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Reale Gase 13:30 min

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Transkript Reale Gase

Hallo und ganz herzlich willkommen! In diesem Video geht es um „Reale Gase“. Du kennst die Zustandsgleichung für ideale Gase. Nachher kennst du die Zustandsgleichung für reale Gase, du kannst das p-V-Diagramm für Kohlenstoffdioxid erklären und du weißt, was überkritische Gase sind. Der Film besteht aus fünf Abschnitten: Erstens, ideale Gase; zweitens, reale Gase; drittens, Zustandsgleichung für reale Gase; viertens, das p-V-Diagramm für Kohlenstoffdioxid und fünftens, das überkritische Gas. Und schon geht’s los. Ideale Gase: Sie bestehen aus vielen kleinen Teilchen, die relativ weit voneinander entfernt sind und untereinander kaum in Beziehung treten. Welche Eigenschaften werden nun diesen Teilchen bei den idealen Gasen zugeschrieben? Nun, einmal geht man davon aus, dass diese Teilchen über kein Eigenvolumen verfügen. Zwar können sie elastisch zusammenstoßen, aber es gibt keine Anziehungskräfte zwischen ihnen. Und wenn diese Bedingungen gut erfüllt sind, dann gilt auch die Gleichung p * V = n * R * T. Man nennt sie auch oft kurz die Gasgleichung, eben für ideale Gase. Wir wollen einmal überlegen, was das bedeutet. Keine Anziehungskräfte zwischen den Teilchen. Na? Richtig. Für Gase ist das völlig unerheblich. Aber für die anderen Aggregatzustände, es gibt demzufolge keinen Phasenübergang. Und das hätte üble Folgen für die Wirklichkeit. Gasförmiges Wasser hätten wir und zwar nur gasförmiges. Tja, meine Lieben. Aber flüssiges Wasser gäbe es nicht. Und schon gar kein festes Wasser, kein Eis und keinen Schnee. So, und jetzt sind wir reif für zweitens, reale Gase. Naja und bei denen ist es so, wie es sich gehört. Ihre Teilchen haben ein Eigenvolumen und natürlich gibt es Anziehungskräfte zwischen den Teilchen. Und Gott sei Dank hat unsere Welt ihre drei Aggregatzustände. Drittens, Zustandsgleichung für reale Gase. Die Zustandsgleichung für ideale Gase kennen wir inzwischen auswendig: p * V = n * R * T. Der Übergang zu den realen Gasen ist nicht ganz einfach. Das gelang dem Physiker van der Waals, wofür er den Nobelpreis 1910 erhielt. Seine Grundidee war einfach, aber genial. Für den Druck p und das Volumen V führte er Korrekturterme ein, so dass die Zustandsgleichung folgende Form erhielt. p + Delta p * V - Delta V = n * R * T. Durch Delta p wird ein Druckverlust ausgeglichen und für Delta V mit negativem Vorzeichen steht eine Realvolumenkorrektur. Wie wurden diese Korrekturterme sinnvoll umgesetzt? Dafür schreiben wir die Van-der-Waalssche-Grundidee noch einmal auf: Delta p korrigiert die Tatsache, dass eine Anziehung zwischen den Teilchen in einem idealen Gas nicht berücksichtigt wird. Van der Waals fand dafür n2 / V2, wobei n die Stoffmenge ist und V das Volumen des Gases, a ist eine stoffabhängige Konstante. Für Delta V schrieb er: b * n. Das negative Vorzeichen ist klar und warum die Stoffmenge berücksichtigt wird, auch. Denn hier fließt das Realvolumen eines realen Gases ein. Somit erhielt van der Waals: (p + a * n2 / V2) * (V - b * n) = n * R * T. Und diese Gleichung funktioniert gut für reale Gase. a und b sind die sogenannten Van-der-Waals-Konstanten. Ganz klar, das sind Stoffkonstanten. Viertens: Das p-V-Diagramm für Kohlenstoffdioxid. Festes Kohlenstoffdioxid ist Trockeneis. Ich behaupte: Wäre CO2 ein ideales Gas, dann gäbe es kein Trockeneis. Ist das tatsächlich so? Das ist so. Ein ideales Gas kann nicht fest werden. Schauen wir uns nun einmal das p-V-Diagramm an. Ich zeichne mal drauf los. Und? Richtig, das sind Isothermen für ein ideales Gas. Isothermen bedeutet, die Temperatur ist jeweils konstant. Offensichtlich gilt hier: T1 < T2 < T3. Nicht nur Menschen haben Problemzonen, auch Isothermen. Und diese macht der roten Kurve gewaltig zu schaffen. Denn bei relativ niedrigen Temperaturen eines Gases muss man die Zustandsgleichung für reale Gase verwenden. Und nun schauen wir uns einmal die Isothermen für Kohlenstoffdioxid an. Den Druck tragen