperatur in Kelvin umrechnest und anschließend die Differenz bestimmst.
    Somit folgt für $\Delta T$:
    $\Delta T=T_2-T_1=35 ~°C - 15 ~°C=20 ~°C$ und damit auch $\Delta T=20 ~ K$.

    Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt:
    $Q=620 ~ \frac{J}{kg \cdot K} \cdot 3,5 ~kg \cdot 20 ~ K = 43400 ~ J = 43,4 ~ kJ$ .

  • Berechne die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Volumen.

    Tipps

    Für die zugeführte Wärme bei konstantem Druck gilt:

    Die zugeführte Wärme bei konstantem Druck kann auch mit spezifischen Wärmekapazität bei konstantem Volumen berechnet werden. Es muss dabei die Volumenänderungsarbeit berücksichtigt werden. Diese kann mithilfe der Teilchenmasse berechnet werden.

    Werden die Formeln gleichgesetzt und nach $c_v$ umgestellt, so sind alle Größen der Gleichung bekannt.

    Achte auf das richtige Runden. Ist die dritte Ziffer nach dem Komma größer als 5, dann wird aufgerundet. Ist die dritte Ziffer nach dem Komma kleiner als 5, dann wird abgerundet.

    Lösung

    Es gibt zwei Möglichkeiten die Wärme $Q$ zu berechnen, die bei einem Gas mit konstantem Druck benötigt wird, um eine Temperaturänderung $\Delta T$ zu bewirken.

    Es gilt $Q=c_p \cdot m \cdot \Delta T$.

    Ferner kann die Wärme auch über $c_v$ ausgedrückt werden. Denn bei konstantem Druck wird das Volumen größer. Die zugeführte Wärme teilt sich auf in die Wärme, die die Temperaturänderung versucht und die Volumenänderungsarbeit.

    Mit $W=p \cdot \Delta V= \frac{m}{m_i} \cdot k_B \cdot \Delta T$ folgt hier:

    $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \cdot \Delta V =c_v \cdot m \cdot \Delta T + \frac{m}{m_i} \cdot k_b \cdot \Delta T$.

    Werden die beiden Gleichungen gleich gesetzt ergibt sich:

    $\begin{align} && c_p \cdot m \cdot \Delta T&=c_v \cdot m \cdot \Delta T + \frac{m}{m_i} \cdot k_B \cdot \Delta T \\ &\Leftrightarrow& c_p \cdot \not{m} \cdot \not{\Delta T} &= c_v \cdot \not{m} \cdot \not{\Delta T} + \frac{\not{m}}{m_i}\cdot k_B \cdot \not{\Delta T} \\ &\Leftrightarrow& c_p = c_v + \frac{k_B}{m_i} \end{align} $

    Nach $c_v$ und mit eingesetzten Zahlenwerten folgt:
    $ c_v = c_p - \frac{k_B}{m_i}=624 ~\frac{J}{kg \cdot K}-\dfrac{1,381 \cdot 10^{-23} ~ \frac{J}{K}}{8,421 \cdot 10^{-26} ~kg}\approx 460,005 ~\frac{J}{kg \cdot K} \approx 460,01 ~\frac{J}{kg \cdot K}$.

  • Nenne Aussagen zur Wärmekapazität.

    Tipps

    Die Wärmekapazität wird mit $C$ ausgedrückt.

    Die spezifische Wärmekapazität ist in den Temperaturen, die wir gewohnt sind, ungefähr konstant. Bewegt sich die Temperatur in sehr hohen oder sehr geringen Bereichen, dann verändert sich die Wärmekapazität eines Stoffes.

    Wenn mehr Masse auf eine bestimmte Temperatur erwärmt werden soll, wird auch mehr Wärme gebraucht. Die Wärme ist also proportional zu der Masse mal der Temperaturdifferenz. Verändert sich bei größerer Masse die Proportionalitätskonstante?

    Die Einheit der spezifischen Wärmekapazität ist Joule durch Kilogramm mal Kelvin.

    Lösung

    Häufig wird die spezifische Wärmekapazität fälschlicher Weise als Konstante bezeichnet.
    In Wirklichkeit ist sie jedoch in bestimmtem Maße temperaturabhängig.

    In Bereichen zwischen $-40 ~^\circ C$ und $100 ~^\circ C$ ist die spezifische Wärmekapazität in den meisten Fällen ungefähr konstant. Werden die Temperaturen, welche in Kelvin berechnet werden, jedoch sehr hoch oder sehr niedrig, dann ist sie nicht mehr konstant.
    Somit ist die spezifische Wärmekapazität temperaturabhängig und damit ohne Zusatzbedingungen auch keine Konstante.

    Für die Einheit der spezifischen Wärmekapazität gilt:
    $[c]=\frac{J}{K \cdot kg}$
    Es wird damit angegeben, wie viel Wärmeenergie benötigt wird, um eine Masse um eine bestimmte Temperatur zu erhöhen.
    Es gilt zum Beispiel für Quarz unter Normalbedingungen:
    $c=0,8 ~\frac{kJ}{K \cdot kg}=0,8 ~\frac{J}{K \cdot g}$.
    Somit werden 0,8 Joule gebraucht, um 1 Gramm um 1 Kelvin zu erhöhen.

  • Berechne Veränderung der Temperatur und die Wärmekapazität bei konstantem Druck.

    Tipps

    Die zugeführte Wärme sorgt zum Teil für die Änderung der Temperatur und zum Teil für die Änderung des Volumens.

    Die zugeführte Wärme kann auch über die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck dargestellt werden.

    Mit der zuvor berechneten Wärme lässt sich damit die spezifische Wärmekapazität $c_p$ berechnen.

    Lösung

    Da der Druck konstant ist, wird das Volumen größer.
    Die zugeführte Wärme setzt sich hierbei aus zwei Teilen zusammen.

    Ein Teil der Wärme bewirkt die Temperaturänderung. Der andere bewirkt die Volumenänderung.
    Somit kann die zugeführte Wärme bei der Temperaturänderung $\Delta T$ und der Volumenänderung $\Delta V$ durch
    $Q=c_v \cdot m \cdot \Delta T + p \cdot \Delta V$
    ausgedrückt werden.

    Dort werden die gegebenen Werte eingesetzt. Es ergibt sich:
    $Q=1680 ~ \frac{J}{kg\cdot K} \cdot 4 ~kg \cdot 15 ~ K + 120000 ~\frac{N}{m^2} \cdot 2 ~ m^3=100800 ~J+240000~J=340800 ~J$.

    Man kann die zugeführte Wärme aber auch über die spezifische Wärmekapazität bei konstantem Druck $c_p$ ausdrücken. Stellt man diese nach $c_p$ um, lässt sich die gesuchte Größe leicht berechnen:
    $Q=c_p \cdot m \cdot \Delta T \leftrightarrow c_p=\frac{Q}{m \cdot \Delta T}=\frac{340800 ~J}{4 ~kg \cdot 15 ~ K}=5680 ~ \frac{J}{kg\cdot K}$.

    Da in der vorigen Rechnung nicht gerundet wurde, darf das Zwischenergebnis direkt eingesetzt werden.

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