wir in bar auf, das Volumen in Kubikdezimeter oder Liter, wem das lieber ist. Die Stoffmenge müssen wir fixieren, wir betrachten jeweils ein Mol des Kohlenstoffdioxids. Diese hübsche Kurve erhalten wir für 0 ºC. Bei 20 ºC sieht die Kurve so aus. Bei 31,5 ºC so. Bei 40 ºC erinnert die Kurve schon etwas an eine ideale Isotherme. Und nun ein wenig Kurvendiskussion. Kennt ihr ja alle aus der Analysis in der Mathematik. Was bedeuten hier die blauen Punkte? Es sind stationäre Punkte: Hochpunkt, Tiefpunkt, Wendepunkt. Erinnert euch! Die notwendige Bedingung dafür ist, dass die Ableitung des Drucks nach dem Volumen gleich Null ist. Mit diesem Begriff möchte ich hier Hochpunkte, Tiefpunkte und Sattelpunkte zusammenfassen. Die Steigung der jeweiligen Kurve ist dann gleich Null. Alle drei Aussagen sind untereinander äquivalent. Als blaue Punkte lasse ich zwei Minima stehen. Der Wendepunkt, der gleichzeitig Sattelpunkt ist, wird hier rot markiert. Die konstante Temperatur für diese Isotherme beträgt 31,5 ºC. Und diese hat es in sich. Man bezeichnet sie als kritische Temperatur, abgekürzt TK. Und jetzt kommt etwas ganz Fantastisches. Denn für alle Temperaturen T oberhalb TK ist eine Druckverflüssigung des Gases unmöglich. Den roten Punkt, hier mit K markiert, bezeichnet man auch als „Kritischen Punkt“. Die kritische Temperatur für Kohlenstoffdioxid ist folglich 31,5 ºC. Der kritische Druck beträgt dabei 73,5 bar. Das ist nämlich der Mindestdruck, mit dem bei der kritischen Temperatur die Luftverflüssigung gerade noch möglich ist. Zum Vergleich einmal diese Isotherme: So verläuft eine Isotherme bei 0 ºC und zwar für ein ideales Gas. Die beiden Kurven bei realen und idealen Bedingungen sind völlig verschieden. Hier ungefähr ist unser reales Gas flüssig. Ein ideales Gas mag das überhaupt nicht. Und hier, oberhalb der kritischen Temperatur, ist auch das reale Gas tatsächlich gasförmig. Oberhalb der kritischen Temperatur ist jedes reale Gas auch bei höchstem Druck stets gasförmig. Zum Vergleich orange markiert: das ist der Atmosphärendruck. Der Atmosphärendruck beträgt etwa ein bar. Der schraffierte Bereich wird als „überkritisch“ bezeichnet. Kohlenstoffdioxid ist hier überkritisch, lässt sich nicht mehr verflüssigen. Wir sollten hier unbedingt festhalten: Überkritische Gase stellen eine gute Näherung für ideale Gase dar. So, und jetzt machen wir es mal umgekehrt. Wir nehmen die Van-der-Waalssche Gleichung für reale Gase. Die Van-der-Waals-Konstanten a und b sind für Helium klein. Damit ist Helium in guter Näherung ein ideales Gas. Und nun stellen wir die Bedingungen zusammen, die von „real“ zu „ideal“ führen: Wenn die Temperatur hoch ist, stellt das Gas eine gute Näherung für ein ideales Gas dar. Das haben wir bereits gelernt, als wir über überkritische Gase gesprochen haben. Und jetzt schauen wir uns einmal die Gasgleichung für reale Gase an. Wir stellen fest, dass bei großen V der Korrekturterm für p verschwindet. Die Gase sind gewissermaßen verdünnt. Wenn die Teilchenzahl gegen Null strebt, wieder Verdünnung, gehen beide Korrekturterme, sowohl für p als auch für V, gegen Null. Tja, und im Ergebnis erhalten wir aus diesen Bedingungen unsere gute gewohnte Zustandsgleichung für ideale Gase: p * V = n * R * T. Fünftens: Das überkritische Gas. Ist die Temperatur höher als die kritische, so nennt man das Gas „überkritisch“. Wird ein überkritisches Gas einem hohen Druck ausgesetzt, so sagt man häufig: Dieser Stoff ist dann weder flüssig noch gasförmig. Unter solchen Bedingungen zeigen überkritische Gase ein gutes Lösevermögen für viele Stoffe. Unter anderem lassen sich aus Holz niedermolekulare extrahieren. Überkritisches CO2 ist für die Extraktion vieler Stoffe geeignet, wenn die Temperatur und der Druck ausreichend hoch sind. Dieser Prozess wird technisch verwertet. Zum Beispiel wird aus Kaffee das Coffein entfernt. Oder man extrahiert Majoran. Und schließlich, kein Witz, man kann mit überkritischem CO2 Wäsche waschen. Das war ein weiterer Film von André Otto. Ich wünsche euch alles Gute und viel Erfolg. Tschüss!

Reale Gase Übung

Du möchtest dein gelerntes Wissen anwenden? Mit den Aufgaben zum Video Reale Gase kannst du es wiederholen und üben.

  • Benenne, unter welchen Umstanden ein ideales Gas eine gute Näherung für ein reales Gas ist.

    Tipps

    Wenn ein Gas überkritisch ist, kann es auch bei steigendem Druck nicht mehr verflüssigt werden. Wann ist ein Gas überkritisch?

    Wann ähnelt oder entspricht die Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung (1.) der Zustandsgleichung für ideale Gase (2.) ?

    Wenn die Zusatzterme in der Van-der-Waal'schen Zustandsgleichung für reale Gase möglichst klein werden, dann nähert sich diese der Zustandsgleichung für ideale Gase an. Da a und b Konstanten sind, können nur die restlichen Größen variiert werden.

    Ein Bruch wird minimal, wenn sein Zähler minimiert oder sein Nenner maximiert wird.

    Lösung

    Wenn ein reales Gas als überkritisch bezeichnet wird, dann wird von dem Bereich oberhalb der kritischen Temperatur geredet. In diesem Bereich kann das Gas auch bei sehr hohem Druck nicht verflüssigt werden.

    Es ähnelt hier also einem idealen Gas, welches auch keine Phasenübergänge hat.
    Bei Kohlenstoffdioxid ist dies bei einer Temperatur oberhalb von 31,5 °C der Fall.

    Somit gilt allgemein: Für sehr hohe Temperaturen ähnelt ein reales Gas einem idealen Gas.

    Des Weiteren kann die Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung für reale Gase betrachtet und mit der Zustandsgleichung für ideale Gase verglichen werden:

    Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung:
    $\left( p+a \cdot \frac{n^2}{V^2} \right) \cdot (V - b \cdot n) = n \cdot R \cdot T $

    Zustandsgleichung für ideale Gase:
    $ p \cdot V = n \cdot R \cdot T $

    Sie unterscheiden sich nur durch die beiden Zusatzterme $+a \cdot \frac{n^2}{V^2}$ beim Druck und $ - b \cdot n$ beim Volumen.
    Wenn diese Terme minimiert werden, dann nähert sich die Van-der-Waal'sche Gleichung der Zustandsgleichung für ideale Gase an.

    Da die Größen $a$ und $b$ Konstanten sind, brauchen nur Volumen $V$ und Teilchenanzahl $n$ betrachtet werden.

    Für eine Teilchenanzahl, die sich null annähert, fallen beide Zusatzterme weg.
    Für ein Volumen, welches sich unendlich annähert, fällt zumindest ein Zusatzterm weg.

    Dies sind zwei weitere Möglichkeiten um das Verhalten eines realen Gases dem eines idealen Gases anzunähern.
    Es bleibt in den meisten Fällen jedoch eine Näherung.

  • Benenne Unterschiede von realen zu idealen Gasen.

    Tipps

    Bei idealen Gasen wird davon ausgegangen, das die Gasmoleküle ideal Punktförmig sind. Was heißt das für das Volumen der Gasmoleküle von idealen Gasen?

    Weiter wird davon ausgegangen, dass die Gasmoleküle sich in idealen Gasen nicht gegenseitig beeinflussen. Herrschen dann Anziehungskräfte zwischen den Molekülen und wie ist das bei realen Gasen?

    In einem Gas sind die Moleküle immer frei. Sie können zwar miteinander stoßen, haben jedoch keine direkte Verbindung. Dies ist in Flüssigkeiten oder Feststoffen der Fall.

    Können die Stöße vollkommen elastisch erfolgen, wenn Anziehungskräfte zwischen den Molekülen bestehen?

    Lösung

    Ideale Gase sind eine starke Vereinfachung von realen Gasen. Es werden dabei einige Annahmen getroffen:

    Die Gasmoleküle von idealen Gasen

    • sind Punktförmig. Das heißt, sie haben kein Eigenvolumen.
    • beeinflussen sich gegenseitigt nicht. Das heißt, es herrschen keine Anziehungskräfte zwischen den Molekülen.
    Dies sind Annahmen, die sich von realen Gasen unterscheiden.

    Die Gasmoleküle von realen Gasen

    • haben ein Eigenvolumen.
    • beeinflussen sich gegenseitig aufgrund von Wechselwirkungen.
    Damit stoßen die Gasmoleküle auch nicht vollkommen elastisch. Dies wäre ein weiterer Unterschied zum idealen Gas. Denn dort wird angenommen, dass die Stoße vollkommen elastisch erfolgen.

    Aneinandergebunden sind Moleküle nur in Flüssigkeiten oder Feststoffen. In Gasen ist dies weder in idealen, noch in realen Gasen eine Annahme oder Tatsache.

  • Beschreibe eine technische Anwendung eines überkritischen Gases.

    Tipps

    Die Phase eines Stoffes, bei der der Stoff gleichzeitig sowohl flüssig als auch gasförmig ist, wird fluid genannt.

    Es gibt koffeinfreien Kaffee. Um diesen herzustellen, muss das Koffein aus den Kaffeebohnen entfernt werden. Gibt es auch Anwendungen, in denen nur Koffein, aber nicht der übliche Kaffee-Geschmack gewünscht ist?

    Kann Gas oberhalb seiner kritischen Temperatur noch verflüssigt werden? Was passiert dann bei extrem hohem Druck oberhalb der kritischen Temperatur und in welchem Bereich befindet sich das Gas hier?

    Lösung

    Ein Gas ist überkritisch, wenn die Temperatur sehr hoch ist. Sie muss oberhalb der kritischen Temperatur liegen.

    Hier kann das Gas auch bei sehr hohem Druck nicht verflüssigt werden.
    Wird das überkritische Gas jedoch einem sehr hohen Druck ausgesetzt, dann kommt es in seine fluide Phase.
    In dieser Phase ist das Gas sowohl flüssig als auch gasförmig zugleich.

    Es hat hier ein besonders gutes Lösevermögen. Es kann in andere Stoffe eindringen und einzelne Bestandteile herauslösen.

    So wird es zum Beispiel bei Kaffeebohnen eingesetzt. Das Ziel ist, das Koffein aus den Bohnen zu extrahieren.
    Es wird auf diese Weise koffeinfreier Kaffee hergestellt. Aber auch das Koffein wird in anderen Speisen oder Getränken genutzt und soll deswegen nach Möglichkeit auch nach dem Verfahren noch verwendbar sein.

    Dies ist der Vorteil dieses Verfahrens. Es wird dazu überkritisches $CO_2$ genutzt.

    Dieses nimmt das Koffein auf und befördert es aus den Kaffeebohnen. Anschließend wird das $CO_2$ verdampft. Zurück bleibt das reine Koffein. Dieses kann dann in anderen Anwendungen weiterverwendet werden.

    Auch das $CO_2$ kann nach der Zurückgewinnung weiterverwendet werden.

    Deswegen ist dieses Verfahren schonend und produziert nur wenig Abfälle.

  • Nenne die Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung.

    Tipps

    Die Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung für reale Gase lässt sich aus der Zustandsgleichung für ideale Gase herleiten.
    Was wird in der Zustandsgleichung für ideale Gase nicht berücksichtigt?

    Um von einem idealen zu einem realen Gas zu gelangen, müssen die Anziehungskräfte zwischen den Molekülen und das Eigenvolumen der Gasmoleküle berücksichtigt werden.

    Es ergeben sich dabei zwei Korrekturterme, die in die ideale Gasgleichung eingefügt werden.

    Lösung

    Die Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung für reale Gase lässt sich aus der Zustandsgleichung für ideale Gase herleiten.

    Reale Gase unterscheiden sich von idealen Gase dadurch, dass

    • die Gasmoleküle ein Eigenvolumen besitzen und
    • Anziehungskräfte zwischen den Gasmolekülen herrschen.
    Es ergeben sich zwei Korrekturterme die in die Zustandsgleichung idealer Gase eingebunden werden können:
    $(p+\Delta p) \cdot (V + \Delta V) = n \cdot R \cdot T $.

    Dabei gilt für $\Delta p$:
    $\Delta p=a \cdot \frac{n^2}{V^2} $.

    Für $\Delta V$ gilt:
    $\Delta V= - b \cdot n$.

    Insgesamt folgt damit der Van-der-Waal'sche Zustandsgleichung für reale Gase:
    $ \left( p+a \cdot \frac{n^2}{V^2} \right) \cdot (V - b \cdot n) = n \cdot R \cdot T $.

  • Erkläre das überkritische Gas.

    Tipps

    Das Bild zeigt die Isothermen von Kohlenstoffdioxid und den kritischen Punkt. In welchem Bereich ist das Gas überkritisch?

    Das Bild zeigt die Isothermen von Kohlenstoffdioxid im p-V-Diagramm. Neben dem kritischen Punkt ist auch der kritische Bereich eingetragen. Wie lässt sich dieser beschreiben und lässt sich ein Gas in diesem Bereich noch verflüssigen?

    Je höher die Temperatur ist, desto eher ähneln die Isothermen eines realen Gases denen eines idealen Gases. Was heißt das für die Eigenschaften im überkritischen Bereich?

    Lösung

    Das Bild zeigt die Isothermen von Kohlenstoffdioxid im p-V-Diagramm.

    Es ist der kritische Punkt markiert. Diese Isotherme ist die Isotherme mit der höchsten Temperatur, bei der das Gas noch verflüssigt werden kann.
    Bei höheren Temperaturen ist die Druckverflüssigung nicht mehr möglich.

    Der überkritische Bereich ist der Bereich oberhalb des kritischen Punktes. Also oberhalb der Isothermen mit der kritischen Temperatur.
    Das Gas lässt sich in diesem Bereich folglich nicht mehr verflüssigen, auch nicht unter hohem Druck.

    Die Isothermen oberhalb des kritischen Punktes ähneln denen eines idealen Gases sehr. Auch bei einem idealen Gas kann keine Druckverflüssigung stattfinden.
    Somit ist der überkritische Bereich eines realen Gases eine gute Näherung an ein ideales Gas. Es muss also eine hohe Temperatur herrschen.
    Es kann hier auch die Zustandsgleichung für ideale Gase genutzt werden.

  • Erkläre den kritischen Punkt und seine Auswirkungen.

    Tipps

    Das Diagramm zeigt die Isothermen von Kohlenstoffdioxid. Der kritische Punkt ist rot eingezeichnet. Wie kann seine Lage beschrieben werden und wie verhalten sich die Isothermen bei höherer und niedrigerer Temperatur?

    Die Isothermen werden immer in ein Druck-Volumen-Diagramm eingezeichnet. Das Volumen wird in Richtung der x-Achse und der Druck in Richtung der y-Achse aufgetragen.

    Wenn die Isothermen eines Gases im p-V-Diagramm eingetragen werden, dann befindet sich das Gas links vom Tiefpunkt der jeweiligen Isotherme im flüssigen Aggregatzustand. Was heißt das für Temperaturen oberhalb der kritischen Temperatur?

    Lösung

    Das Diagramm zeigt die Isothermen eines Gases im p-V-Diagramm.

    Bei niedriger Temperatur haben die Isothermen eindeutige Tief- und Hochpunkte. Hierbei gilt: Links vom Tiefpunkt befindet sich das Gas im flüssigen Zustand.

    Mit steigender Temperatur werden die Extrema immer weniger ausgeprägt. Es wird schließlich die Temperatur $T_K$ erreicht, die sogenannte kritische Temperatur.
    Hier ist nur noch ein Sattelpunkt, aber keine Extrempunkte mehr erkennbar.
    Es ist die letzte Isotherme, bei der das Gas noch durch die Erhöhung des Drucks verflüssigt werden kann.

    Der Sattelpunkt dieser Isothermen wird auch kritischer Punkt genannt. Der Druck, der am kritischen Punkt herrscht, ist der Druck, der mindestens für die sogenannte Druckverflüssigung benötigt wird.

    Oberhalb der kritischen Temperatur kann das Gas nicht mehr druckverflüssigt werden.